高中数学导数典型例题精讲详细版.docx

导数经典例题精讲
导数知识点
导数是一种特殊极限
几个常用极限：〔1〕，〔〕；〔2〕，.
两个重要极限 ：〔1〕；〔2〕(e=…).
函数极限四那么运算法那么：假设，，那么
(1)；(2);(3).
数列极限四那么运算法那么：假设，那么(1)；(2)(3)(4)( c是常数)
在处导数〔或变化率或微商〕
.
.瞬时速度：.
瞬时加速度：.
在导数：.
函数在点处导数几何意义
函数在点处导数是曲线在处切线斜率，相应切线方程是.
几种常见函数导数
(1) 〔C为常数〕.(2) .(3) .
(4) ；. (5) ; .
导数运算法那么
〔1〕.〔2〕.〔3〕.
复合函数求导法那么
设函数在点处有导数，函数在点处对应点U处有导数，那么复合函数在点处有导数，且，或写作.

【例题解析】
考点1 导数概念
对概念要求：了解导数概念实际背景，掌握导数在一点处定义和导数几何意义，理解导函数概念.
例1． 是导函数，那么值是 ．
[考察目] 此题主要考察函数导数和计算等根底知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2.设函数,集合M=,P=,假设MP,那么实数a取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考察目]此题主要考察函数导数和集合等根底知识应用能力.
[解答过程]由

综上可得MP时,
考点2 曲线切线
〔1〕关于曲线在某一点切线
求曲线y=f(x)在某一点P〔x,y〕切线，即求出函数y=f(x)在P点导数就是曲线在该点切线斜率.
〔2〕关于两曲线公切线
假设一直线同时与两曲线相切，那么称该直线为两曲线公切线.
典型例题
例3.函数在区间，内各有一个极值点．
〔I〕求最大值；
〔II〕当时，设函数在点处切线为，假设在点处穿过函数图象〔即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从一侧进入另一侧〕，求函数表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率.
解答过程：〔I〕因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为〔〕，那么，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故最大值是16．
〔II〕解法一：由知在点处切线方程是
，即，
因为切线在点处空过图象，
所以在两边附近函数值异号，那么
不是极值点．
而，且
．
假设，那么和都是极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过图象，所以在两边附近函数值异号，于是存在〔〕．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，那么
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是一个极值点，那么，
所以，又由，得，故．
一条切线与直线垂直，那么方程为〔 〕
A． B．
C． D．
[考察目]此题主要考察函数导数和直线方程等根底知识应用能力.
[解答过程]与直线垂直直线为，即在某一点导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点切线为.
应选A.
例5．过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切直线方程为 ( )
A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x
[考察目]此题主要考察函数导数和圆方程、直线方程等根底知识应用能力.
[解答过程]解法1：设切线方程为
又

应选A.
解法2:由解法1知切点坐标为由

应选A.
例6.两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线方程.
思路启迪：先对求导数.
解答过程：函数导数为，曲线在点P()处切线方程为，即 　 ①
曲线在点Q切线方程是即
　 ②
假设直线是过点P点和Q点公切线，那么①式和②式都是方程，故得
，消去得方程，
假设△=，即时，解得，此时点P、Q重合.
∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .
考点3 导数应用
中学阶段所涉及初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质重要而有力工具特别是对于函数单调性，以“导数〞为工具，能对其进展全面分析，为我们解决求函数极值、最值提供了一种简明易行方法，进而与不等式证明，讨论方程解情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1.. 求函数解析式; 2. 求函数值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数极值〔最值〕;5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7．函数定义域为开区间，导函数在内图象如下图，那么函数在开区间内有极小值点〔　〕

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
[考察目]此题主要考察函数导数和函数图象性质等根底知识应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内图象上有一个极小值点.
应选A.
例8 .设函数在及时取得极值．
〔Ⅰ〕求a、b值；
〔Ⅱ〕假设对于任意，都有成立，求c取值范围．
思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b值．
解答过程：〔Ⅰ〕，
因为函数在及取得极值，那么有，．
即
解得，．
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
那么当时，最大值为．
因为对于任意，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此取值范围为．
例9.函数值域是_____________.
思路启迪：求函数值域，是中学数学中难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解也可以利用函数单调性求出最大、最小值。此例形式构造较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由得，，即函数定义域为.
，
又，
当时，，
函数在上是增函数，而，值域是.
例10．函数，其中为参数，且．
〔1〕当时，判断函数是否有极值；
〔2〕要使函数极小值大于零，求参数取值范围；
〔3〕假设对〔2〕中所求取值范围内任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数取值范围．
[考察目]本小题主要考察运用导数研究三角函数和函数单调性及极值、解不等式等根底知识，考察综合分析和解决问题能力，以及分类讨论数学思想方法.
[解答过程]〔Ⅰ〕当时，，那么在内是增函数，故无极值.

〔Ⅱ〕，令，得.
由〔Ⅰ〕，只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x变化符号及变化情况如下表：
x

0

+
0
-
0
+

↗
极大值

↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
错误！未找到引用源。当时，随x变化，符号及变化情况如下表：

+
0
-
0
+

极大值

极小值

因此，函数处取得极小值，且
假设，那么.矛盾.所以当时，极小值不会大于零.
综上，要使函数在内极小值大于零，参数取值范围为.
〔错误！未找到引用源。〕解：由〔错误！未找到引用源。〕知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，那么a须满足不等式组
或
由〔错误！未找到引用源。〕，参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以取值范围是.
例11．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)单调区间.
[考察目]此题考察了函数导数求法,函数极值判定,考察了应用数形结合数学思想分析问题解决问题能力
[解答过程]由得函数定义域为，且
〔1〕当时，函数在上单调递减，
〔2〕当时，由解得
、随变化情况如下表

—
0
+

极小值

从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．函数在点处取得极大值，其导函数图象经过点，，如下图.求：
〔Ⅰ〕值；
〔Ⅱ〕值.
[考察目]本小题考察了函数导数,函数极值判定,闭区间上二次函数最值, 函数与方程转化等根底知识综合应用,考察了应用数形结合数学思想分析问题解决问题能力
[解答过程]解法一：〔Ⅰ〕由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
〔Ⅱ〕
由
得
解得
解法二：〔Ⅰ〕同解法一
〔Ⅱ〕设
又
所以

由即得
所以
例13．设是函数一个极值点.
〔Ⅰ〕求与关系式〔用表示〕，并求单调区间；
〔Ⅱ〕设，.假设存在使得成立，求取值范围.
[考察目]本小题主要考察函数、不等式和导数应用等知识，考察综合运用数学知识解决问题能力.
[解答过程]〔Ⅰ〕f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
那么 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，那么
在区间〔－∞，3〕上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间〔3，―a―1〕上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间〔―a―1，＋∞〕上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x2<3＝x1，那么
在区间〔－∞，―a―1〕上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间〔―a―1，3〕上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间〔3，＋∞〕上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当a>0时，f (x)在区间〔0，3〕上单调递增，在区间〔3，4〕上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－〔2a＋3〕e3<0，f (4)＝〔2a＋13〕e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上值域是[－〔2a＋3〕e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上值域是[a2＋，〔a2＋〕e4]，
由于〔a2＋〕－〔a＋6〕＝a2－a＋＝〔〕2≥0，所以只须仅须
〔a2＋〕－〔a＋6〕<1且a>0，解得0处取得极大值，在处取得极小值，且．
〔1〕证明；
〔2〕假设z=a+2b,求z取值范围。
[解答过程]求函数导数．
〔Ⅰ〕由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是两个根．
所以
当时，为增函数，，由，得．
〔Ⅱ〕在题设下，等价于　即．
化简得．
此不等式组表示区域为平面上三条直线：．
所围成内部，其三个顶点分别为：．

b
a
2
1
2
4
O

在这三点值依次为．
所以取值范围为．

小结：此题新颖之处在把函数导数与线性
规划有机结合．
考点4 导数实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15.用长为18 cm钢条围成一个长方体形状框架，要求长方体长与宽之比为2：1，问该长方体长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[考察目]本小题主要考察函数、导数及其应用等根本知识，考察运用数学知识分析和解决实际问题能力.
[解答过程]设长方体宽为x〔m〕，那么长为2x(m)，高为
.
故长方体体积为

从而
令V′〔x〕＝0，解得x=0〔舍去〕或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′〔x〕＞0；当1＜x＜时，V′〔x〕＜0，
故在x=1处V〔x〕取得极大值，并且这个极大值就是V〔x〕最大值。
从而最大体积V＝V′〔x〕＝9×12-6×13〔m3〕，此时长方体长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
例16．统计说明，某种型号汽车在匀速行驶中每小时耗
油量〔升〕关于行驶速度〔千米/小时〕函数解析式可以表示为：
甲、乙两地相距100千米.
〔I〕当汽车以40千米/小时速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
〔II〕当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[考察目]本小题主要考察函数、导数及其应用等根本知识，考察运用数学知识分析和解决实际问题能力.
[解答过程]〔I〕当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没〔升〕.
答：当汽车以40千米/小时速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油升。
〔II〕当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得

令得
当时，是减函数；当时，是增函数.
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升.
【专题训练】
一、选择题
1. y=esinxcos(sinx)，那么y′(0)等于( )

y=相切方程是( )
A.x+y=0或+y=0 B.x－y=0或+y=0
C.x+y=0或－y=0 D.x－y=0或－y=0
f(x)可导，且f′(0)0,又=－1,那么f(0)( )
f(xf(x)极值
f(x
fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，那么fn(x)在［0,1］上最大值为( )
A.0 B.1 C. D.
5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况
6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，那么a=( )
A、 B、 C、 D、
7.过抛物线y=x2上点M〔〕切线倾斜角是( )
A、300 B、450 C、600 D、900
8.函数f(x)=x3-6bx+3b在〔0，1〕内有极小值，那么实数b取值范围是( )
A、〔0，1〕 B、〔-∞，1〕 C、〔0，+∞〕 D、〔0，〕
9.函数y=x3-3x+3在[]上最小值是( )
A、 B、1 C、 D、5
10、假设f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数极值，那么( )
A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值
C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值
11、函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，那么该函数一个递增区间是( )
A、〔2，3〕 B、〔3，+∞〕 C、〔2，+∞〕 D、〔-∞，3〕
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0实数解集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素
二、填空题
f′(x0)=2, =_________.
f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),那么f′(0)=_________.
f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)单调区间_________.
R圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它面积最大.
三、解答题
C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点切线与两坐标轴组成三角形面积等于常数.

(1)y=(x2－2x+3)e2x;
(2)y=.
21.有一个长度为5 m梯子贴靠在笔直墙上，假设其下端沿地板以3 m/s速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑速度.
Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,(x≠0,n∈N*).
f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a取值范围，并求其单调区间.
x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x两个极值点.
(1)试确定常数a和b值；
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)极大值还是极小值，并说明理由.
a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数底，求证：ab＞ba.
x方程2x2－ax－2=0两根为α、β(α＜β),函数f(x)=.
(1)求f(α)·f(β)值；
(2)证明f(x)是［α，β］上增函数；
(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上最大值与最小值之差最小？

【参考答案】
一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1.
答案：B
2.解析：设切点为(x0,y0),那么切线斜率为k=,另一方面，y′=()′=,故
y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,),从而得y′(A)= =－1及y′(B)= ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－.
答案：A
3.解析：由=－1,故存在含有0区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时＜0,于是当x∈(a,0)时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a0)上单增，在(0,b)上单减.
答案：B
4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1.
答案：D
5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C
二、13.解析：根据导数定义：f′(x0)=(这时)

答案：－1
14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),那么f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),
f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！
答案：n!
15.解析：函数定义域是x＞或x＜－2,f′(x)=.(3x2+5x－2)′=,
①假设a＞1,那么当x＞时，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.
②假设0＜a＜1,那么当x＞时，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数，当x＜－2时，
f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.
答案：(－∞,－2)
16.解析：设圆内接等腰三角形底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得
x2=h(2R－h),于是内接三角形面积为
S=x·h=
从而
.
令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在情况，所在区间(0,2R)上列表如下：
h
(0, R)
R
(,2R)
S′
+
0
－
S
增函数
最大值
减函数
由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.
答案：R
三、17. 解：由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,
∴=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2

又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=.
由x≠0,知x0=,
∴y0=()3－3()2+2·=－.∴k==－.
∴l方程y=－x 切点(，－).
18. ,
令f’(x)=0得，x=0，x=1，x= ,
在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0， .
∴ .
19.设双曲线上任一点P〔x0，y0〕,
,
∴ 切线方程 ,
令y=0，那么x=2x0
令x=0，那么 .
∴ .
20.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得
lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,

(2)两端取对数，得
ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),
两边解x求导，得

21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,那么s=5－,当下端移开1.4 m时，t0=,
又s′=－ (25－9t2)·(－9·2t)=9t,
所以s′(t0)=9×=0.875(m/s).
22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1=,两边同乘以x,得
x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导，得
Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
=.
23.解：f′(x)=3ax2+1.
假设a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.
假设a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.
假设a＜0,∵f′(x)=3a(x+)·(x－),此时f(x)恰有三个单调区间.
∴a＜0且单调减区间为(－∞,－)和(,+∞)，
单调增区间为(－, ).
24.解：f′(x)=+2bx+1,
(1) 由极值点必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,
解方程组可得a=－,b=－,∴f(x)=－lnx－x2+x,
(2)f′(x)=－x-1－x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值－ln2.
25.证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),那么
f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.
证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b,即证,设f(x)=(x＞e)，那么f′(x)=＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.
26.解：(1)f(α)=,f(β)= ,f(α)=f(β)=4,
(2)设φ(x)=2x2－ax－2,那么当α＜x＜β时，φ(x)＜0,

.
∴函数f(x)在(α，β)上是增函数.
(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,
∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2.