导数及其应用专题复习.doc

《导数及其应用》专题复习
《导数及其应用》专题复习
一、求切线方程
例1．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为__________．
解: ∵ ∴切线的斜率，
∴切线方程为 ，即
练习1. （2014广东文）曲线在点处的切线方程为

练习2．(2014江西文)若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.
练习3．(2014新课标Ⅱ文)已知函数，曲线在点处的切线及轴交点的横坐标为,则. 1
练习4．（2014广东理）曲线在点处的切线方程为
。
练习5．(2014新课标Ⅱ理)设曲线在点处的切线方程为,则( D )
A． B． C．2 D．
点拨：求切点方程要注意:①已知点是否为切点？若未知切点应设切点坐标。②若切点为,则切线的斜率．③切点既在切线上又在曲线上。
二、求函数的单调区间
例2．（2014湖北文数）求函数的单调区间。
解: 的定义域为。∵ ∴
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减；
故的单调递增区间为，单调递减区间为
点拨：求函数的单调区间应注意：①定义域优先；②单调区间不能用并集表示。
练习6．求函数的单调区间
解:的定义域为，
由得或；由得或
∴的单调递增区间为，单调递减区间为
练习7．（2014广东文数）已知函数，
求函数的单调区间；
解: 方程的判别式：
①当时，，，此时在上为增函数；
②当时，方程的根为，
当时，，此时为增函数；
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数；
综上，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是和，
单调递减区间是
三、求函数的极值
例3．(2014福建文数)已知函数（为常数）的图像及轴交于点，曲线在点处的切线斜率为,(1)求的值及函数的极值；
解：由得,又,得
∴,,令得
当时,, 单调递减;当时,, 单调递增;
∴当时, 有极小值,且极小值为,
无极大值.
点拨：求函数极值时选求导,然后把导函数因式分解,最高次项系数不是1的要提取系数.
练习8．（2014天津文数）已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
解：（Ⅰ）因为，所以.
令得或.
因为当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，.
练习9．（2014重庆文数）已知函数，其中，且曲线 点处的切线垂直于。（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值。
解：（1）,由曲线 点处的切线垂直于,得
,解得
（2）由（1）知,, ∴的定义域为,
,令解得或,
因为不在的定义域内,故舍去.
当时,, 单调递减;当时, ，单调递增，所以函数的单调递减区间是,的单调递增区间是,由此知在处取得极小值.

四、求函数的最值

例4．(2014北京文数)已知函数.（1）求在区间上的最大值；
解：由得，令得或，
当变化时，、的变化情况如下表：

极大值

极小值

∴有极大值, 极小值
又∵，
∴在区间上的最大值为。
点拨：求函数的最值只需求出极值和区间端点的函数值,再比较大小.
练习10． 已知函数,(1) 求函数的单调区间;(2) 求函数在的最大值和最小值。
解：，令，得
当变化时，、的变化情况如下表：

极大值

极小值

∴的单调递增区间为和，单调递减区间为
又∵，∴在的最大值为，最小值为。
例5．（2014四川文数）已知函数其中、，为自然对数的底数。
（1）设是函数的导数，求在区间上的最小值。
解：∵∴∴
①当时，恒成立，∴在上单调递增 ∴
②当时，令，得。
在单调递减，在单调递增；
（ⅰ）当，即时，在上单调递增，
∴
（ⅱ）当时，即，在上单调递减，
在在上单调递增，所以当时，
（ⅲ）当，即时， 在上单调递减。∴
综上，当时，为最小值为；当时，为最小值为
；当时，为最小值为。
点拨：求含有参数的函数在某区间的最值要分类讨论，一般分三类①极值点在区间左侧；②极值点在区间内；③极值点在区间右侧。
练习11．.（2011陕西文数）设，．
（1）求的单调区间和最小值；
解：（1）由题设知，，
∴的定义域为，，
令，得，
当时，，是减函数，故的单调减区间是；
当时，，是增函数，故的单调递增区间是。
因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点。
所以的最小值为。
练习12．.（2011北京文数）已知函数，（I）求的单调区间；
（II）求在区间上的最小值。
解：（I），；
由得，由得，
所以的单调递增区间是，的单调递减区间是；
（II）令得，
①当即时，函数在区间上单调递增，所以；
②当即时，由（I）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以；
③当,即时，函数在区间上单调递减，所以
。
综上所述,当时，函数在区间上的最小值为;时，函数 区间上的最小值为;当时，函数在区间上的最小值为.
五、恒成立问题
例6. (2014辽宁文数)当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：不等式变形为.
①当时, 变为,故实数a的取值范围是.
②当时,原不等式等价于,记,则
,故在上单调递增,则,故.
③当时,原不等式等价于,记,则
,令,得或(舍去)
当时,,单调递减;当时, ,单调递增,故.
综上所述, 实数a的取值范围是,选(C)
点拨：恒成立问题应注意:①等号是否成立？②注意区分能成立及恒成立；③求的取值范围最好能分离.④恒成立，则；恒成立，则。
练习13． (2014新课标Ⅱ文数)若函数在区间（1，+）单调递增，则的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
解：∵ ∴
∵在区间（1，+）单调递增，∴在（1，+）恒成立
即在（1，+）恒成立 ∴,故选(D)
练习14．（江苏卷）设函数,,其中为实数.
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
解:(1)由即对恒成立,∴
而由知 ∴
由，令，则
当时，，单调递减；
当时，, 单调递增；
∵在上有最小值 ∴ ∴。
综上所述:的取值范围为
练习15．(2012湖南文数)已知函数，其中.
（1）若对一切，恒成立，求的取值集合；
解：令.
当时单调递减；当时单调递增，
故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当.　　①
令则，
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.
综上所述，的取值集合为.
五、证明不等式
例.(2014福建文理)(2)当时,.
证明:设,则
设,则,令,得
当时,, 单调递增；
当时,, 单调递减；
∴ ∴恒成立,
∴在单调递增；∴ 即
∴当时,
点拨：运用导数证明不等式首先要恰当地构造函数(关键),然后用导数求最值.
练习16．(2014新课标Ⅰ理数)(2)证明:
证明:设,则的定义域为,,
当时,, 在上单调递增；
当时,, 在上单调递减；
∴在上的最小值为
设,则,
当时,,在上单调递增;
当时, ,在上单调递减；
∴在上的最大值为
综上, 时,,即.
六、综合练习
练习17．（2014陕西文数）设函数.
（1） 当（为自然对数的底数）时，求的极小值；
（2） 讨论函数零点的个数；
（3） 若对任意，恒成立，求的取值范围。
解：（1）∵时，，
∴的定义域为，
当时，， 在上单调递增；
当时，， 在上单调递减；
∴时取得极小值，
∴的极小值为。
（2）由题设，
令得，设，则
，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
∴是的唯一极值点，且是极大值点。因此是的最大值点。
∴的最大值为。
又，结合的图象（如图），可知
①当时，函数无零点；
②当时，函数有且只有一个零点；
③当时，函数有两个零点；
④当时，函数有且只有一个零点；
综上所述，当时，函数无零点，当或时，函数有且只有一个零点，当时，函数有两个零点。
（3）对任意，恒成立等价于恒成立（）
设，则（）等价于在单调递减。
∴在上恒成立，
得在上恒成立，
∵（当且仅当时上式等号成立 ）
∴ ∴的取值范围是

练习18．（2014安徽文数）设函数，其中
（1） 讨论在其定义域上的单调性；
（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.
解: (1)的定义域为，，
令得，
∴，
∴当或时，；当时，，
故在和内单调递减，在内单调递增。
(2)∵ ∴
①当时，,由(1)知在上单调递增,所以在和处分别取得最大值和最小值;
②当时，,由(1)知在上单调递增,在上单调递减,因此
在处取得最大值, 又,所以
当时, 在处取得最小值;
当时, 在和处同时取得最小值;
当时, 在处取得最小值.
练习19．已知函数(Ⅰ) 求函数的单调区间； (Ⅱ) 当a >0时，求函数在上的最小值.
解：(Ⅰ)
①当a ≤ 0时，，
故函数增函数，即函数的单调增区间为．
②当时，令，可得,
当时，；当时，，
故函数的单调递增区间为,单调减区间是.
(Ⅱ)①当,即时,函数在区间[1,2]上是减函数,
∴的最小值是. 　　　　　
②当，即时，函数在区间[1,2]上是增函数，
∴的最小值是.
③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．
又，∴当时,最小值是；
当时,最小值为.　　　
综上可知,当时, 函数的最小值是；当时，函数的最小值是.
练习20．已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
解：.
（Ⅰ）由，解得.
（Ⅱ）.
①当时，，，

在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
③当时，， 故的单调递增区间是.
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（Ⅲ）由已知，在上有
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，
故.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，，
综上所述，.

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