高二数学选修11第三章导数及其应用师用教案.doc

高二数学选修1-1第三章《导数及其应用》师用教案1
选修1-1 第三章《导数及其应用》
§3.1 变化率及导数
【知识要点】
l 导数的定义：．
l 导数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率．
l 求导数的三个步骤：
（1）求函数的增量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数．
【例题精讲】
【例 1】利用导数的定义求函数的导数，并求该函数在x=3处的导数值．

【例 2】已知曲线，及该曲线上的一点，
（1）用导数的定义求点A处的切线的斜率； （2）求点A处的切线方程．

【例 3】质点M按规律作直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M在t=2秒时的瞬时速度．

【例 4】已知在x=a处可导，且，求下列极限：
（1）； （2）．

【基础达标】
1．在导数的定义中，自变量x的增量（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不等于0
2．在曲线的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+，2+），则为（ ）
A． B． C． D．
3．一直线运动的物体，从时间t到时，物体的位移为，那么为（ ）
A．从时间t到时，物体的平均速度 B．时间t时该物体的瞬时速度
C．当时间为时该物体的速度 D．从时间t到时位移的平均变化率
4．已知一物体的运动方程是（其中位移单位：m，时间单位：s），那么该物体在3s时的瞬时速度是（ ）
A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s
5．设函数在处可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．若，则等于 ．
7．抛物线在点P（2，1）处的切线方程是 ．
1～5 DCBAB 6、 7、x－y－1=0 ．
【能力提高】
8．用导数的定义求函数的导数．

9．（1）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）及时间t（单位：s）之间的函数关系为，求t = 4s时，此球在垂直方向的瞬时速度．
（2）质点P在半径为10cm，圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动，角速度为1rad/s，设该圆及x轴正半轴的交点A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上射影点M的速度．

10．观察，，，是否可判断，可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．

§3.2 导数的计算
【知识要点】
l 几种常用函数的导数：c' =0（c是常数）；；；；；；；．
l 导数的四则运算法则：；；；特别地，若c为常数，则．
【例题精讲】
【例 1】求下列函数的导数：（1）； （2）．

【例 2】已知函数，且，求x0．

【例 3】（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动物体在曲线上运动，求物体在t=3s时的速度．（位移单位：m，时间单位：s）

【例 4】设函数，点在曲线上，求曲线上在点P处的切线及x轴、y轴的正半轴所围成的三角形面积的表达式（用表示）．

【基础达标】
1．函数y=3x－(x－1)2的导数是（ ）
A．5+2x B．5－4x C．5－2x D．5+4x
2．已知f (x) =ax3+3x2+2，若，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A．2x sin x B．x2 cos x C．2x cos x+x2 cos x D．2x sin x+x2 cos x
4．抛物线y=x2上点的切线的倾斜角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．函数y=ax2＋1的图象及直线y=x相切，则a=（ ）
A． B． C． D．
6．已知曲线，则过点P(2，4)的切线方程是 ．
7．垂直于直线2x－6y+1=0，且及曲线相切的直线的方程是 ．
1～5 CBDBB 6、4x－y－4=0 7、3x+y+6=0．
【能力提高】
8．求曲线y=sin x，（1）在点处的切线方程；（2）在点处的切线方程．

9．已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P（1，2），且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．

10．有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动， 求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度．

§3.3.1 函数的单调性及导数
【知识要点】
l 导数及函数单调性关系：如果函数y=f (x)在某个区间内可导，那么若，则函数y=f (x)在该区间内是增函数；若，则函数y=f (x)在该区间内是减函数；若，函数y=f (x)在该区间内是常数函数．
l 求解函数y=f (x)单调区间的步骤：（1）确定y=f (x)的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
【例题精讲】
【例 1】求下列函数的单调区间．（1）f (x) =2x3－6x2+7，（2）f (x)=－ln x+2x2．

【例 2】已知在区间[－1，1]上是增函数，求实数a的取值范围．

【例 3】已知函数的图象如右图所示（其中是函数f (x)的导函数），下面四个图象中y=f (x)的图象大致是（ ） 【C】

A B C D
【例 4】设，是R上的偶函数，（1）求a的值；（2）证明f (x)在上是增函数．

【基础达标】
1．设函数f (x)在（－∞，＋∞）内可导，且恒有，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)在R上单调递减 B．f (x)在R上是常数
C．f (x)在R上不单调 D．f (x)在R上单调递增
2．若函数f (x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）
y
o
x
y
o
x
y

o
x
y
o x
x

A B C D
3．函数f (x)=x ln x的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．关于函数f (x)=2x3－6x2+7，下列说法不正确的是（ ）
A．在区间（，0）内，f (x)为增函数 B．在区间（0，2）内，f (x)为减函数
C．在区间（2，）内，f (x)为增函数 D．在区间内，f (x)为增函数
2
O
x
1
y
2
1
y
x
O
5．设是函数f (x)的导函数，的图象如下左图，则y=f(x)的图象最有可能的是（ ）
y
O 1 2 x
y
O
1
2 x
A B C D
6．函数y=3x－x3在(－1，1)内的单调性是 ．
7．已知函数f (x)=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，则a的范围为 ．
1～5 DABDC 6、增函数 7、．
【能力提高】
8．已知函数，，求的单调区间和值域．

9．证明函数y=2x3+3x2－12x+1 在区间（－2，1）内是减函数．

10．已知函数f (x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x－y+7=0 ． （1）求函数y=f (x)的解析式；（2）求函数y=f (x)的单调区间．

§3.3.2 函数的极值及导数
【知识要点】
l 极值定义．
l 求可导函数f (x)的极值的步骤：
（1）求导；
（2）解方程；
（3）检查在方程的根左右两边的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值．
【例题精讲】
【例 1】求函数的极值．

【例2】求y=(x2－1)3+1的极值．

【例 3】已知f (x) =ax3+bx2+cx（a0）在x=±1时取得极值，且f (1)=－1．
（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

【基础达标】
1．下列说法正确的是（ ）
A．当时，则f (x0)为f (x)的极大值 B．当时，则f (x0)为f (x)的极小值
C．当时，则f (x0)为f (x)的极值 D．当f (x0)为函数f (x)的极值时，则有
2．函数y=1+3x－x3有（ ）
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
3．函数f (x)=x3+ax2+3x－9 ，已知f (x)在x=－3时取得极值，则 a =（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．函数f (x)的定义域为，且f (x)0，，那么函数f (x)（ ）
A．存在极大值 B．存在极小值 C．是增函数 D．是减函数
5．函数y=ax3+x+1有极值的充要条件是（ ）
A．a0 B．a0 C．a0 D．a0
6．函数y=－x2－2x+3的极大值为 ．
7．已知函数f (x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f (2)等于 ．
1～5 DDACB 6、4； 7、18或11．
【能力提高】
8．求函数y=x3－27x 的极值．

9．已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋c在x=及x=1时都取得极值，求a、b的值及函数f(x)的单调区间．

10．已知函数f (x)=ax3+cx+d (a0)是R上的奇函数，当x=1时f (x)取得极值－2 ．
（1）求f(x)的单调区间和极大值；（2）证明对任意x1，x2，不等式恒成立．

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