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第二章 直线与平面的位置关系
一、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
L

A
·
α
A∈L，B∈L
=>L α

A∈α，B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
C
·
B
·
A
·
α
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
P
·
α
L
β
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
二、空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。
异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。
5 注意点：
（1）直线所成的角θ∈(0， ]。
（2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
（3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
（4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2直线、平面平行的判定及其性质
2.1 线面平行的判定定理
1、 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
2.2 平面与平面平行的判定
1、判定定理1：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行则面面平行。
2、判定定理2:如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两
个平面平行。
3、判定定理3：平行于同一个平面的两个平面平行。
4、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.3 — 2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、 平面与平面平行的性质定理1：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 简记为：面面平行则线线平行。
3、 平面与平面平行的性质定理2：如果两个平面平行，则在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。
4、 平面与平面平行的性质定理3：如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线。
3直线、平面垂直的判定及其性质
3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
P
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
棱l β
B
　　 α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
3.3 — 3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
1. 证明线线垂直的方法：
(1) 计算两直线所成的角为（包含异面直线所成的角）。
(2) 线面垂直的性质。
(3) 向量法（（a,b为非零向量））。
2．判断线面垂直的方法
（1）线面垂直的定义。（2）线面垂直的判定定理。（3）平行性垂直平面的传递性。
（4）面面垂直的性质。（5）面面平行的性质。（6）面面垂直的性质。
（7）向量法（直线的方向向量与平面的法向量平行：）。
3．面面垂直的判定
（1）面面垂直的定义。（2）面面垂直的判定定理。（3）向量法（法向量垂直）。
4.空间角
1.异面直线所成的角
1、通过异面直线所成角的定义，把异面直线所成的角转化成平面内的线线角。
2、求两条异面直线所成角的大小步骤如下：
（1）利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或这两条同时平移到某个特殊位置，顶点选在特殊位置上；（2）证明做出的角就是所求角；（3）利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是（0，]
2线面所成的角
1.分类：（1）线面平行或线在面内，线面所成角为。
（2）线面垂直，线面所成角为。
（3）斜线和平面所成的角为。
2.找角：求直线与平面所成角的过程：a.通过射影转化法，做出直线与平面所成的角；b.在三角形中求角的大小。
3.向量法:设是平面的斜线，设，向量为平面的法向量，设PA与平面所成的角为，则。
3面面所成的角---二面角
求二面角的方法：
（1） 定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角。用定义法时，要观察图形的特性
（2） 三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角
（3） 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角。
（4）射影法：利用面积射影公式 ，其中为平面角的大小。此方法不必在图中画出平面角来。
（5）向量法：设二面角的平面角为：a. 若，有，，那么。b. 设向量、分别为平面和平面的法向量，则，与是相等还是互补，根据具体图形判断。

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