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初中几何辅助线——圆常用辅助线
题型1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.

例1如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD
证明:过O作OE⊥AB于E
∵O为圆心，OE⊥AB
∴AE = BE CE = DE
∴AC = BD

练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径.

题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例2如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：

证明：（一）连结OC、OD
∵M、N分别是AO、BO的中点
∴OM = AO、ON = BO
∵OA = OB
∴OM = ON

∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD
∴Rt△COM≌Rt△DON
∴∠COA = ∠DOB
∴
（二）连结AC、OC、OD、BD
∵M、N分别是AO、BO的中点
∴AC = OC BD = OD
∵OC = OD
∴AC = BD
∴

题型3.有弦中点时常连弦心距
例3如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM
证明：连结OM、ON
∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点
∴OM⊥AB ON⊥CD

∵AB = CD
∴OM = ON
∴∠OMN = ∠ONM
∵∠AMN = 90o－∠OMN
∠CNM = 90o－∠ONM
∴∠AMN =∠CNM
题型4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.
例4如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证：AC = BD
证明：过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N

∴
∵O1P = O2P
∴O1M = O2N
∴AC = BD

题型5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
⑴连结过弧中点的半径

⑵连结等弧所对的弦
⑶连结等弧所对的圆心角
例5如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的
中点，求证：CD = CE
证明：连结OC
∵C为弧AB的中点
∴
∴∠AOC =∠BOC
∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO = BO
∴OD = OE = AO = BO
又∵OC = OC
∴△ODC≌△OEC
∴CD = CE
结论1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半.
结论2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.
结论3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.

例6如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC = DC

证明：连结AD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADP = 90o
∵AC = PC
∴AC = CD =AP
练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：
题型6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.
题型7.有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦
⑵作等弧所对的圆心角
⑶作等弧所对的圆周角
练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)

2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC
（提示如图）

题型8.有弦中点时，常构造三角形中位线
例7已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =AD
证明：作直径CF，连结DF、BF
∵CF为⊙O的直径
∴CD⊥FD
又∵CD⊥AB
∴AB∥DF
∴

∴AD = BF
∵OE⊥BC O为圆心 CO = FO
∴CE = BE
∴OE =BF
∴OE =AD

题型9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.

例8如图，△ABC内接于⊙O，直线AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC = AD·AE
证明：连结BE
∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1
∴∠3 =∠2
∵四边形ACBE为圆内接四边形
∴∠ACD =∠E
∴△ABE∽△ADC
∴
∴AB·AC = AD·AE
题型10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦
例9如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B的直线分别交⊙O1、⊙O2于E、F.求证：CE∥DF
证明：连结AB

∵四边形为圆内接四边形
∴∠ABF =∠C
同理可证：∠ABE =∠D
∵∠ABF ＋∠ABE = 180o
∴∠C＋∠D = 180o
∴CE∥DF
题型11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.
⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.

例10如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.
求证：PA、PB为⊙O的切线
证明：连结OA
∵PO为直径
∴∠PAO = 90o
∴OA⊥PA
∵OA为⊙O的半径
∴PA为⊙O的切线
同理：PB也为⊙O的切线
例11如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线

证明：连结OE，过O作OF⊥CD于F
∵OE为半径，AB为小圆的切线
∴OE⊥AB
∵OF⊥CD, AB = CD
∴OF = OE
∴CD为小圆的切线

练习：如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E,
求证：PE是⊙O的切线

题型12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.
例12如图，在Rt△ABC中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD长.
解：连结OE，则OE⊥AC
∵BC⊥AC
∴OE∥BC
∴
在Rt△ABC中，AB =
∴

∴OE = OB =
∴BD = 2OB =
∴AD = AB－DB = 15－=
答：AD的长为.

练习：如图，⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC = CD

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