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数列
A、等差数列知识点及例题
一、数列
由与的关系求
由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。
〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解；
（2）可转化后利用累乘法求解；
（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。
解答：（1）

（2）
……累乘可得，故
（3）

二、等差数列及其前n项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{}的前n项和是的形式（A，B是常数），则{}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{}的前n项和为，且满足
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求的表达式。
分析：（1）与的关系结论；
（2）由的关系式的关系式
解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首项，以2为公差的等差数列。
（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴=,当n≥2时，=2·=。又∵，不适合上式，故。
【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．
∵a1＝1，∴2a1＝2pa＋a1－p，
即2＝2p＋1－p，得p＝1.
于是2Sn＝2a＋an－1.
当n≥2时，有2Sn－1＝2a＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a－2a＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－)＝0.
又∵an>0，∴an－an－1＝，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·＝.

（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为，故数列{}是等差数列。
〖例〗已知数列{}的首项=3，通项，且，，成等差数列。求：
（1）的值；
（2）数列{}的前n项和的公式。
分析：（1）由=3与，，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由=3得……………………………………①
又，得…………………②
由①②联立得。
（2）由（1）得，

（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：
已知数列{}是等差数列，是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则,特别：若m+n=2p，则。
（2）仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列也是等差数列；
（4）；
（5）若n为偶数，则；若n为奇数，则；
（6）数列也是等差数列，其中均为常数，是等差数列。
典型例题
1．等差数列中, 若，则＝_____225___；
2.（厦门）在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ A ）
A．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= 24
4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　D　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.
　由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，
即＝2.
所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.
7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值等于________．
　如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.
因为xA＝，则xD＝.
又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝，xC＝.
故|m－n|＝|×－×|＝.
8、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．
设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，
∴d＝.
∴数列{an}为递增数列．
令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤，
∵n∈N*.
∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－.

6.若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则 6 .
7．（北京卷）（16）（本小题共13分）
已知为等差数列，且，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式
解：（Ⅰ）设等差数列的公差。
因为
所以 解得
所以
（Ⅱ）设等比数列的公比为
因为
所以 即=3
所以的前项和公式为
★等差数列的最值：
若是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若a1>0,d>0,且满足，前n项和最大；
（2）若a1<0,d>0，且满足，前n项和最小；
（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。
〖例〗在等差数列中，，其前n项和为。
（1）求的最小值，并求出取最小值时n的值；
（2）求。
分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函数求最值；
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。
解答：（1）设等差数列的首项为，公差为，∵
，令
，∴当n=20或21时，最小且最小值为-630.

（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。
∴

〖例〗已知数列是等差数列。
（1）若
（2）若
解答：设首项为，公差为，
（1）由，
∴
（2）由已知可得解得

【例】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<1.
(1)解　①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3，
∴a1＝3.
②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得，
2Sn－1＝3an－1－3.
两式相减得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1，
∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n.
验证：当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n.
∴{an}的通项公式为an＝3n.
(2)证明　∵bn＝＝
＝＝－，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－<1.

B、等比数列知识点及练习题
等比数列及其前n项和
（一）等比数列的判定
判定方法有：
（1）定义法：若，则是等比数列；
（2）中项公式法：若数列中，，则数列是等比数列；
（3）通项公式法：若数列通项公式可写成，则数列是等比数列；
（4）前n项和公式法：若数列的前n项和，则数列是等比数列；
注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
〖例〗在数列中，。
（1） 证明数列是等比数列；
（2） 求数列的前n项和；
（3） 证明不等式对任意皆成立。
解答：（1）由题设得。又所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列。
（2）由（1）可知，于是数列的通项公式为。所以数列的前n项和。
（3）对任意的，
，所以不等式对任意皆成立。
（二）等比数列的的运算
等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量，，，，，显然，“知三求二”，通常列方程（组）求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。
注：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。
〖例〗设数列的前n项和为，且=2-2；数列为等差数列，且。
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若，为数列的前n项和，求证：。【放缩法】
解答：（1）由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2……………………①
得……………………………………………………②
②-①得，∴，∴是以为首项，以为公比的等比数列，所以=·。
（2）∵为等差数列，∴，∴从而
∴………………………………③
∴…………………④
③-④得

=
∴
∴
（三）等比数列性质的应用
★在等比数列中常用的性质主要有：
（1）对于任意的正整数若，则特别地，若；
（2）对于任意正整数有；
（3）若数列是等比数列，则也是等比数列，若是等比数列，则也是等比数列；
（4）数列仍成等比数列；
（5）数列是等比数列（q≠-1）；
★（6）等比数列的单调性

注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。
1.（全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
2. （辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则
（A） (B) (C) (D)
【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。
【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，
3. （辽宁卷）（14）设为等差数列的前项和，若，则 15 。
解： ,解得，
4. （天津卷）（15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则= 。
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。
5. （上海卷）已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，
又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；
(2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)；
由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．

【其他考点题】
1、设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且，，则下列结论错误的是（C）
A.d＜0 B.a7＝0
C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
解析：由S5<S6得a1+a2+a3+…+a5<a1+a2+…+a5+a6，∴a6>0，又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由题设a7=0，a8<0，显然C选项是错误的。
2、＝（C）
(A) 2 (B) 4 (C) (D)0
3、已知a、b、c成等比数列，a、x、b和b、y、c都成等差数列，且xy≠0，那么的值为（B ）。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4、已知等差数列的前项和为
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的{bn}前n项和。
(Ⅰ)解法一：当时，,
当时,.
是等差数列, , ············4分
解法二：当时,,
当时,.
当时,.
.
又,
所以,得.············4分
(Ⅱ)解：,.
又, , ············8分
又得.
,,即是等比数列。
所以数列的前项和.

13