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等差数列的前n项和教学设计与反思
长春市十一高中 杨君
1.教学内容解析
高中数学必修5第二章第三节，等差数列的前n项和，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的前n项和公式、公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的前n项和。通过本节课的学习要求掌握等差数列的前n项和公式及推导，并且了解等差数列前n项和公式与二次函数的关系。
2.教学目标设置
知识目标：掌握等差数列的前n项和公式，能较熟练的应用等差数列的前n项和公式求和；
能力目标：在知识发生、发展以及形成过程中遵循从特殊到一般的认知规律，培养学生的类比思维能力，通过对公式从不同角度不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题解决问题的能力
情感态度与价值观目标：通过生动具体的现实问题，以及令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，产生热爱数学的情感。
教学重点：等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题
教学难点：获得等差数列前n项和公式的推导思路
3.学生学情分析
学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．
4.教学策略分析
本着“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法”这一高中数学课程追求的基本理念，本节课采用启发引导、合作学习、多媒体辅助等多种手段相结合，使学生的数学学习活动不只局限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，训练学生独立思考、自主探索、动手操作、合作交流等学习数学的重要方式，培养学生良好的学习习惯和思维方式；在教学中重视学生“做数学”的过程，关注学生的主体参与，师生互动，生生互动，使学生在“做”的过程中掌握数学概念和方法的本质；适时使用信息技术，不但让学生直观感数学思想形成过程，又能突破轨迹问题中的难点
5.教学过程设计
（一）首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下图），你知道这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+…+100。
紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050
【设计说明】 了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。
（二）层层铺垫——发现方法
学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，
但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段，
为了促进学生对这种算法的进一步理解，
让学生计算＝？
如图，把“三角形”倒置，与原图补成平行四边形，让学生观察效果很容易获得结果：，并尝试将直观问题抽象成数学问题。

【设计说明】在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。 但是如何将直观问题抽象化，此处也是教学的一个难点。
老师启发学生一起去发现两个三角形体现的求和思想，板书给出

通过这个过程让学生理解“倒置”与“倒序”，“补”与“相加”的对应关系。
和学生一起完成 ：求1到n的正整数之和，并板书

然后让学生反思求和过程，体会其中的数列具有怎样的关键特点？并指出这种方法就是“倒序相加法” 有些学生会发现特点一：在于前n个自然数具有一种“对称性”。即：与首末两项等距离的两数之和都等于首末两数之和。即“首尾配对”。这个性质在等差数列中具有普遍性吗？带着学生去验证等差数列具有：
特点二：即“从前往后看，每一项都比前一项多d”“从后往前看，每一前项比后一项少d”。即“递进递减”
【设计说明】从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学生体验“倒序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进。
从反思中进一步体会等差数列具有“首尾配对”“递进递减”的两个特点，为后面顺利完成等差求和的推导奠定基础。本节课的难点得以突破。
（三）归纳整理——思想升华
完成上述推导以后，我再顺势引导学生能否将问题一般化？分别叫学生到黑板上推导，老师个别指导

公式2
【设计说明】在教师的引导下，让学生主动思考主动参与体会知识结论的形成过程，对等差数列有了更深刻的理解
（四）巩固练习——全面认识
例1　某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m）是：
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
这位长跑运动员７天共跑了多少米？
【设计说明】本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。　
例2 等差数列中，已知，求和
【设计说明】本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。
可以使用公式2，先求出首项，再使用通项公式求尾项。也可以使用公式1和通项公式，联立方程组求解。
事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、末项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，联列方程组，就可求其余二个。
例3 在等差数列中，（1）已知 ，求
（2）已知 ，求
【设计说明】每道小题通过所给条件是无法将首项和公差全部求出来的，本例是引导学生认识求和公式中的整体思想，由（2）给出等差数列中 .
（五）梳理知识——形成系统
引导学生回顾公式、推导方法鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
（1）回顾从特殊到一般的研究方法；
（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想；
（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用
【设计意图】：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
（六）布置作业 分层练习
课本P46-A组第4，5，6，7题
选做题：课本P46-B组第1，2，3题
【设计意图】出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。

板书设计
§3.3等差数列的前n项和
1.高斯求和

2.等差数列的前n项和的推导
3.例题

4.小结

6.反思预期效果（目标能否实现，提问、活动的针对性、有效性，预期效果等）；
本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．本节课的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．
本节课采用低起点的规律填空导入新课，台阶低，学生抬脚即上，便于激发学生的上课热情，提高参与程度；开门见山的提问，激活学生思维，为学生指明思考的方向，明确学习的课题。 循序渐进的启发诱导学生，看似不经意的名词解释，实则诠释了概念的内涵。开放式的尝试举例，不禁锢学生思维，便于调动学生的积极性；问题的导引，为通项公式的尝试推导做好铺垫。 公式的推导是本节的难点，打破传统的教师讲授，采用尝试方式，让学生自主探究，学生便于体察公式推导的过程，记忆深刻，对下一环节的尝试具有促进作用。 打破以往的教师出题，学生做题，给学生一个完全开放的做题环境，让学生自由发挥，充分调动起学生的积极性、主动性和创造性，使学生真正成为学习的主人；同时这种合作式学习，使得学生之间相互帮扶，不同层次的学生各取所需，较好的达成教学目标。