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等差数列
【知识点】
1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，其中d 为公差
2．等差数列的通项公式：【或】∴ d=
3．等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝.
4．等差数列的前项和公式
1： 2：
公式二又可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
5. 性质：
等差数列{an}中，公差为d，
若d＞0，则{an}是递增数列；
若d=0，则{an}是常数列；
若d＜0，则{an}是递减数列．

成等差数列，且公差为md。

（5）等差数列的前项和的性质：
①若项数为，则，且，．
②若项数为，则，且，
（其中，）．
6. 充要条件的证明：

7、最值问题
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
①＋②得：Sn＝.
【对应练习】
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）
1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ )
A . -1 B . 1 C .-2 D. 2
2．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为 （　　）
A．49 B．50 C．51 D．52
3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（　 ）
A．92 B．47 C．46 D．45
4、已知等差数列中，的值是( )
A 15 B 30 C 31 D 64
5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3
6、.在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直 上，则=_____________.
7、在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．
8、等差数列的前项和为，若（ ）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
9、 设数列的首项，则______.
10、 已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = __________
11、 已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= .
12、 设为等差数列的前n项和，＝14，，则＝　　　　.
题型二、等差数列性质
1、已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ）
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2、设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
3、 若等差数列中，则
4、记等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公差d=（ ）
A．7 B. 6 C. 3 D. 2
5、等差数列中，已知，，，则n为（ ）
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51
6.、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
7、设Sn是等差数列的前n项和，若（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．
8、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )
A．α1＋α101＞0　 B．α2＋α100＜0　 C．α3＋α99＝0　 D．α51＝51
9、如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则( )
（A） （B） （C）++ （D）=
10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和
为390，则这个数列有（ ）
（A）13项 （B）12项 （C）11项 （D）10项
题型三、等差数列前n项和
1、等差数列中，已知，，则其前项和　　　　　　．
2、等差数列的前n项和为 （ ）
A. B. C. D.
3、已知等差数列满足，则 （ ）
A. B. C. D. [ZXXK]
4、在等差数列中，，，
则 。
5、等差数列的前n项和为，若（　 　）
A．12 B．18 C．24 D．42
6、若等差数列共有项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，
则项数为 （ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
7、 设等差数列的前项和为，若，，则
8、 若两个等差数列和的前项和分别是，已知，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列{}的前n项和记为Sn.已知
（Ⅰ）求通项； （Ⅱ）若Sn=242，求n.

2、已知数列是一个等差数列，且，。
（1）求的通项；（2）求前n项和的最大值。

3、设为等差数列，为数列的前项和，已知，
，为数列的前项和，求。

4、 已知是等差数列，，；也是等差数列，，。
（1）求数列的通项公式及前项和的公式；
（2）数列与是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

5、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

6、已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 (Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设,是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

【课后练习】
1、等差数列的前三项依次为，，，则它的第5项为（ ）
A、 B、 C、5 D、4
2、设等差数列中，,则的值等于（ ）
A、11 B、22 C、29 D、12
3、设是公差为正数的等差数列，若，，则( )
A． B． C． D．
4、若等差数列的公差，则（ ）
（A） （B）
（C） （D） 与的大小不确定
5、 已知满足，对一切自然数均有，且恒成立，则实数的取值范围是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6、等差数列为 （ ）
(A) 3 (B) 2 (C) (D) 2或
7、在等差数列中，，则（ ）
A、 B、 C、0 D、
8、设数列是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A、1 B、2 C、4 D、8
9、已知为等差数列，，则等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
10、已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（ ）
A.－2 B.－ C. D.2
11、在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
12、设等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．63 B．45 C．36 D．27
13、数列是等差数列，它的前项和可以表示为 （ ）
A. B.
C. D.
14、在等差数列中，，，
则 。
15、在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= __ ____。
16、 在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______ 。
17、 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到
a30的和是 ______ 。
18、 已知等差数列 110， 116， 122，……，则大于450而不大于602的各
项之和为 ______ 。
19、 已知等差数列{an}的公差d=，前100项的和S100=145
求： a1+a3+a5+……+a99的值。

20、 已知等差数列{an}的首项为a，记
(1)求证：{bn}是等差数列
(2)已知{an}的前13项的和与{bn}的前13的和之比为 3 ：2，求{bn}的公差。

21、在等差数列{an}中，a1=25， S17=S9
(1)求{an}的通项公式
(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。

22、等差数列{an}的前n项的和为Sn，且已知Sn的最大值为S99，且|a99|〈|a100|求使Sn〉0的n的最大值。

【思考题】
例1．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
例2．已知函数
(Ⅰ)若x1+x2=1，求f(x1)+f(x2)的值；
(Ⅱ)设，求数列{an}的前2010项的和．

例3．数列{an}的前n项和为Sn=npan(n∈N*)且a1≠a2，
(Ⅰ)求常数p的值； (Ⅱ)证明：数列{an}是等差数列．

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