高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答.docx

高中立体几何最正确解题方法总结
一、 线线平行证明方法
1、 利用平行四边形；
2、 利用三角形或梯形中位线；
3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。〔线面平行性质定理〕
4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。〔面面平行性质定理〕
5、 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。〔线面垂直性质定理〕
6、 平行于同一条直线两个直线平行。
7、 夹在两个平行平面之间平行线段相等。

二、 线面平行证明方法
1、 定义法：直线和平面没有公共点。
2、 如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。〔线面平行判定定理〕
3、 两个平面平行，其中一个平面内任意一条直线必平行于另一个平面。
4、 反证法。

三、 面面平行证明方法
1、 定义法：两个平面没有公共点。
2、 如果一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。〔面面平行判定定理〕
3、 平行于同一个平面两个平面平行。
4、 经过平面外一点，有且只有一个平面与平面平行。
5、 垂直于同一条直线两个平面平行。

四、 线线垂直证明方法
1、 勾股定理； 2、等腰三角形； 3、菱形对角线;
4、圆所对圆周角是直角； 5、点在线上射影；
6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内任意直线都垂直。
7、在平面内一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线射影垂直。〔三垂线定理〕
8、 在平面内一条直线，如果和这个平面一条斜线射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
9、 如果两条平行线中一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、 线面垂直证明方法：
1、 定义法：直线与平面内任意直线都垂直；
2、 点在面内射影；
3、 如果一条直线和一个平面内两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。〔线面垂直判定定理〕
4、 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线直线必垂直于另一个平面。〔面面垂直性质定理〕
5、 两条平行直线中一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。
6、 一条直线垂直于两个平行平面中一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。
7、 两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们交线必垂直于第三个平面。
8、 过一点，有且只有一条直线与平面垂直。
9、 过一点，有且只有一个平面与直线垂直。

六、 面面垂直证明方法：
1、 定义法：两个平面二面角是直二面角；
2、 如果一个平面经过另一个平面一条垂线，那么这两个平面垂直；〔面面垂直判定定理〕
3、 如果一个平面与另一个平面垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
4、 如果一个平面与另一个平面垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

高中立体几何经典考题及方法汇总

1线面平行判定
A1
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
1、如图，在正方体中，是中点，
求证： 平面。
证明：连接交于，连接，
∵为中点，为中点
∴为三角形中位线 ∴
又在平面内，在平面外
∴平面。

2线面垂直判定
2、中,面,,求证：面．
证明：°
又面
面

又面

3线面平行判定〔利用平行四边形〕，线面垂直判定
3、正方体，是底对角线交点.
求证：(１) C1O∥面；(2)面．
证明：〔1〕连结，设，连结
∵ 是正方体 是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又分别是中点，∴O1C1∥AO且
是平行四边形
面，面 ∴C1O∥面
〔2〕面
又，
同理可证， 又
面

4线面垂直判定
4、正方体中，求证：〔1〕；〔2〕.

5 线面平行判定〔利用平行四边形〕

A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F

5、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)假设E、F分别是AA1，CC1中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
6三垂线定理
6、如图是所在平面外一点，平面，是中点，是上点，
〔1〕求证：；〔2〕当，时，求长。
证明：〔1〕取中点，连结，∵是中点，
∴，∵ 平面 ，∴ 平面
∴是在平面内射影 ，取 中点，连结 ，∵∴，又，∴
∴，∴，由三垂线定理得
〔2〕∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴
7线面平行判定〔利用三角形中位线〕，面面垂直判定
7、如图，在正方体中，是中点.
〔1〕求证：平面；
〔2〕求证：平面平面.
证明：〔1〕设，
∵、分别是、中点，∥
又平面，平面，∥平面
〔2〕∵平面，平面，
又，，平面，平面，平面平面
8线面垂直判定,构造直角三角形
8、是矩形，平面，，，为中点．
〔1〕求证：平面；〔2〕求直线与平面所成角．
证明：在中，，
∵平面，平面，
又，平面
〔2〕为与平面所成角
在，，在中，
在中，，
9线面垂直判定,构造直角三角形,面面垂直性质定理，二面角求法〔定义法〕

9、如图，在四棱锥中，底面是且边长为菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
〔1〕假设为中点，求证：平面；
〔2〕求证：；
〔3〕求二面角大小．
证明：〔1〕为等边三角形且为中点，
又平面平面，平面
〔2〕是等边三角形且为中点，
且，，平面，
平面，
〔3〕由，∥，
又，∥，
为二面角平面角
在中，，
10线面垂直判定，运用勾股定理寻求线线垂直

10、如图1,在正方体中，为 中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．

证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，
∴DB⊥平面，而平面 ∴DB⊥．
设正方体棱长为，那么，．
在Rt△中，．∵，∴．
∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD．
11线面垂直判定

11、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
证明：取AB中点Ｆ，连结CF，DF．
∵，∴．
∵，∴．
又，∴平面CDF．
∵平面CDF，∴．
又，，　
∴平面ABE，．
∵，，，
∴ 平面BCD．
12线面垂直判定，三垂线定理

12、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

证明：连结AC
∴ AC为A1C在平面AC上射影