压轴题综合训练：等腰三角形分类讨论.doc

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课 题
压轴题综合训练：等腰三角形分类讨论问题
教学内容
u 本节课内容解析与例题讲解

压轴题专题训练 —— 等腰三角形分类讨论问题
等腰三角形的分类讨论题目多见于初三各级各类模拟考试甚至中考压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象、分析和运算能力，理清这类题目的解题思路和解题策略将会是考试中获得高分的重要砝码。
等腰三角形分类讨论的题目粗略分为两种：第一种是用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三边后，三条线段依次相等建立方程后求解；第二种是分别作出三种等腰三角形条件下的图形，利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解。

例1：（2011年闸北区一模25题）
已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC = ∠DEF = 90°，∠ABC = 45°，BC = 9 cm，DE = 6 cm，EF = 8 cm．
如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3 cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

(图甲)

(图乙)

例2：
如图，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时，的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

例3：（2009年上海中考模拟25题）
已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=CD=8，cosB=1/4，P是腰AB上的一点（与B点不重合），BQ∥DP，交腰CD于点Q，设点A与点P的距离为x，点C与点Q的距离为y。
（1） 求边BC的长；
（2） 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3） 如果△BCQ是等腰三角形，求x的值。

例4：
已知，在中，.
（1）求的长（如图a）；
（2）、分别是、上的点，且，连结并延长，交的延长线于点，设（如图b）.
①求关于的函数解析式，并写出的定义域；
②当为何值时，是等腰三角形？

例5：
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求t的值．
A
B
Q
C
P
D

（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

u 课堂检测
如图，在Rt△ABC中，A=90°，AB=3，BC=5，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，过Q作QR∥BA交AC于R。当点Q与点C重合时，点P停止运动。设BQ=x，QR=y。
（1） 求点D到BC的距离DH的长；
（2） 求y关于x的函数关系式；
（3） 是否存在点P，使△PQR是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。

已知在△ABC中，∠A = 45°，AB = 7，，动点P、D分别在射线AB、AC上，且∠DPA =∠ACB，设AP =x，△PCD的面积为y．
（1）求△ABC的面积；
C
A
P
B
D

（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长．

u 课后作业
如图，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

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