高中三角函数最值问题难题.doc

高中三角函数最值问题难题
一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题
例1：求函数＝的最值
分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。
解： （1）当在第一象限时，有
（2）当在第二象限时，有
（3）当在第三象限时，有
（4）当在第四象限时，
综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2.
二、直接应用三角函数的有界性（）解题
例1：（2003北京春季高考试题）设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于（ ）
（A）（B）（C） （D）-2
解析：由于的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数的最大值与最小值分别为,,即＝+（）=-2,选D.
例2：求的最值（值域）
分析：此式是关于的函数式，通过对式子变形使出现的形式，再根据来求解。
解：，即有
。因为，
所以
即
即，所以原函数的最大值是，最小值是。
三、利用数形结合
例：求的最大值与最小值

解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式将原式中的看作是定点与动点连线的斜率，而动点满足单位圆，如上图所示。所以问题可转化为求定点到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得：
，
四、利用三角函数的单调性法
例1：(1996全国高考试题)当，函数的最值
　　(A)最大值是1，最小值是－1　(B)最大值是1，最小值是
　　(C)最大值是2，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－1
，因为，所以，当时，函数有最小值 －1,最大值2，选择D
例2：求的最值及对应的集合
分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。
解答：令，则，且设=
上单调递增，所以
当时， ，此时，
当时，，此时，
五、可化为一次函数，的条件极值的三角函数式极值求法
例1：求函数 的极值
分析：由，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求, ，其中,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。
解： 1）当时, ；
2）当时, ；
说例2：求函数的最值，其中。
分析：在这里不能将它变形为关于或为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即，，，然后代入化简得到即可求出。
解：因为 其中，且，

在这里
六、可化为二次函数的条件极值的三角函数式的最值求法。
例1：求函数最值
分析：因为故求的最值，实质上是求以为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。
即当设=时，变为在约束条件的条件极值。
解：因为
当
当
。七、换元法
例1:函数的最大值是______.(1990年全国高考题)
解析：　如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积,常用换元法来解决问题, 这种方法可简化计算过程。设＝,则＝, 。函数可化为，时，函数最大值是。
说明：题目中出现与时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设＝ 则＝。要特别注意换元后的取值范围。
例2： 求函数的最值。
解：设则 于是 。故当时，即时，
当时，即时，
八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题
例1：求函数的最值。
分析：由令，则归为求（且）的最值，故可用判别式法求之。
解：由 因为这个一元二次方程总有实数根，

例2：（型的函数）求函数的最值（值域）。
分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有的一次式，而分母是含有的一次式，不能直接解出或，通常是化作求解。
解法一：由得 （为辅助角）因为得由此解得函数的值域为
说明：对此类问题可通过万能公式代换求解，还可通过几何方法（数形结合）求解，现介绍如下。
解法二：令 ，则， 即若 即则满足条件若即 ，则由 ，有 函数的值域为
解法三：由，
得，设点
，，
则可看作是单位圆上的
动点与连线的斜率。如右图所示，
直线的方程为，即，则圆心到它的距离
，解得或。所以，即
，所以函数的值域为
九、利用不等式求最值（其中）
利用上述不等式求最值时, 必须满足下列条件:
若个正数的和一定时,当且仅当它们相等时,其积取最大值.
若个正数的积一定时,当且仅当它们相等时,其和取最小值.
例1:当,求的最大值
解析:因为 ,所以
于是 =
所以
即
说明：解答此题后有一个新的体会就是研究形如（且）的值域是十分重要的,下面来看一下:已知函数（且）,求其最大值.
解:因为，所以

考察上式根号中的个因式之和为
。因而由平均值不等式得

当且仅当时，即，亦即时，等号成立
故当时，函数有最大值
例2:求函数的最小值。
分析：本题看似简单，但若直接求不容易，考虑，则。若求出的范围，则问题也就解决了。
解： =

每且仅当 即时，。
所以
说明： 这是一个特殊的问题，下面运用本题的解法来研究它的一般情形的最值问题。
设,,求函数的最小值。
解：由

每且仅当，即时，
所以
说明：像此类题，一般比较复杂，大部分可能无法用其它方法求出，首先必须将它变形符合形式，再考虑是否满足一正，二定，三相等的条件，都满足即可求出。关键的是灵活变形。
十、对有约束条件的三角函数的最值求法
例1：设、皆为锐角，，求函数之最大值。
解析：因为，故且

例2：在中，求函数的最大值
解析：因为、、是三角形内角，即，

所以

，当且仅当时等号成立，
故
说十一、利用导数求函数的最值
例：已知，求的最小值。
解：，令得：，
而，则，而当时，；当时，
所以当时，。
例：求函数的最大值和最小值。
1．运用三角函数的有界性，即来求解，即将原式变形为，所以变为来进行求解即可。即有，即。
2．将函数式化为部分分式，使分子出现常数也容易考虑出它的最值，
即将原式变形为。
当时，即时，有。当时，即时，有。
3．将函数式直接变形为，其实求法就跟上一题一样。4．考虑万能代换，使转化为代数函数的求最值问题。令，则有，所以，即此关于的二次方程应有实根，故，解之得，故有
5．将以上所得的代数函数考虑用基本不等式。即将式子
化为，当为正值时，有。所以，当为负值时，有。所以
综上所述：三角函数最问题可归结以为几大类型：
1．可转化为利用正弦、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型：
可将函数式化为的形式求解的问题，形如或者的函数适用；
可将函数式化为的形式求解的问题，形如或者形如的函数适用；
2．可转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，典型的是：形如的最值；形如的最值；
3．转化为可利用均值不等式求解的最值问题，例如函数的最值。
4．某些带约束（隐含）条件的最值。
5．利用其它方法求解的最值问题（如利用单调性、判别式、图像法等）
6．含参数的逆向思考问题。

第 12 页 共 12 页