《弹塑性力学》-浙江大学.ppt

,書式設定,書式設定,第,2,第,3,第,4,第,5,*,工程弹塑性力学,浙江大学 建筑工程学院,1,绪论,0.1,课程研究对象、研究任务,0.2,基本假定,0.3,几个基本概念,0.4,参考书目,2,0.1,弹塑性力学的研究对象和任务,弹塑性力学,:,研究可变形固体受到外荷载、温度变化及边界约束变动等作用时、弹塑性变形和应力状态的科学。,固体力学的一个分支学科,研究对象,:,对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。,P,P,P,3,研究方法,:,材料力学、结构力学,:,简化的数学模型,研究任务,:,弹塑性力学,:,较精确的数学模型,建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求解的问题的理论和方法。,给出初等理论可靠性与精确度的度量。,学习目的,:,确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布规律。,确定一般工程结构的承载能力。,为研究一般工程结构的强度、振动、稳定性打下理论基础。,4,0.2,基本假定,1).,假定固体材料是连续介质,连续性假定,2).,物体为均匀的,各向同性,的,3).,物体的变形属于,小变形,4).,物体原来是处于一种,无应力,的自然状态,5,0.3,几个基本概念,张量的概念,只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为,标量,温度、质量、力所做的功,除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为,矢量,物体的速度、加速度,在讨论力学问题时，仅引进,标量,和,矢量,的概念是,不够,的,如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等,张量,关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：,M=r,n,=3,n,标量,:n=0,零阶张量,矢量,:n=1,一阶张量,应力,应变等,:n=2,二阶张量,二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。,6,0.3,几个基本概念,为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为,下标记号法,。,下标记号法,:,不重复出现的下标符号,在其变程,N(,关于三维空间,N,3),内分别取数,1,，,2,，,3,，,，,N,重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程,N,内所有分量，然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。,自由标号,:,哑标号,:,7,0.3,几个基本概念,当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程,N,中所有的值然后求和，这就叫做,求和约定,。,求和约定,:,d,ij,记号,：,Kroneker-delta,记号,8,0.3,几个基本概念,凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加,(,减），并得到同阶的一个新张量，法则为：,张量的计算,:,1,、张量的加减,第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的集合,新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。,2,、张量的乘法,张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。,3,、张量函数的求导,9,0.4,主要参考书目,Foundations of Solid Mechanics,1,、,Y.C.Fung(,冯元桢,),2,、杨桂通,3,、徐秉业,A first course in continuum mechanics,固体力学导论,连续介质力学导论,弹塑性力学,应用弹塑性力学,10,第一章 弹塑性力学基础,1.1 应力张量,1.2,偏量应力张量,1.3 应变张量,1.4 应变速率张量,1.5 应力、应变,Lode,参数,11,1.1,应力张量,力学的语言,y,x,z,O,正应力,剪应力,过,C,点可以做无穷多个平面,K,不同的面上的应力是不同的,到底如何描绘一点处的应力状态,?,1).,一点的应力状态,12,一点的应力状态,y,x,z,O,t,yx,t,yz,s,y,t,yx,t,yz,s,y,t,zx,t,zy,s,z,t,xy,t,xz,s,x,t,xy,t,xz,s,x,t,zx,t,zy,s,z,P,A,B,C,1.1,应力张量,一点的应力状态,可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量来确定。,应力张量,数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫做,二阶张量,。,用张量下标记号法,下标1、2、3表示坐标,x,1,、,x,2,、,x,3,即,x,、,y,、,z,方向,(1.1),(1.2),13,1.1,应力张量,2).,一点斜面上的应力,(,不计体力,),i,：,自由下标；,j,为求和下标,（同一项中重复出现）。,斜截面外法线,n,的方向余弦,:,令斜截面,ABC,的面积为,1,(1.3),(1.4),14,1.1,应力张量,斜截面,OABC,上的正应力,:,斜截面,OABC,上的剪应力,:,(1.5),(1.6),15,1.1,应力张量,3).,主应力及其不变量,主平面,:,剪应力等于零的截面,主应力,-,:,主平面上的正应力,代入,采用张量下标记号,Kroneker delta,记号,(1.7),(1.8),(1.9),16,1.1,应力张量,d,ij,记号：,Kroneker-delta,记号,方向余弦满足条件：,采用张量表示,联合求解,l,1,l,2,l,3,：,l,1,l,2,l,3,不全等于,0,(1.10),(1.11),(1.12),(1.13),17,1.1,应力张量,联合求解,l,1,l,2,l,3,：,行列式展开后得：,简化后得,(1.14),(1.15),式中,:,是关于,的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。,主应力大小与坐标选择无关，故,J,1,J,2,J,3,也必与坐标选择无关。,18,1.1,应力张量,若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：,(1.16),主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：,(1.17),主剪应力面,(,t,1,),2,1,3,t,1,2,1,3,t,1,19,1.1,应力张量,最大最小剪应力：,取,主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式,:,消去,l,3,：,由极值条件,20,1.1,应力张量,最大最小剪应力：,第一组解：,第二组解：,第三组解：,它们分别作用在与相应主方向成,45,的斜截面上,因为：,21,1.1,应力张量,4).,八面体上的应力,s,1,s,2,s,3,沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为,八面体,。,(1.19),八面体的法线方向余弦：,八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：,八面体（每个坐标象限1个面）,或,(1.20),22,1.1,应力张量,4).,八面体上的应力,s,1,s,2,s,3,八面体面上的正应力为,:,八面体面上的剪应力为：,八面体（每个坐标象限1个面）,(1.23),(1.21),八面体面上的应力矢量为：,(1.22),平均正应力,23,1.1,应力张量,例题,:,已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定,即,x,3,y,0,z,0,xy,1,yz,2,zx,1,应力单位为,MPa,。试求该点的主应力值。,代入式,(1.14),后得,:,解,:,解得主应力为,:,24,1.2,应力偏量张量,1).,应力张量分解,物体的变形,(1.32),体积改变,形状改变,由各向相等的应力状态引起的,材料晶格间的移动引起的,球应力状态,/,静水压力,弹性性质,塑性性质,球形应力张量,偏量应力张量,25,1.2,应力偏量张量,1).,应力张量分解,(1.31),球形应力张量,偏量应力张量,其中,:,平均正应力,/,静水压力,26,1.2,应力偏量张量,2).,主偏量应力和不变量,(1.31),二阶对称张量,其中,:,剪应力分量始终没有变化,主偏量应力,(1.33),27,1.2,应力偏量张量,证明偏应力状态 的主方向与原应力状态 的主方向重合,例,:,设原应力状态 主方向的方向余弦为,l,1,l,2,l,3,，则由式,(1.9),得,证明：,显然，方向余弦,l,1,l,2,l,3,将由式,(a),中的任意两式和,l,1,2,+l,2,2,+l,3,2,=1,所确定。,(a),若设偏应力状态 主方向的方向余弦为,l,1,l,2,l,3,，则由式,(1.9),同样得：,显然，方向余弦,l,1,l,2,l,3,将由式,(b),中的任意两式和,l,1,2,+l,2,2,+l,3,2,=1,所确定。,(b),由于,:,l,1,=l,1,;l,2,=l,2,;l,3,=,l,3,可见式,(a),与式,(b),具有相同的系数，且已知,l,1,2,+l,2,2,+l,3,2,=,l,1,2,+l,2,2,+l,3,2,=1,28,1.2,应力偏量张量,2).,主偏量应力和不变量,(1.33),偏应力状态 的主方向与原应力状态 的主方向一致,主值为,:,满足三次代数方程式：,(1.34),式中,J,1,J,2,J,3,为不变量,(1.35),29,1.2,应力偏量张量,(1.40),利用,J,1,=0，,不变量,J,2,还可写为,:,(1.38),30,1.2,应力偏量张量,(1.43),3).,等效应力,(,应力强度,),在弹塑性力学中，为了使用方便，将 乘以系数 后，称之为,等效应力,(1.41),简单拉伸时,:,“,等效,”,的命名由此而来。,各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的数值不变，这也说明等效应力与球应力状态无关,31,1.2,应力偏量张量,(1.42),4).,等效剪应力,(,剪应力强度,),“,等效,”,的命名由此而来。,32,例题：,已知结构内某点的应力张量如右式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。,解：,1.2,应力偏量张量,33,等效应力,:,1.2,应力偏量张量,34,关于主应力的方程为,:,由主应力求等效应力,:,1.2,应力偏量张量,35,1.3,应变张量,1).,一点应变状态,位移,刚性位移,变形位移,物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两点之间的距离却保持不变。,物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。,要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究,变形位移,位移函数,位置坐标的单值连续函数,36,1.3,应变张量,微小六面体单元的变形,当物体在一点处有变形时，小单元体的尺寸,(,即单元体各棱边的长度,),及形状,(,即单元体各面之间所夹直角,),将发生改变。,由于变形很微小，可以认为两个平行面在坐标面上的投影只相差高阶微量，可忽略不计。,37,1.3,应变张量,微小六面体单元的变形,B,点位移分量,D,点位移分量,A,点位移分量,xOy,的改变量,:,38,1.3,应变张量,变形后,AB,边长度的平方,:,M,点沿,X,方向上的,线应变,:,(a),(b),(c),代入,(a),得,:,略去高阶微量,同理，,M,点沿,Y,方向上的,线应变,:,39,1.3,应变张量,同理,:,xOy,的改变量，即,剪应变,:,40,1.3,应变张量,对角线,AC,线的,转角,:,刚性转动,41,1.3,应变张量,(1.44),1).,一点应变状态,工程应变分量：,(,几何方程,/,柯西几何关系,),42,1.3,应变张量,(1.45),1).,一点应变状态,受力物体内某点处所取无限多方向上的,线应变,与,剪应变,(,任意两相互垂直方向所夹直角的改变量,),的,总和,，就表示了该点的应变状态。,定义,:,应变张量,:,(1.46),43,1.3,应变张量,2).,主应变及其不变量,由全微分公式,:,M,点的位移分量,N,点的位移分量,表示刚性转动，不引起应变，计算应变时可忽略。,44,1.3,应变张量,在主应变空间中,:,主平面法线方向的线应变,主应变,:,45,1.3,应变张量,类似于应力张量,:,e,ij,:,二阶对称张量。主应变,e,1,e,2,e,3,满足：,e,i,3,-,I,1,e,i,2,-,I,2,e,i,-,I,3,=0,I,1,、,I,2,、,I,3,为应变张量不变量。,其中,:,(1.47),(1.48),平均正应变,:,46,1.3,应变张量,偏量应变张量,:,(1.52),e,ij,的主轴方向与,e,ij,的主方向一致，主值为,:,e,1,=,e,1,-,e,，,e,2,=,e,2,-,e，,e,3,=,e,3,-,e,满足三次代数方程式：,(1.50),(1.51),I,2,应用较广,又可表达为,:,47,1.3,应变张量,等效应变,(,应变强度,):,(1.54),等效剪应变,(,剪应变强度,):,(1.55),48,1.4,应变速率张量,一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，而且与时间也有关。如以,u,、,v,、,w,表示质点的位移分量，则,:,设,应变速率分量,为,:,质点的运动速度分量,49,1.4,应变速率张量,线应变速率,在,小变形情况,下，,应变速率分量,与,应变分量,之间存在有简单关系,:,剪应变速率,50,1.4,应变速率张量,在,小变形情况,下的,应变速率张量,:,(1.56),可缩写为,在一般情况下，应变速率主方向与应变主方向不重合，且在加载过程中发生变化。,51,1.4,应变速率张量,应变增量,:,应变增量,由位移增量微分得：,由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此,dt,可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。因而,用应变增量张量来代替应变率张量,更能表示不受时间参数选择的特点。,(1.57),应变微分,由两时刻应变差得：,泰勒级数展开,高阶微量,忽略高阶微量,52,1.5,应力和应变的,Lode,参数,一,、,应力莫尔圆,（表示一点应力状态的图形）,:,任一斜面上应力位于阴影线内,m,s,=,Q,2,A,/,Q,1,A,=(,Q,2,Q,3,-,Q,1,Q,2,)/,Q,1,Q,3,A,O,s,t,s,3,s,1,s,2,O,3,O,2,O,1,Q,3,Q,2,Q,1,如果介质中某点的三个主应力的大小为已知，便可以在,-,平面内绘出相应的应力圆。,53,1.5,应力和应变的,Lode,参数,一,、,应力莫尔圆,（表示一点应力状态的图形）,:,A,O,s,t,s,3,s,1,s,2,O,3,O,2,O,1,Q,3,Q,2,Q,1,(1.61),54,1.5,应力和应变的,Lode,参数,一,、,应力莫尔圆,（表示一点应力状态的图形）,:,A,O,s,t,s,3,s,1,s,2,O,3,O,2,O,1,Q,3,Q,2,Q,1,(1.63),式,(1.63),表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一对应力分量,、,一定落在分别以,(,1,-,2,),2,、,(,2,-,3,),2,、,(,3,-,1,),2,为半径的三个圆的圆周所包围的阴影面积,(,包括三个圆周,),之内。,55,1.5,应力和应变的,Lode,参数,若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态,(,各向等拉或各向等压,),，则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。,应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小,(,直径,),则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。,一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大,(,应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变,),，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。,56,1.5,应力和应变的,Lode,参数,二、,应力,Lode,参数,:,几何意义,:,应力圆上,Q,2,A,与,Q,1,A,之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。,球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数,Lode,参数,：,Lode,参数：表征,Q,2,在,Q,1,与,Q,3,之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。,A,O,s,t,s,3,s,1,s,2,O,3,O,2,O,1,Q,3,Q,2,Q,1,(1.64),57,1.5,应力和应变的,Lode,参数,应力,Lode,参数的,物理意义,：,1,、与,平均应力无关；,2,、其,值确定了应力圆的三个直径之比；,3,、,如果两个应力状态的,Lode,参数相等，就说明两个应力状态 对应的应力圆是相似的，即,偏量应力张量的形式相同,；,Lode,参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。,(1.65),58,1.5,应力和应变的,Lode,参数,简单应力状态的,Lode,参数：,Q,3,O,Q,1,Q,2,s,t,A,Q,1,O,Q,2,Q,3,s,t,A,单向压缩(,s,1,=,s,2,=0,s,3,0,s,2,=,s,3,=0),m,s,=1,m,s,=,-,1,59,1.5,应力和应变的,Lode,参数,简单应力状态的,Lode,参数：,Q,2,O,Q,1,Q,3,s,t,纯剪(,s,1,0,s,2,=0,s,3,=,-,s,1,):,m,s,=0,60,1.5,应力和应变的,Lode,参数,为表征偏量应变张量的形式，引入,应变,Lode,参数,：,三、,应变,Lode,参数,:,如果两种应变状态的,m,e,相等，则表明它们所对应的应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。,几何意义：应变莫尔圆上,Q,2,A,与,Q,1,A,之比,(1.66),61,1.6,弹性力学的基本方程,应力分量满足平衡方程：,一、平衡方程,(1.67),62,1.6,弹性力学的基本方程,弹性体的应力,-,应变关系服从虎克定律,二、物理方程,(1.72),63,1.6,弹性力学的基本方程,x,对,y,，,y,对,x,求两次偏导，有：,三、应变协调方程,保证物体在变形后不会出现,撕裂,，,套叠,的现象,64,1.6,弹性力学的基本方程,类似可得三维问题的,应变协调方程,：,(1.82),65,1.6,弹性力学的基本方程,例题：,设有应变分量如右式，其余的应变分量均为零。若它们是一种可能的应变状态试确定各常数之间的关系。,解：,如果应变分量是一种可能的应变状态，则需满足变形协调方程。根据给定的应变分量，式,(1.82),中的五个式子均恒满足、余下必须满足的应变协调方程为,:,代入给定的应变分量有,:,比较两边对应项系数有,:,所以解为：,66,第五章 简单应力状态的弹塑性问题,5.1 基本实验资料,5.2 应力应变的简化模型,5.3 应变的表示法,5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架,5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响,67,5.1,基本实验资料,一,、,应力-,-,应变曲线,（1）单向拉伸曲线,1,2,3,O,s,s,s,a,D,s,e,e,p,e,e,（,a）,有明显屈服流动阶段,拉伸试验,和,静水压力试验,是塑性力学中的两个基本试验，塑性应力应变关系的建立是以这些实验资料为基础。,屈服应力,（,b）,无明显屈服流动阶段,O,s,0.2,D,s,e,e,p,e,e,C,A,B,0.2%,屈服应力,如,:,低碳钢,铸铁,合金钢等,如,:,中碳钢,高强度合金钢,有色金属等,68,5.1,基本实验资料,一,、,应力-,-,应变曲线,经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与塑性变形的历史有关，决定与前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的,应变强化,(,或,加工硬化,),。,材料在塑性阶段的一个重要特点：,在加载和卸载的过程中应力和应变服从不同的规律：,加载,卸载,简单拉伸试验的塑性阶段：,69,5.1,基本实验资料,一,、,应力-,-,应变曲线,（,2,）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）,O,拉,s,e,压,应变10%时，基本一致；,应变,10%时，较大差异。,一般金属的拉伸与压缩曲线比较,用简单拉伸试验代替简单压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。,70,5.1,基本实验资料,一,、,应力-,-,应变曲线,（3）,反向加载,卸载后反向加载，,s,s,s,s,Bauschinger,效应,B,A,s,s,s,B,B,O,拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象。即正向强化时反向弱化。,71,5.1,基本实验资料,一,、,应力-,-,应变曲线,(4),断裂特性,伸长率,:,标志材料的塑性特性，其值越大则材料破坏后的残余变形越大。,截面收缩率,:,d,k,5%：,塑性材料；低碳钢,d,k,=20%30%,d,k,5%：,脆性材料。,72,5.1,基本实验资料,塑性变形有以下特点：,(2),、由于,应力,应变关系的非线性，,应力与应变,间不存在单值对应关系，同一个应力可对应不同的应变，反过来也是如此。这种,非单值性,是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。,(1),、,由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的,塑性功,具有不可逆性，或称为,耗散性,。在一个加载卸载的循环中外力作功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。,(3),、,当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的,弹性区域,和产生塑性变形的,塑性区域,。并且随着载荷的变化，两区域的,分界面也会产生变化,。,73,5.1,基本实验资料,二、静水压力,(,各向均匀受压,),试验,(1),、体积变化,体积应变与压力的关系(,bridgman,实验公式,),体积压缩模量,派生模量,铜,铝,铅,a,7.31x10,-7,13.34x10,-7,23.73x10,-7,b,2.7x10,-12,3.5x10,-12,17.25x10,-12,铜：,当,p,1000MPa,时，,ap,7.3110,-4,，而,bp,2,2.710,-6,。说明第二项远小于第一项，可以略去不计。因此根据上述试验结果，在塑性理论中常认为体积变形是弹性的,。,因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力的影响。但对于,铸铁、岩石、土壤,等材料，静水压力对屈服应力和塑性变形的大小都有明显的影响，,不能忽略,。,74,5.1,基本实验资料,二、静水压力,(,各向均匀受压,),试验,(2),、,静水压力对屈服极限的影响,Bridgman,对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。,静水压力对屈服极限的影响常可忽略。,75,5.2,应力应变简化模型,一般应力-应变曲线：,s,=,E,e,，,e,e,s,(,屈服后,),选取模型的标准：,1,、必须符合材料的实际性质,2,、数学上必须是足够地简单,76,5.2,应力应变简化模型,1.,理想弹塑性模型,符号函数,:,（软钢或强化率较低的材料）,加载,:,卸载,:,O,s,s,s,e,e,s,E,为一个大于或等于零的参数,77,5.2,应力应变简化模型,1.,理想弹塑性模型,用应变表示的加载准则：,加载,:,卸载,:,O,s,s,s,e,e,s,E,符号函数,:,公式只包括了材料常数,E,和,，故不能描述应力应变曲线的全部特征；,在,s,处解析式有变化，给具体计算带来困难,;,理想弹塑性模型抓住了,韧性材料,的主要特征，因而与实际情况符合得较好。,缺点,:,优点,:,78,5.2,应力应变简化模型,2.,线性强化弹塑性模型,（材料有显著强化率）,O,s,s,s,e,e,s,E,E,加载,:,卸载,:,79,5.2,应力应变简化模型,2.,线性强化弹塑性模型,用应变表示的加载准则：,O,s,s,s,e,e,s,E,E,加载,:,卸载,:,在许多实际工程问题中，,弹性应变,P,e,）,（,塑性流动阶段）,约束塑性变形阶段：,杆2已屈服，杆1、3仍为弹性,塑性流动阶段：,3,杆均屈服,相应的荷载为塑性极限荷载,点,A,的位移：,(5.38),(5.35),(5.36),(5.37),96,5.4,理想弹塑性材料的简单桁架,弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：,荷载-挠度曲线：,理想弹塑性,线性强化,d,/,d,e,P,/,P,e,P,1,/,P,e,P,s,/,P,e,1.0,0,1,1/,cos,2,q,(5.39),97,5.4,理想弹塑性材料的简单桁架,卸载符合弹性规律。设荷载变化为,D,P,，则由式,(5.33),得,三、卸载,若加载至,P,*（,P,e,P*,P,e,），,此过程仍为弹性过程。这相当于将弹性范围由扩大了。,四、重复加载,这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为,安定状态,。,99,5.5,线性强化弹塑性材料的简单桁架,联立平衡和协调方程可求得,平衡方程与协调方程不变,加载过程，,物理方程改变,部分：,1.,弹性阶段(,P,P,e,),：与理想弹塑性相同,2.,约束塑性变形阶段(,P,P,e,)：,(5.42),(5.43),100,5.5,线性强化弹塑性材料的简单桁架,(,杆1、3进入屈服,),3.,塑性流动阶段(,P,P,e,)：,(5.44),与理想弹塑性材料的比较：,(5.45),如考虑中等强化情形,:,说明这时理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响不大。,101,5.5,线性强化弹塑性材料的简单桁架,考虑随动强化，加载应力范围为,2,s,s,，即要求,Ds,2,2,s,s,，,4.,卸载,：,仍按弹性规律变化,卸载后杆2转为压应力，是否会进入,压缩塑性状态,？,最大安定荷载,102,5.5,线性强化弹塑性材料的简单桁架,a,N,1,b,P,N,2,图示等截面杆，截面积为,A,，,在,x=a,(,ab,),处作用集中力,P,，,试求弹性极限荷载,P,e,和塑性极限荷载,P,s,。,若加载至,P,e,P,*,P,s,时卸载，试求残余应力和残余应变。材料分别为:(1)理想弹塑性；(,2,)线性强化弹塑性。,例题：,解：,平衡方程：,变形协调方程：,103,5.5,线性强化弹塑性材料的简单桁架,(1)理想弹塑性,弹性阶段,：,代入变形协调方程，可得：,联立平衡方程，可得：,104,5.5,线性强化弹塑性材料的简单桁架,弹塑性阶段,：由,s,1,=,s,s,，并利用平衡方程得：,卸载,：,加载至,P,e,P,*0,杆,1，2,仍保持塑性状态,杆,3,卸载,108,5.6,加载路径对桁架应力应变的影响,加载方案,从,(5.47),可得：,(5.49),当,3,=-2,s,；,使,3,=-,s,时,，,杆,3,进入压缩屈服，整个桁架进入塑性流动阶段,叠加上初始值后：,109,保持 的比例，一直加载到方案一的最终状态,5.6,加载路径对桁架应力应变的影响,加载方案,弹性阶段,最大,对应的应力和位移,110,再继续加载,5.6,加载路径对桁架应力应变的影响,加载方案,对应的应力和位移,(5.50),111,第六章 屈服条件和加载条件,6.1 基本假设,6.2 屈服条件概念,6.3 屈服曲面,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,6.5,Tresca,和,Mises,屈服条件的比较,6.6 屈服条件的实验验证,6.7 加载条件和加载曲面,6.8 Mohr-Coulomb,和,Drucker-Prager,屈服条件,112,6.1,基本假定,对一般应力状态的塑性理论，作以下基本假设：,忽略时间因素的影响,(,蠕变、应力松弛等,),；,连续性假设；,静水压力部分只产生弹性的体积变化,(,不影响塑性变形规律,),；,在初次加载时，单向拉伸和压缩的应力-应变特性一致；,材料特性符合,Drucker,公设,(,只考虑稳定材料,),；,变形规律符合均匀应力应变的实验结果。,113,1,),.,单向拉压应力状态的屈服条件,6.2,屈服条件的概念,(6.1),(6.2),s,s,：,屈服应力,2),.复杂,应力状态的屈服函数,(6.3),或者,:,(6.4),应力空间,、,应变空间：,分别以应力分量和应变分量为坐标轴组成的空间，空间内的任一点代表一个应力状态或应变状态。,应力路径,、,应变路径：,应力和应变的变化在相应空间绘出的曲线。,屈服面：,应力空间内各屈服点连接成的，区分弹性和塑性状态的分界面。,引入的概念：,114,6.2,屈服条件的概念,3),.,屈服条件,/,屈服函数,(,描述屈服面的数学表达式,),：材料处于弹性状态,：材料开始屈服进入塑性状态,屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用,三个主应力,或,应力不变量,表示：,(6.6),(6.7),静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用,主偏量应力,或其,不变量,表示：,各向同性材料,:,(6.8),(6.9),115,6.3,屈服曲面,一,、主应力空间,(6.10),(,以主应力,s,1,s,2,s,3,为坐标轴而构成的应力空间,),O,Q,N,P,p,平面,L,直线,s,1,s,2,s,3,任一应力状态,静水应力矢量,主偏量应力矢量,主应力空间、,L,直线、,p,平面,与,s,1,s,2,s,3,轴的夹角相等,在主应力空间内，过原点且和三个坐标轴夹角相等的直线。,方程：,s,1,=,s,2,=,s,3,L,直线：,主应力空间内过原点且和,L,直线垂直的平面。,方程：,s,1,+,s,2,+,s,3,=0,p,平面：,总在,平面上,116,6.3,屈服曲面,一,、主应力空间,即直线方程,1.,球应力状态或静水应力状态,几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：,应力偏量为零，即,它的轨迹是经过坐标原点并与,l,、,2,、,3,三坐标轴夹角相同的等倾斜直线,2.,平均应力为零,平均应力为零，即,m,=0,，应力偏量,S,ij,不等于零。,3.,应力偏量为常量,应力偏量为常量，即,S,l,C,1,，,S,2,C,2,，,S,3,C,3,轨迹是与等倾线平行但不经过坐标原点的直线,在主应力空间中，它的轨迹是一个平面，该平面通过坐标原点并与等倾直线相垂直。,117,6.3,屈服曲面,二、屈服曲面,屈服曲面,F,(,s,1,s,2,s,3,)=0：,为一平行,L,直线的柱面；,屈服曲线,f,(,J,2,J,3,)=0,：,屈服曲面与,p,平面的交线,对应无静水压力部分的情况。,118,6.3,屈服曲面,三、,矢量,OP,在,p,平面上的投影,O,y,x,2,q,s,1,3,r,s,30,坐标轴,s,1,，,s,2,，,s,3,在,p,平面上的投影,O,1,、,O,2,、,O,3,互成120,；,矢量,OP,在,p,平面上的,x,，,y,坐标值,为：,矢量,OP,在,p,平面上的,极坐标值,为：,(6.13),(6.14),(6.15),119,6.3,屈服曲面,由于,12,矢量与,平面平行,故,矢量,OP,在,x,y,平面上的,坐标,为：,(6.13),O,2,1,3,120,30,x,坐标变换：,120,6.3,屈服曲面,引进极坐标的关系,:,可见,Lode,参数为：,(6.14),O,2,1,3,120,30,x,(6.15),(6.16),121,6.3,屈服曲面,几种典型应力状态在,p,平面上的极坐标值：,(6.17),在纯剪切时：,在单向拉伸时：,在单向压缩时：,122,6.3,屈服曲面,四、屈服曲面的特征,纯剪,纯拉,p,平面上的屈服曲线,(1),、,屈服曲线为一,封闭曲线,，原点 在曲线内部；,(2),、,对各向同性材料，若,(,S,1,S,2,S,3,)或,(,s,1,s,2,s,3,)屈服，则各应力分量互换也会屈服，故屈服曲线,关于,s,1,s,2,s,3,轴均对称,；,(,3,),、,对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，,若应力状态,(,S,1,S,2,S,3,)屈服，则,(,-,S,1,-,S,2,-,S,3,)也会屈服，故屈服曲线为,关于垂直于,s,1,s,2,s,3,轴的直线也对称,。,123,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,历史上关于材料进入塑性状态原因的不同假设,第一个假设：,材料进入塑性状态是由最大主应力引起的，即当最大主应力达到,s,时，材料即进入塑性状态。,GalilMo,在,17,世纪时提出,在各向相等压缩时压应力可以远远超过屈服极限,s,，而材料并未进入塑性状态，也未破坏。,被实验所推翻,原因：,第二个假设：,最大的主应变能使材料进入塑性状态,St-Venant,提出,被实验所推翻,第三个假设：,Beltrami,提出,当最大弹性能达到一定值时，材料即开始屈服,与实验相抵触,124,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,一、,Tresca,屈服条件,认为最大剪应力达到极限值时开始屈服,:,(6.18),(,材料力学的第三强度理论,),金属材料在屈服时，可以看到接近于最大剪应力方向的细痕纹,(,滑移线,),，因此塑性变形可以是由于剪切应力所引起的晶体网格的滑移而引起的。,1864,年，,Tresca,作了一系列的,挤压实验,来研究屈服条件：,四个强度理论,:,第一强度理论：,最大拉应力理论,第二强度理论：,最大伸长线应变理论,第三强度理论：,最大剪应力理论,第四强度理论：,形状改变比能理论,屈服破坏理论,脆断破坏理论,125,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,一、,Tresca,屈服条件,p,平面上的屈服曲线,在,p,平面上，式,(6.18),可表示为：,在,-,30,q,s,30,（即,s,1,s,2,s,3,)范围内为一平行,y,轴的直线，对称拓展后为一,正六角形,。,x,y,p,平面上的屈服曲线(正六角形),126,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,一、,Tresca,屈服条件,(正六边形柱面),主应力空间,内的屈服条件,:,2,k,2,k,2,k,2,k,平面应力状态,的屈服条件,（,s,3,=0）,:,(6.19),(6.20),平面应力的,Tresca,屈服线,127,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,一、,Tresca,屈服条件,常数,K,值的确定,:,(6.23),Tresca,屈服条件的完整表达式,由简单拉伸实验确定：,因,s,1,=,s,s,，,s,2,=,s,3,=0，,s,1,-,s,3,=0，,故,由纯剪实验确定：,因,s,1,=,t,s,，,s,2,=0，,s,3,=-,t,s,，,故,k,=,s,s,/2,k,=,t,s,s,s,=2,t,s,对多数材料只能近似成立,(6.24),(6.25),128,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,二、,Mises,屈服条件,(6.27),Tresca,六边形的六个顶点由实验得到，但,顶点间的直线是假设,的。,Mises,指出：,用连接,p,平面上的,Tresca,六边形的六个顶点的,圆,来,代替,原来的,六边形,，即：,Mises,屈服条件：,(6.26),Mises,屈服面,考虑,(6.14),式,129,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,二、,Mises,屈服条件,常数,C,的确定：,(6.28),由简单拉伸实验确定：,因,s,1,=,s,s,，,s,2,=,s,3,=0，,s,1,-,s,3,=0，,故,由纯剪实验确定：,因,s,1,=,t,s,，,s,2,=0，,s,3,=-,t,s,，,故,C,=,J,2,=,s,s,2,/3,C,=,J,2,=,t,s,2,对多数材料符合较好,130,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,二、,Mises,屈服条件,两种屈服条件的关系：,(6.29),Tresca,Tresca,Mises,圆,纯剪,单向拉伸,Tresca,和,Mises,屈服线,若规定,简单拉伸,时,两种屈服条件重合,，则,Tresca,六边形内接于,Mises,圆，且,若规定,纯剪,时,两种屈服条件重合,，则,Tresca,六边形外接于,Mises,圆，且,(6.30),131,6.4,Tresca,和,Mises,屈服条件,二、,Mises,屈服条件,两种屈服条件的关系：,(6.31),s,1,s,s,s,2,s,s,O,平面应力问题的,Tresca,和,Mises,屈服线,（主应力平面上）,在主应力空间中，,Mises,屈服面将是圆柱面，在,3,=0,的平面应力情形,