南京航空航天大学 量子力学课件.pdf

-二早在20世纪初，发生了三次概念上的革 命，它们深刻地改变了人们对物理世 界的了解，这就是狭义相对论（1905 年）、广义相对论（1916年）和量子 力学（1925年）o杨振宁经典物理(1819世纪)牛顿力学热力学经典统计力学经典电磁理论19世纪末趋于完善海王星的发现(Leverrier,1846)“不必向天空看一眼就发现了这颗新行星”“是在Leverrier的笔尖下看到的，电磁理论解释了波动光学开尔文：大厦基本建成两朵乌云这两朵乌云开出近代物理的鲜花量子力学A、旧量子论的形成（冲破经典一量子假说）1900 Planck 振子能量量子化1905 Einstein电磁辐射能量量子化1913 N.Bohr原子能量量子化B、量子力学的建立（崭新概念）1923 de Broglie 电子具有波动性1926-27 Davisson,G.P.Thomson电子衍射实验1925 Heisenberg 矩阵力学1926 Schroedinger 波动方程1928 Dirac相对论波动方程法国科学家塞尔日阿罗什(Serge Haroche)与美国科学家大卫维因兰德(David Wineland)“开创了测量与操纵单个量子系统的实验方法”The Nobel Prize in Physics 2012 was awarded jointly to Serge Haroche and David J.Wineland for ground-breaking experimental methods that enable measuring and manipulation of individual quantum systems n 13-1 熬辐射(heat radiation)一、热辐射现象由于分子热运动导致物体辐射电磁波温度不同时,辐射的波长分布不同例如：铁块温度T从看不出发光到暗红到橙色到黄白色这种与温度有关的辐射称为热辐射.热辐射一热能转化为电磁能的过程.对热辐射的初步认识1）任何物体任何温度均存在热辐射2）热辐射谱是连续谱3）热辐射谱与温度有关温度T发射的能量T电磁波的短波成分T如一个20瓦的白炽灯和一个200瓦的白炽灯昏黄色贼亮刺眼物体温度升高时发光的变化低温物体发出的是红外光 炽热物体发出的是可见光 高温物体发出的是紫外光二.描述热辐射的基本物理量1.单色辐出度M2(T)育定义：物体表面单位面积单位时间内 发射的波长在九一九+d九范围内的辐射能 初%与波长间隔d九的比值，即M式T)=处匕意义：物体在不同温度下的辐射能按波长分布的情况2.辐出度 M(T)dA自定义：物体表面单位面积单位时间内 发射的各种波长的总辐射能，即M(T)=M,(T)dA有意义：反映了不同温度下物体单位面 积发射的辐射功率的大小3.单色吸收率和单色反射率R=P2+B+BP 巳 P入._ 八P 儿a 人工F E石二2+%+0_、_4单色反射率单色吸收率单色透射率不透明时=1当。2=1时，则称为绝对黑体三.基尔霍夫定律热平衡时：发射辐射能量二吸收辐射能量即M式乃二死e二 ax(2,T)%(2,T),/aB(2,T)=1.二 M 名(几 T)MbT)%(4 T)12o3一基尔霍夫定律讨论:M.(T)“f-=M R%(T)口(47)1.好的吸收体，必是好的辐射体2.对任何波长的辐射能，绝对黑体所辐射的能量都要比相同温度下其它物体辐射的能量多；黑体的辐射和吸收本领最大，反射本领最小M体“射与温度的关系测量黑体辐射出射度实验装置2 黑体单色辐出度实验曲线规律:a.曲线随T的升高而提 高，即均随T升高而增大b.必式为随九连续变 化，每条曲线有一 峰值c.随T的升高，峰值波长器减小3.黑体的辐射定律斯特藩-玻耳兹曼定律行1879年德国物理学家斯特藩实验得至！1，1884年玻耳兹曼由光的电磁理论和热力学证实：Mb(T)=ctT4o-=5.67051xl0 8 W/(m2-K4)力*(2)维恩位移定律铲1893年德国物理学家维恩根据电磁理 论和热力学理论得到AT=bmft=2.897756xl0-3 mK红外夜视图FIGURE 21-16 In a thermogram film sensitive to infrared radiation reveals the location of regions of significant thermal energy transport The white areas arc the regions of greatest heat loss to cold ambient air.运动时各部分温度的分布4.经典物理学所遇到的困难行19世纪末，物理学最引人注目的 课题之一：从理论上导出与实验相符的黑体单色辐出度表达式维恩的半经验公式一假设黑体辐射能谱分布类似于麦克斯韦速率分布，推出也式乃储O=。1臼：实验确定的经验参数维恩线2仅在短波段与实验曲线相符维恩（Wilhelm Wien 德国人 18644928）热辐射定律的发现19U年诺贝尔物理学奖 获得者斯特藩一玻耳兹曼定律和 I维恩位移律是测量高温、M遥感和红外追踪等技术的 I物理基础。利瑞利金斯公式根据经典的能量均分原理导出M2 兀 ckT24只适用于长波段一“紫外灾难”经典物理学的推导均与实验不符五.普朗克公式1普朗克的经验公式任德国物理学家普朗克综合维恩和瑞利 金斯公式，提出1Mba(T)=25C./2T.e-1a和C2分别为第一和第二辐射常数 铲该结果与实验结果惊人地相符2.普朗克的能量子假设1900年普朗克提出能量子假设:,腔壁中带电谐振子的能 量以及它们吸收或辐射 的能量都是量子化的；频 率为V的振子能量只能 取Av的整数倍廿九”称为能量子yyyyyy%=6.6260755 x10-34 j.s一普朗克常数铲由能量子假设，普朗 式1与-克从理论上导出公式 2-1Zjihc?1M(T)=-TJ7方人 ，15 he I kaT iA e-1一普朗克公式.C=2=3.7417749x 10-16 W-m2C2=hclk=1.43 8769 x 10-2 m-K普朗克公式%。）二27rhe225he/kAT%。）二2yrhv31ehv/kT _1Mb入()以=-MBv(T)dv v=c/2 dv=cXdA讨论:if 匹AkTa.维恩公式heif 1AkTb.瑞利金斯公式2 兀he?1M bU)=.万，7 5 ghcIkAT c.对普朗克公式由Of 8积分即得斯特藩-玻耳兹曼定律d.对普朗克公式求极值，即得维恩位移 定律e.普朗克1918年获诺贝尔物理学奖27rhe2 1MB九(T)=/zc/UT _1 M.Plan入 6 1858-194TAJ例1弹性系数4=15N/m的弹簧，一端悬 挂质量为1kg的小球，其振幅为0.01m,求按普朗克能量量子化假设，与弹簧 相联系的量子数为多大？（2）如量子数 改变一个单位，求能量的改变值与总能 量的比值？解：1.弹簧、小球系统具有能量1 1=心=*15义0.012=7.5乂10%2 2由普朗克假设 E=nhv而 v=.617 siZ7T m：.n=E/hv=l.8xl03()2.当变化一个单位时 NE=hvAE/E=l/n=5.6xlO-29铲实验仪器无法分辨，看到的将是一片连续区域 一.不显量子效应例2天文学上常用斯特藩-玻耳兹曼定 律确定恒星半径。已知某恒星到达地球 时单位面积上的辐射功率为1.2x108 W/m2,恒星离地球距离为4.3x1017 m,表面温度为5200K。如恒星辐射与黑体 相似，求恒星半径?解：设恒星半径为R,表面温度为T,距地 球表面RM=才所以恒星辐射的总功率 力W=4ttR2M=4tiR2-crT4不考虑吸收 4成2 44=4成2用1 1(产叫 _(43xltf7xl2UjK-存在截止频率（红限）Vn=-红限K4.光电子是即时发射的，无论光强如何，弛豫时间不超过10%1 25 根%=e（Kv-U。）几种金属的红限及逸出功/三 局 工 辰J红限.J/IX1厂3)“93D为逸出功阳Cs 钛Ti 汞Eg 金An 钥FU4U,91L612J65203030275 D2初243 DL9.4.4,3 H.4为 D二.光的波动说的缺陷波动说认为:实验结果金属中电子吸收光 能逸出，其初动能由 光振动振幅，即由光 强决定光强能量足够，光电 效应对各种频率的光 都会发生初动能与入射 光频率相关，而与入射光强 无关存在截止频率（红限）电子吸收光波能量只光电子是即时发 有到一定量值时，才射的 会从金属中逸出三.爱因斯坦的光子理论,1905年爱因斯坦提出光子假说:一束光就是一束以光速运动的粒子流,这些粒子称为光子。频率为v的光的每一光子具有能量L光电效应方程任一个电子吸收一个光子，由能量守恒光子能量hv=m+A 一2-光电效应方程-mv=e(Kv-U对比可得h=eK A=eUQ红限叱0=5=4K h2.光电效应的解释*光强大光子数多 单位时间内释放的光电子数多 光电流大来光电子动能与光频率成线性关系舞频率满足才产生光电效应半光子能量一次地被一个电子吸收，不 需要积累能量的时间结论：光是粒子流笆因斯坦由于对光电效 应的理论解释和对理论物理学的贡献获得1921 年诺贝尔物理学奖密立根由于研究基本电荷和 光电效应，特别是通过著名 的油滴实验，证明电荷有最物理学奖四.光电效应在近代技术中的应用 光控继电器、自动控制、自动计数、自动报警等.光电倍增值光控继电器示意图接控件机构例1波长为250nm、强度为2W/m2的紫 外光照射钾,钾的逸出功为2.21eV,求 所发射的电子的最大动能；（2）每秒从钾 表面单位面积所发射的最大电子数1.应用爱因斯坦方程12 7c 4 6.63xl(T34x3xlOF。m=hA=-2.212 2 2.5xl(T7xl.6xlOr19=4.97-2.21=2.76eV2.每个光子的能量h-=4.97eV=4.97xl.6xl0-19 J=7.95x10 j因每个光子最多只能释放一个电子 故每秒从钾表面单位面积所发射的最大 电子数2N=-=2.52x 1018 s-1m-27.95xW19例2钾的光电效应红限波长是九o=55Omn,求钾电子的逸出功；（2）当用波长 九=300nm的紫外光入射时，钾的遏止电压解：由爱因斯坦方程/zv=lmv2+A 2(1)逸出功7 c 6.63xW34x3x108A=hva=h=-7-%550 x10=3.316x10 19J=2.07 eV(2)=hv-A6.63x10-x3x10-_3 316x1q-19300 xW9=3.014 xlQ-19 J=1.88 eV遏止电压 Uo=1.88 V五、光的波粒二象性1.近代认为光具有波粒二象性一些情况下 突出显示波动性 一些情况下 突出显示粒子性不是经典的波 不是经典的粒子2.基本关系式粒子性：能量动量产数量N波动性：波长;I频率v 振幅2.基本关系式粒子性：能量 波动性：波长;I动量P数量Ne=hv=hcf)P=h=tik式中 力=2o)=2tiv振幅与hv机二7 c2频率V波矢量-n 23.波动性和粒子性的统一光作为电磁波是 弥散在空间而连续的怎样多L?光作为粒子在 空间中是集中而分立的波动性:某处明 亮则某处光强 大 即/天粒子性:某处明 亮则某处光子 多 即N大光子数N oc 1 oc光子数N oc/oc Eq光子在某处出现的概率由光在该处的强度决单缝衍射/大 光子出现概率大）、光子出现概率小 光子在某处出现的概率和该处光振幅的 平方成正比统一于概率波理论 13-3康普顿效应一.康普顿实验入射光实验装置田1923年美国物理学家康普顿研究%射线 通过物质时的散射现象发现：散射线中 除了有与入射波长友相同的射线外，还 有的射线一康普顿效应行康普顿1927年获诺贝尔物理学奖实验结果:3.对轻元素，新波长的 谱线强度较强；对重 元素，新波长的谱线 强度较弱相对强度二.光子理论的解释经典波动理论：光作用=带电粒子作同频受迫振动 一辐射同频光波（散射光）波长不变光子理论:L光子与自由或束缚较弱电子的碰撞 光子的一部分能量传给电子，则散射 光子能量小于入射光子即 hv 重元素4意义：.证实了康普顿效应的普遍性证实了两种散射线的产生机制 九一外层电子（自由电子）散射 加一内层电子（整个原子）散射在康普顿的一本著作出门）y“X-Rays in theory and experiment,（1935）中19处引用了吴的工作两图并列作为康普顿效应的证据例单色X射线被电子散射而改变波长O问(1)波长的改变量与原波长有没有关 系？(2)光子能量的改变值与光子原来能 量有没有关系？A2=2h,26-sm mQc 2一.与原波长无关,康普顿散射的一个重要特点2.光子能量改变量(光子损失的能量)A(/zv)=/z(v-v0)=/z(c/2-c/20)7 A2 A2二nc-二一he-A%。4)(4+A4)hhe-(1 cos。)_ moc二 2 h202+20(l-cos6)moc由%二；有 A)A(/zv)=-hc(l-cos/9)A/7、恤 cA(A v)=-=-才+4 JL”cos。)恤c(/l/)2(1-COS。)m0c2+/zv0(1-cos 0)-入射光子能量?)越高,散射损失的能量越高招A力也是电子获得的反冲动能 13-4氢原子光谱玻尔的氢原子理论一氢原子光谱的实验规律 可见光区紫外光区Ha H.HrU I U G 9 S 9u i u 9寸 9 G-mdq 誉行1885年瑞士的巴耳末用经验公式表示 出前四条可见光谱：A=Bn2E n=SR用波数（波长的倒数）表示：1 1v=取不-巴耳末公式2 n行1889年瑞典的里德伯提出普遍方程,，八/1 1、左二1 2 v=R(-)入，市左的整数里德伯公式T?=1.096776xl07m1-里德伯常量它不同的左对应；当左一定时,每一值对应于一条谱线k=l,n=2,3,莱曼系，紫外区k=2,n=3,4,巴尔末系k=3,n=4,5,帕邢系，红外区k=4,n=5,6,布拉开系,红外区k=5,n=6,7,普丰德系，红外区k=6,n=7,8,哈弗莱系，红外区招1890年里德伯，里兹等人发现碱金属原 子光谱有类似的规律V=T(k)-T(n)一里兹并合原理利里兹并合原理反映了原子的内在规律二玻尔的氢原子理论E897年英国物理学家汤姆逊通过阴极 射线实验发现了电子1904年汤姆逊提出原子 厂厂、的“葡萄干蛋糕模型”：/。0 0 每个电子分布在正电荷。1o 组成的球中，并绕平衡 位置震荡行1907年卢瑟福等人通过a粒子对原子核 的散射实验否定了汤姆逊模型离中心越近 散射角越大卢瑟福：“这几乎就如你用15英寸炮弹 射向一张手纸，结果它反回来击中了你 一样不可思议”令1911年卢瑟福提出原子核模型（行星模型）：原子是由带正电的原子核和核外 作轨道运动的电子组成1.经典物理的困难原子的稳定性：电子绕核转动具有加 速度n发射电磁波n能量减少n作螺旋 运动n落入原子核n不稳定来原子光谱的分立性：发射电磁波的频 率等于电子绕核转动的频率n电子作 螺旋运动的频率连续变化n光谱为连 续光谱2.玻尔理论的基本假设后1913年丹麦物理学家玻尔在卢瑟福核 模型基础上，结合普朗克量子假设和原 子光谱的分立性，提出假设：*态假设原子系统只能处在一系列 不连续的能量稳定状态（定态）。定态时核外电子在一定的轨道上作圆周运动,但不发射电磁波丹麦物理学家 波尔(N.Bohr,1885-1962)*反率条1当原子从一个能量为0的定 态跃迁到另一个能量为瓦的定态时，就要发射或吸收一个频率为Vkn的光子_En-EkVkn ；h/9-发射光子一吸收光子撵量子化条，电子在稳定圆轨道上运动时，其轨道角动量L=nzvr必须等于九/2兀 的整数倍，即L=n=nh n=1,2,2n-量子数力约化普朗克常数2冗1922年蚯因对原子结构和原子放射 性的研究获诺贝尔物理学奖3.氢原子轨道半径和能量的计算(1)轨道半径根据牛顿定律/和库仑定律有 4兀/h,hmJ L=mvr=n 271v2=m rnh v=-27mr可得rn=/0 九 2、(Time 2)n 12-量子化=1 时：r1=O.529xlO10 m一玻尔半径2二 K能量氢原子的能量：电势能+电子动能E=-mv n 2 rl4兀W由4飞升2 F-nv2=m re?8飞。1 2 e有 mVn=-e2 n 8飞r1(me4n2（瓯之川J量子化_ 2小量子化的能量称为能级rLn(入,7-1 2En=mKTime2)e24欣o讨论:_ 1 me/8反2力L=1时：g=13&V 基态能级 此时能量最低，原子最稳定2.儿1时：激发态能级3 8 时：吟纥-0 能级趋于连续，原子趋于电离，即基 态氢原子的电离能为13.6eV4.电离状态时，E0,并可连续变化EeV-o唧Ml删II唧口删I删删，唧删IW唧-0.85-1.51帕邢系43-3.39LL_iiiiii_2莱曼系14.里德伯公式的推导守从高能级以跃迁到低能级%时，氢原子的发光频率En=2 n2V=En-Ek 3(1 1、波数为vh842%3(左mJ(1C 8岛2月。1左2心2 n2J-U2 n2)4其中 7?=-=1.0973731x107 m-1 瓯济一与实验结果符合得很好5.玻尔理论的缺陷*以经典理论为基础，其定态时不发出 辐射的假设又与经典理论相抵触*量子化条件没有适当的理论解释撵玻尔理论只能求出谱线频率，对强度 宽度和偏振等都无法处理例：氢放电管中，具有动能12.5eV的自由 电子与基态氢原子碰撞，问1）氢原子获得的最大能量是多少？2）获得能量的氢原子可能辐射的谱线波长为 多少？解：（1）由氢原子能级公式纥二（4 1me、1h2 n2算出 g=13.6W E2=-3.39eVE3=-l.51eV E4=-O.S5eV能级差 AE12=10.2W4 iA昂=12.09eV=/AE14=12.75V由于 AEn 12.5eVoo me 4 2 _ 机e8g/3 3 4g猛 33me4另一方面:V=4猛”3V=Vn mvnrn nhlln!L j L j 1/2jrrn17vmr，IV=z 2、2nh 7rme47r2m4 me4e；h3 n3对应原理:量子 理论nf oo、经典 理论经典物理是量子物理在量子数 很大时的极限情况。13-5微观粒子的波粒二象性一.德布罗意波1924年法国年轻的博士德布罗意提出 设想：实物粒子与光一样也具有波粒二 豪性类比：E me2 hvhp=mv=2、E me或/=h hm0c2Hvp mv mQv jr德布罗意公式H 夕与实物粒子相联系的波称为 L德布罗意波（物质波）,任1929年德布罗意获诺贝尔物理学奖:.实物粒子波动性实验铲1927年美国的戴维孙和革末实验证实两相邻晶面电子束反射射线干涉加强条件电子波的波长2sin cos 二心 2 2a sin 3=kAk=1,0=50Q银晶体6z=2.15xlO-lom2=asin。=1.65xl()TmA=-=-7=t=1.67xl0-1()m 加，y/2mkasinO=kh-sin 9 二强 2emU a2emUsin。=0.777女当左=1时，夕=arcsin0.777=51与实验结果相近.-晶体表面电子的衍射现象与“射 线的衍射现象相类似-电子具有波动性口同年，小汤姆逊的电子束 穿过多晶薄膜后的衍射实 验，得到了与%射线实验极 其相似的衍射图样e戴维孙和小汤姆逊同获 1937年诺贝尔物理学奖田1961年约恩逊的电子衍射实验自大量实验证实除电子外，中子、质子 以及原子、分子等都具有波动性，且符 合德布罗意公式-一切微观粒子都具有波动性例静止的电子经电场加速，加速电势 差为U,速度XVC。求德布罗意波长九2eU%h解.TT 1 2v eU=mov v=1.225nm一颗子弹、一个足球 有没有 波动性呢?例质量机=0.01kg,速度 v=300m/s的子弹的德布 洛意波长为0以Q _h _ h4 p mv=663x1 弘=2 21x10 34加 0.01x300因普朗克常数极其微小，子弹的 波长小到实验难以测量的程度（足球的波长也是如此），它们表 现出粒子性，并不是说一定没有 波动性。（例如光）三.德布罗意波的统计解释E926年德国物理学家玻恩首先提出概 率波的概念：粒子落在屏上哪一点具有偶然性；在某 一时刻，空间某点附近粒子出现的概率 与该时、该处物质波的强度成正比。峰 值处粒子出现的概率大，暗纹处粒子出 现的概率小在已知给定条件下，不可能 精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率.应用：电子显微镜 13-6不确定性关系经典力学：运动物体具有完全确定的 位置、动量、能量、角动量等行微观粒子：由于波动性，粒子以一定 的概率在空间出现一粒子在任一时刻 不具有确定的位置同样，动量、能量和角动量等也是不 确定的e电子单缝衍射实验：设一束电子垂直入射到单缝上 考虑中央明区OWPxWpsinq/.Apx=p sin 6X单缝衍射第一级 暗纹满足 tXPx P1AAxsin4=2a 22=P-TF 仇A=h/pA 2P展：Zx=hN ZMx=h考虑其它高次衍射条纹有AxApx/z-粗略估算结果行1927年德国物理学家海森伯由量子力 学得到位置与动量不确定性关系一 一 力 一 力 tl22x-?Ay-?ZWz-育同样能量与时间之间也有如下的不确定性关系：flEM -2守1932年海森伯 获诺贝尔物理 学奖说明：1.不确定性关系说明微观粒子不可能同 时具有确定的位置和动量；粒子位置 的不确定量越小，动量的不确定量就 越大，反之亦然2.不确定性关系仅是波粒二象性及其统 计关系的必然结果，而不是测量仪器 对粒子的干扰，也不是仪器的误差所 致例：已知电视显像管中电子的出射速 v=106ms-1,运动范围10-1m,试求电 子的横向速度的不确定量。力/2解：不确定关系Ax Apx h/2 Av-m-Ax电视显像管中人 力/2 6.63义10一2%/2二 一 i-m-Ax O.PlxlOxlO-1=0.58x10-3 根.Jv Av 此时电子可当作经典粒子例设电子在原子中运动速度为106 m/s，原子的线度约为10,m,求原子中电 子速度的不确定量解：电子位置的不确定量Ax10-10m人 心、h 6.63x10-34Avr=-=-m mAx 9.1xlO_31xlO-10=7.3x106 m/sAv与v在数量级上相当，因此讨论原子 中电子的速度没有实际的意义例已知第一玻尔轨道半径”，试计算当 氢原子中电子沿第玻尔轨道半径时，其 相应的德布罗意波长是多少？A=h/p=h/(mv)rn-n2a.L=mvrn=nh/(2)，mv=h/(27ma)/.2=/z/(mv)=Zjma 13-7波函数 薛定谓方程一.波函数曾沿工方向传播的平面波波动方程为y=0 COS 27T（Vt-x/2）位复数形式y 底为区别一般的波，奥地利物理学家薛 定娉提出用物质波波函数描述微观粒 子的运动状态口对能量为、动量为0的自由粒子，其 平面物质波波函数为、tJ 、t,_，24（力-1）一出-px）（4/）=*00 2力-自由粒子在三维空间运动时有v=E/h 九二h p二.波函数的物理意义/ocA2铲与光波类比，波函数的强度为|乎二乎乎*一 1T的共掘复数自由玻恩的概率波概念，粒子出现在体 积元dV内的概率为dw=fdV.忸二 概率密度田在整个空间总能找到粒子，应有C C C 2JJ|t|dv=i一波函数的归一化条件三.波函数的标准条件1.单值：某时刻粒子出现在某点的概率 唯一2.有限:粒子出现的概率应有限3.连续:不应出现突变（可导）说明：1.经典波描写实在物理量在空间中的传 播过程2.概率波不代表实在物理量的传播过程,波函数本身没有直接的物理意义四.薛定谓方程L一般薛定谤方程铲自由粒子：设自由粒子沿工方向运动波函数乎（/=田一，252T p2 m h2 a2T p2.-=-=-1dx h 2m dx1 2m5T i A+=ET.访竺二小dt h dt.=22m2m Sx2 2m5Tih二T dt力2 2平。中-丁 二 in 2m dx2 dt-一维运动自由粒子 的含时薛定谓方程铲在势场U(%,t)中：粒子的总能量为E=Ek+Ux.t)=*2m+U(x,t)加 i i d2ET=四十 0(兀祝*dt h h 2m即m=幺+。(几胡甲dt 2m又P2m_%2 2+1-2m2m dx2方2今平2m dx2+。（兀。=访STdt-一势场中一维运动粒子的含时薛定娉方程自推广到三维空间拉普拉斯算符V2T（r,r）+。（元=i户（r*2m dt一一般的薛定常方程 有引入能量算符人 方2 28二-？2+。任/）_哈密顿算符2m则有 HT=z7z dt说明薛定谤方程是量子力学中，态随时间 变化的方程，其正确性是由方程的解 与实验结果相符而得到证实只要找到体系的经典能量公.式，则可写出薛定谓方程并二1 求解，可得概率密度卬w 国自1933年薛定娉获得诺贝尔物蜩 理学奖 r一如2.定态方程-弁3)+皿字育定态：势能函数与时间无关，即。二。令 千亿/)=(r)/)力2 2/(OVV(r)+C/(r)(r)/(O2mot两边同除以(尸)/。)得力2 v(r)心1 m-二+U(r)=ifi-2m f(t)dt两边等于同一常数时上式才能成立JW dtVV(r)2m=E(1)+U(f)=E(2)_J-Et（1）的解为fSe力 具有能量量纲于说2m（不）力2为 V2(r)+U(ryAf)=Ey4r)2m即或Hy/=Ey/-定态薛定谭方程VV+(E-C7=0，。1_二 E,育粒子波函数为 中（尸/）=酊讨论：定态时，概率密度不随时间变化|中亿OP=Ete力定态时，解得的某些能量确定值称为本征值，相应的波函数称为本征函数五.求解波函数的方法及解决的几个问题1.求波函数的步骤：由体系的势能写出薛定娉方程 解方程得一般解 根据标准条件和归一化条件确定有关 常数项vV+2m 力2(E-U)i/=O2.求粒子出现概率极大、极小的位置求概率密度函数令d忸判断屋闭2xxmTl2=TT21dx=0,解出 x-xm 0极小点 0极大点=0拐点3.求粒子在某区域内出现的概率求概率密度函数 忸=乎乎*2计算w=r叫dx 13-8 一维无限深势阱田设粒子作一维运动，势能函数为。=000 x（阱内）x（阱外）阱外U（x）=oo力2屋”-F 00 =ElfJ 2m d?c须有三。一；00|00I I0 a2 h d i/(x)/、阱内一；=2m dx令 k2=ImE/h1.d2y/(x)72/、A-k ii/(x 0dx2其通解为(%)=C sin(be+8)C和S为待定常数根据波函数的连续、单值的条件有(0)=0 Csin=O;oo IS=0=0以)=()=Csinka=O匚 ka=n7i 07 mi k=an 12；00Ii/=0 xa(x)=Csinxa由归一化条件2.0 怛(x/)|dx=ra二L可得C=2/a(%)=Csin2dxn兀|1x dx=l a0 x 0j2/sin 上 x0 x 0(x)=0 x 0。求归一化常 数C,并求粒子出现几率最大的位置。解：（1）归一化2叶00*00+00000(x)公=1Cxe dx二?j Ye 2kxdx 分部积分C q 4k3 j“dv=v 一 J vdu波函数为=Fxe山x0以x)=0 x 0=0 x 0 13-9-维势垒谐振子一.一维势垒隧道效应育粒子在工方向运动，势能u”分布为“。（）0 xa 12 3有经典物理的观点：-T石时：粒子可越过势垒到达3区石屋 2加/口1 2 2、A-I(ETYICO X 0dV/2可解得纥=(+！)方几=0,1,讨论:uL线性谐振子的能=3-量是量子化的 =22.能级均匀分布，左二:能隙为时或力。-弓7ha)/2 力69/2/%/2 ha)/2X3.最小能量为(1/2)/13-10氢原子的量子力学描述一、氢原子的薛定谭方程年氢原子中，电子的势能函数为U=一厂铲薛定娉方程为：2 2m,/数+守+旅+U*鬲=守转换到球极坐标系中x=r sin 3 cos(p y=r sin 0 sin(p z=rcosO 育得极坐标形式为：_10r2 dr+Y-(sin r2 sin。801 5 V 2m e+-;-.v+T(5+-)=0r2 sin2 0 d(p 砰 4飞厂设亿4)=氏。(。)可得：/?-+叫=0d(p2 11 d d9(sii)+(2si道加 dd2-)0=0 siif。1“r2 dr心)-4 R=o 今守 r二.量子化条件和量子数1.能量量子化和主量子数由(3)可得氢原子能量为4 1 4 1_ me 1 _ me 13切02%2加2一 陶2，n=1,2,I主量子数任与玻尔所得结果完全一致2.角动量量子化和角量子数由(1)(2)可得电子绕核运动的角动量量子 化条件=，(/+1)力/=0,1,2,伽1).角量子数任对一定的值,1有个可能取值3.角动量空间量子化和磁量子数由可得的应满足ml-0,1,2,/-磁量子数 仍决定电子绕核运动角动量在空间的取 向有Lz=叫力年对一定的/值，“有(2 1+1)个可能取值 13-11电子的自旋二施特恩-格拉赫实验卡1921年施特恩和格拉赫为验证电子角 动量空间量子化而进行的实验行实验发现：不加磁场时底板上呈现一 条正对狭缝的原子沉积；加磁场时底 板上呈现上下两条原子沉积e矛盾：角量子数为I时，角动量在空间 的取向有(2/+1)种可能二.电子的自旋为解释上述实验结果，1925年乌伦贝克和古兹密特提出电子自旋假说：电子除轨道运动外，还存在自旋运动。电子自旋角动量S在空间任一方向上的投 影Sz只能取两个值1ST=h=mhz 2即 m=-自旋磁量子数 2由量子力学可得，自旋角动量为S=+1）方一与电子轨道角动量相似 s只能取一个值5=1/2一自旋量子数三.四个量子数田原子中电子的状态由四个量子数决定主量子数（11=1,2,）大体上决定电 子的能量角量子数，（Z=0,l?2,.,n-l）决定电子 的轨道角动量的大小磁量子数次/（加尸0,1,2,力决定 电子轨道角动量在外磁场中的取向自旋磁量子数（m=l/2）决定电子 自旋角动量在外磁场中的取向 13-12原子的壳层结构年对多电子原子，其内部电子的分布由 下面两条原理决定：泡利不相容原理：在一个原子中不能 有两个或两个以上的电子处在完全相 同的量子态，即不能具有相同的四个 量子数能量最小原理：原子系统处于正常状 态时，每个电子趋向占有最低的能级行根据泡利不相容原理，原子中具有相 同主量子数的电子数最多为，一 12(2/+1)=21l=Q莺1916年柯塞耳提出原子壳层结构：相同的电子组成一个壳层，对应啰壳层分别用 K,L,M,N,0,P,.来表示/相同的电子组成支壳层，对应 1=0,1,2啰支壳层分别用s,p,4于,g,儿来表示例如：n=l：1=0 叫=0%=1/2K壳层上可能有2个电子（s电子），表示为 1s2n=2：1=0 ms=1/2L壳层、s分层上可能有2个电子，表示为 2s2n=2：1=1 ml=0,l 4=1/2L壳层、P分层上可能有6个电子，表示 为2P6即L壳层最多可有8个电子霰窈年索尔维会战