人教版高数选修22第6讲：合情推理与演绎推理(教师版).doc

合情推理与演绎推理

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1.推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.
2.合情推理

归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般步骤
(1) 通过观察个别情况发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)
(1)找出两类事物之间相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)
3.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
“三段论”的表示
①大前提——M是P.
②小前提——S是M.
③结论——S是P.

题型一　归纳推理
例1　设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.
思维启迪　解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明.
解　f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，
f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.
归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均为f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，

∵f(x1)＋f(x2)＝＋
＝＝
＝＝＝.

思维升华　(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.
(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的.
(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.
　(1)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第五个等式应为________________________.
(2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有______.
答案　(1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
(2)f(2n)>(n≥2，n∈N*)
解析　(1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.
(2)由题意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，
所以当n≥2时，有f(2n)>.
故填f(2n)>(n≥2，n∈N*).
题型二　类比推理
例2　已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________.
思维启迪　等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算.
答案　
解析　设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.
因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，
所以类比得bm＋n＝
思维升华　(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.
(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.
(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.
　(1)给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)①②错误，③正确.
(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径.
题型三　演绎推理
例3　已知函数f(x)＝－(a>0，且a≠1).
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值.
思维启迪　证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y＝f(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f(x)＝－(a>0且a≠1)的图象关于点(，－)对称.
(1)证明　函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，
它关于点(，－)对称的点的坐标为(1－x，－1－y).
由已知得y＝－，则－1－y＝－1＋＝－，
f(1－x)＝－＝－＝－＝－，
∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称.
(2)解　由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.
则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
思维升华　演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
　已知函数y＝f(x)，满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数.
证明　设x1，x2∈R，取x1<x2，
则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1).
所以y＝f(x)为R上的单调增函数.

高考中的合情推理问题

典例：(1)(5分)(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.
思维启迪　从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n，k)，然后求N(10,24).
解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，
∴N(10,24)＝×100＋×10
＝1 100－100＝1 000.
答案　1 000
(2)(5分)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________.
思维启迪　直接类比可得.
解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则P1，P2的切线方程分别是
－＝1，－＝1.
因为P0(x0，y0)在这两条切线上，
故有－＝1，
－＝1，
这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，
故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.
答案　－＝1
(3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：
k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得
1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
…，
n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)].
相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)·(n＋2).
类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)·(n＋2)”，其结果为________.
思维启迪　根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证.
解析　类比已知条件得k(k＋1)(k＋2)＝[k(k＋1)(k＋2)(k＋3)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)]，
由此得1×2×3＝(1×2×3×4－0×1×2×3)，
2×3×4＝(2×3×4×5－1×2×3×4)，
3×4×5＝(3×4×5×6－2×3×4×5)，
…，
n(n＋1)(n＋2)＝[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)].
以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)
＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3).
答案　n(n＋1)(n＋2)(n＋3)

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. (　×　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. (　√　)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. (　×　)
(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的. (　√　)
(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋). (　×　)
(6) ＝2， ＝3， ＝4，…， ＝6(a，b均为实数)，则可以推测a＝35，b＝6. (　√　)
2.数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于 (　　)
A.28 B.32 C.33 D.27
答案　B
解析　5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，
推出x－20＝12，所以x＝32.
3.观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的后四位数字为 (　　)
A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125
答案　D
解析　55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 011＝4×501＋7，所以52 011与57后四位数字相同为8125，故选D.
4.(2013·陕西)观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________.
答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·
解析　观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列.
答案　　
解析　对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，
则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，
T16＝a1a2…a16，
因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，
而T4，，，的公比为q16，
因此T4，，，成等比数列.

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基础巩固
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1.(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 (　　)
A.28 B.76 C.123 D.199
答案　C
解析　观察规律，归纳推理.
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于 (　　)
A.n B.n＋1 C.n－1 D.n2
答案　A
解析　由(n＋1)*1＝n*1＋1，
得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1).
又∵1*1=1，∴n*1＝n
3.下列推理是归纳推理的是 (　　)
A.A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
答案　B
解析　从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.
4.已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.
证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.
∴a<b，其中，画线部分是演绎推理的 (　　)
A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论
答案　B
解析　由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提.
5.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为 (　　)
A.dn＝ B.dn＝
C.dn＝ D.dn＝
答案　D
解析　若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；
若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，
∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.
二、填空题
6.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.
答案　14
解析　进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，
则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，
易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.
7.若函数f(x)＝(x>0)，且f1(x)＝f(x)＝，当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]，则f3(x)＝________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________.
答案　　
解析　∵f1(x)＝，fn(x)＝f[fn－1(x)](n≥2)，
∴f2(x)＝f()＝＝.
f3(x)＝f[f2(x)]＝f()＝＝.
由所求等式知，分子都是x，分母中常数项为2n，x的系数比常数项少1，为2n－1，
故fn(x)＝.
8.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则类比得到的结论是________.

答案　＝
解析　易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等，
故＝＝.
三、解答题
9.已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律.
解　(1)由于a1＝5，d＝2，
∴Sn＝5n＋×2＝n(n＋4).
(2)∵Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n.
∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，
T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.
S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，
S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.
由此可知S1＝T1，当n≥2时，Sn<Tn.
归纳猜想：当n＝1时，Sn＝Tn；当n≥2，n∈N时，Sn<Tn.
10.在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.
解　如图所示，由射影定理
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.
猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，
则＝＋＋.
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋，
∴＝＋＋.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
1.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　①②正确，③错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.
2.设是R的一个运算，A是R的非空子集.若对于任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　)
A.自然数集 B.整数集
C.有理数集 D.无理数集
答案　C
解析　A错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.
3.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为________.
答案　
解析　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域.
4.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*).证明：
(1)数列{}是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·， (小前提)
故{}是以2为公比，1为首项的等比数列. (结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2). (小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， (小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an. (结论)
5.对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，
(1)求函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心；
(2)计算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f().
解　(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.
f()＝×()3－×()2＋3×－＝1.
由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1).
(2)由(1)，知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1)，
所以f(＋x)＋f(－x)＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.
故f()＋f()＝2，
f()＋f()＝2，
f()＋f()＝2，
…
f()＋f()＝2.
所以f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()＝×2×2 012＝2 012.

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