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高数中的重要定理与公式及其证明（三）

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。
现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

14）单调性定理：
设函数在上连续，在上可导。
如果在上有，那么函数在上单调递增。
如果在上有，那么函数在上单调递减。
【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。
证明：
仅证明的情形，的情形类似。
，假定
则利用拉个朗日中值定理可得，使得。
由于，因此。
由的任意性，可知函数在上单调递增。

15）(极值第一充分条件)
设函数在处连续，并在的某去心邻域内可导。
ⅰ）若时，而时，则在处取得极大值
ⅱ）若时，而时，则在处取得极小值；
ⅲ）若时，符号保持不变，则在处没有极值；
【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。

16）(极值第二充分条件)
设函数在处存在二阶导数且，那么
ⅰ）若则在处取得极小值；
ⅱ）若则在处取得极大值。
【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。
证明：
仅证明的情形，的情形类似。
由于在处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在的某领域内成立
由于，因此

由高阶无穷小的定义可知，当时，有，又由于，因此在的某领域内成立。
进一步，我们有。
也即，在的某领域内成立。
由极值点的定义可知在处取得极小值。
16）洛必达法则
设函数在的空心邻域内可导，，且
则有，其中可以是有限数，也可以是。
【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。

跨考魔鬼集训营04