人教版高数必修四第5讲：三角函数图像变换(学生版).doc

三角函数的图像变换

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1结合具体实例，理解y=Asin的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin的简图。会用计算机画图，观察并研究参数，进一步明确对函数图象的影响。
2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin 的图象。
3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

1、函数图象的左右平移变换
如在同一坐标系下，作出函数和的简图，并指出它们与图象之间的关系。
解析：函数的周期为，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。
设，那么，
当Z取0、时，x取。所对应的五点是函数，图象上起关键作用的点。
列表：

类似地，对于函数，可列出下表：

描点作图（如下）

利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出，及，的简图（图略）。

变换规律：__________________________________________________________________________

2、函数图象的横向伸缩变换
如作函数及的简图，并指出它们与图象间的关系。
解析：函数的周期，我们来作时函数的简图。
设，那么，当Z取0、时，所对应的五点是函数图象上起关键作用的五点，这里，所以当x取0、、时，所对应的五点是函数的图象上起关键作用的五点。
列表：

函数的周期，我们来作时函数的简图。
列表：

描点作图，如图：

变换规律：__________________________________________________________________________

3、函数图象的纵向伸缩变换
如在同一坐标系中作出及的简图，并指出它们的图象与的关系。
解析：函数及的周期，我们先来作时函数的简图。
列表：

描点作图，如图：

变换规律：____________________________________________________________________________

4、函数的图象
作函数的图象主要有以下两种方法：

例1. 用两种方法将函数的图象变换为函数的图象。

练习：

2．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。

例2. 如图是函数的图象，确定A、、的值。

例3. 函数f(x)=Asin(ωx+j)的图象如图2-15，试依图指出

(1)f(x)的最小正周期；
(2)使f(x)=0的x的取值集合；
(3)使f(x)＜0的x的取值集合；
(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；
(5)求使f(x)取最小值的x的集合；
(6)图象的对称轴方程；
(7)图象的对称中心．

练习：1．(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象， 试写出变换过程．

2．(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．

3．(14分)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝与函数y＝f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标．

一、选择题
1．将函数y＝sin(x－)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，得到图象的解析式是(　　)
A．y＝sin(2x＋) B．y＝sin(x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(2x－)
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为(　　)

A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x＋)
C．y＝2sin(－) D．y＝2sin(2x－)
3．函数y＝sin|x|的图象是(　　)

4．为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
二、填空题
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是，初相是，则这个函数的解析式为________．
6．函数f(x)＝3sin的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
三、解答题
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一个最高点为(2,2)，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点(6,0)，试求这个函数的解析式．
8．已知函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合．
9．(2014·北京文，16)函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图象如图所示．

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0、y0的值；
(2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．

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基础巩固
一、选择题
1．函数y＝|cosx|的周期为(　　)
A．2π B．π
C． D．
2．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)要得到函数g(x)＝cosx的图象，只需将f(x)＝cos(x－)的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．(2014·山东济南一中高一月考)函数y＝cos2x的图象(　　)
A．关于直线x＝－对称 B．关于直线x＝－对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
4．已知函数y＝cos(ωx＋φ)在一个周期内如图所示．设其周期为T，则有(　　)

A．T＝，φ＝ B．T＝，φ＝
C．T＝3π，φ＝－ D．T＝3π，φ＝
5．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象(　　)
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
6．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝，则f的值等于(　　)
A．1 B．
C．0 D．－
二、填空题
7．函数y＝的定义域为________．
8．(2014·江西九江外国语高一月考)函数f(x)＝cos(2x－)＋1的对称中心坐标为________．
三、解答题
9．已知函数y＝a－bcosx的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4bsinax的最大值、最小值及最小正周期．

能力提升
一、选择题
1．函数y＝lncosx(－<x<)的图象是(　　)

2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则常数A、ω、φ、b的取值是(　　)

A．A＝6，ω＝，φ＝，b＝－2 B．A＝－4，ω＝，φ＝，b＝－2
C．A＝4，ω＝2，φ＝，b＝2 D．A＝4，ω＝，φ＝，b＝2
3．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx<0的解集为(　　)

A．∪(0,1)∪ B．∪(0,1)∪
C．∪(0,1)∪(1,3) D．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
4．把函数y＝cos的图象向右平移φ个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
5．已知f(n)＝cos，n∈N*，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.
6．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，在同一周期内当x＝时，ymax＝2；当x＝时，ymin＝－2，那么函数的解析式为________．
三、解答题
7．求函数y＝2cos(－4x)的单调区间、最大值及取得最大值时x的集合．
8．判断下列函数的奇偶性，并求它们的最小正周期．
(1)y＝3cos2x；
(2)y＝cos(x＋)．

9．设函数f(x)＝asin，g(x)＝bcos(a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，求这两个函数的解析式．

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