人教版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算(学生版).doc

平面向量的基本概念与线性运算

__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；
2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．
3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.

一、 平面向量的概念：
1、平面向量：________________________________________________________
2、 向量的模长：________________________________________________________
3、 零向量:____________________________________________________________
4、单位向量：__________________________________________________________
5、 平行向量：_________________________________________________________
6、 相等向量：_________________________________________________________
7、相反向量：__________________________________________________________
二、 平面向量的基本运算：
一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示．
向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．
1、 三角形法则：
位移叫做位移与位移的和，记作____________________
图7－7
A
C
B
a
b
a+b
a
b

2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得
图7－9

A
D
C
B

＋=________________________

平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（−a）= 0；
（2）a＋b=b＋a；
（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
3、平面向量减法法则：
与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即
a −b = a＋(−b)．
设a，b ，则
．
即 = （7．2）
观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．
a
A
a-b
B
b
O
图7－13

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为
（7．3）
若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有
（7．4）
一般地，有
0a= 0, 0 = 0 ．　　　　
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：

题型1　平面向量的基本概念
例1　给出下列六个命题：
① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
② 若|a|＝|b|，则a＝b；
③ 若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形；
④ 在ABCD中，一定有＝；
⑤ 若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥ 若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中错误的命题有________．(填序号)
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
A
D
C
B
图7－5
O
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出向量的负向量；
（3）找出与向量平行的向量．
练习：
1． 如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出
（1）与相等的向量；（2）与共线的向量．
F
A
D
B
E
C
（练习题1．1．1第2题图）
第1题图
E
F
A
B
C
D
O
（图1－8）
第2题图

2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出
（1）与相等的向量； （2）的负向量； （3）与
题型2　向量的线性表示
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小．

练习：
1． 如图，已知a，b，求a＋b．
（图1－15）
b
b
a
a
（1）
（2）
第1题图
2．填空（向量如图所示）：
（1）a＋b =_____________ ,
（2）b＋c =_____________ ,
（3）a＋b＋c =_____________ ．
3．计算：
（1）＋＋； （2）＋＋．
例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a－b．
B
b
O
a
A
b
a
（1）
（2）
图7－14

练习：
1．填空：（1）=_______________，
（2）=______________，
（3）=______________．

2．如图，在平行四边形ABCD中，设= a,= b，试用a, b表示向量、、．

例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，＝a ，＝b，试用a, b表示向量、．
练习：
1． 计算：（1）3（a −2 b）－2（2 a＋b）；
（2）3 a −2（3 a −4 b）＋3（a −b）．

2．设a, b不共线，求作有向线段，使＝（a＋b）．

例7　平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.

练习：
练习：在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.

题型3　共线向量
例8　设两个非零向量a与b不共线．
(1) 若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；
(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
题型4　向量共线的应用
例4　如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

练习：
如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝AC；在AB上取一点M，使得AM＝AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN；在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．

一、选择题
1．在下列判断中，正确的是(　　)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
2．向量(＋)＋(＋)＋等于(　　)
A． B．
C． D．
3．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是(　　)
A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同
D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同
4．已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋.其中结果为零向量的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
5．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是________．
6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则＋＋＝________.

三、解答题
7．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：

(1)分别写出，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
8.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若=a，=b，试用a、b表示和，则=________，=______.

_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________

基础巩固
一、选择题
1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是(　　)
A．一条线段　　　　　　　　 B．一段圆弧
C．两个孤立的点 D．一个圆
2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在(　　)
A．同一个圆上 B．同一个点上
C．同一条直线上 D．以上都有可能
4．有下列说法：
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④共线向量一定在同一直线上．
其中，正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
5．下列说法错误的是(　　)
A．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量
B．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量
C．只有零向量的模等于0
D．零向量没有方向
6．如图所示，圆O上有三点A、B、C，则向量、、是(　　)
A．有相同起点的相等向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
9．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)
A．a＝b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．以上都不对
10．△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是(　　)

A．＝＋ B．＋＝0
C．＋＋≠0 D．＋＋≠0
12．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．平行四边形

二、填空题
12．若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量为________．
16．根据右图填空：
b＋c＝________；
a＋d＝________；
b＋c＋d＝________；
f＋e＝________；
e＋g＝________.

三、解答题
17．某人从A点出发，向东走到B点，然后，再向正北方向走了60m到达C点．已知||＝120m，求的方向和A、B的距离．
18．两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1＝40N，方向向东，F2＝40N，方向向北，求它们的合力．

能力提升
一、选择题
1．若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b.
其中正确的是(　　)
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
2．如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是(　　)

A．||＝|| B．与共线
C．＝ D．与共线
3．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是(　　)

A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C．的长度恰为长度的倍
D．与不共线
4．四边形ABCD中，若与是共线向量，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．梯形
C．平行四边形或梯形 D．不是平行四边形也不是梯形
1．已知向量a表示“向东航行1km”向量b表示“向南航行1km”则a＋b表示(　　)
A．向东南航行km B．向东南航行2km
C．向东北航行km D．向东北航行2km
2．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列各式中不成立的是(　　)
A．a＋b＝c B．a＋d＝b
C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|
3．已知正方形ABCD的边长为1，＝a、＝b、＝c，则|a＋b＋c|等于(　　)
A．0 B．3
C． D．2
4．下列命题中正确的个数为(　　)
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
5．若||＝||，且＝，则四边形ABCD的形状为________．
6．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.
6．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，若||＝2，则|＋|＝________.

三、解答题
8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．
(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．
9．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知＝，＝，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由．

7．如图所示，在△ABC中，P、Q、R分别为BC、CA、AB边的中点，求证＋＋＝0.

8．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处．求此时轮船关于A港的相对位置．
9．已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F1＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2＝12N.求F1和F2的合力．

12