人教版高数必修四第8讲：平面向量数量积(学生版).doc

平面向量的基本概念与线性运算

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1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.
2平面向量数量积的应用.

一、平面向量数量积的物理背景及定义：
以物理学中的做功为背景引入
问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？
力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的夹角
q

1、两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角
说明：
（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0°≤q≤180°
C

2、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosq叫与的数量积，记作×，即有× = ||||cosq，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0
3、两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
①× = × =||cosq
②^ Û× = 0
③ × = ||2或
④cosq =
⑤|×| ≤ ||||
4、向量数量积满足的运算率：
①；
②；
③
二、 向量数量积的坐标运算
1.已知两个向量，,则_=___________________.
2.设，则.______________________
3.平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、，那么._____________
4.向量垂直的判定 两个非零向量，，则______________ .
5.两向量夹角的余弦 cosq =_________________（）.
6.向量在轴上的正射影：
作图

定义：||cosq叫做向量在所在轴上的正射影
正射影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时正射影为正值；当q为钝角时正射影为负值；当q为直角时正射影为0；当q = 0°时正射影为||；当q = 180°时正射影为-||

类型一、 平面向量数量积的运算：
例题1 已知下列命题:
①; ②; ③; ④
其中正确命题序号是 _____ .

例题2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求.

练习:已知,求

类型二、夹角问题：
例题3 (2005年北京)若,且,则向量与向量的夹角为 ( )
A. B. C. D.
练习：1、已知,求向量与向量的夹角.

2、 已知,夹角为,则 .
3、已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.

类型三、向量模的问题：
例题4 已知向量满足,且的夹角为,求.

练习：
1、(2005年湖北)已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( )
A. B. C. D.
2、(2006年福建) 已知的夹角为,, ,则 等于( )
A 5 B. 4 C. 3 D. 1
类型四、平面向量数量积的综合应用：
例题5 (2006年全国卷)已知向量.
(1) 若 ; (2)求的最大值 .

例题6已知向量,且满足,
(1) 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数;
(3) 求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.

一、选择题
1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　)
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等
2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
4．|m|＝2，m·n＝8，<m，n>＝60°，则|n|＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　)
A．－5 B．5
C．－5 D．5
6．若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
二、填空题
7．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.
8．若|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________．
三、解答题
9．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积．
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.

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基础巩固
一、选择题
1．已知a＝(2,1)、b＝(1，－2)，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
2．已知点A(1,2)、B(2,3)、C(－2,5)，则·等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝(　　)
A． B．
C．5 D．25
6．(2014·重庆理，4)已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)
A．－ B．0
C．3 D．
二、填空题
7．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．
8．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
三、解答题
9．已知A(2,3)、B(5,1)、C(9,7)、D(6,9)四点，试判断四边形ABCD的形状．

能力提升
一、选择题
1．(2014·山东文，7)已知向量a＝(1，)、b＝(3，m)，若向量a、b的夹角为，则实数m＝(　　)
A．2 B．
C．0 D．－
2．已知m＝(1,0)、n＝(1,1)，且m＋kn恰好与m垂直，则实数k的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．以上都不对
3．若向量a＝(1,2)、b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)
A．－ B．
C． D．
4．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标是(　　)
A．或
B．或
C．或
D．或
二、填空题
5．(2014·湖北理，11)设向量a＝(3,3)、b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
6．(2014·四川文，14)平面向量a＝(1,2)、b＝(4,2)、c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
三、解答题
7．设a＝(4，－3)、b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．

8．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)分别确定λ的取值范围，使得：
(1)a与b夹角为90°；
(2)a与b夹角为钝角；
(3)a与b夹角为锐角．

9． 已知a＝(3,4)、b＝(4,3)，求x、y的值使(xa＋yb)⊥a，且|xa＋yb|＝1.

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