人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质(教师版).doc

三角函数的图像与性质

一、三角函数的图像：
1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角α的正弦线，
2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：

把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线

3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：
为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

2、余弦函数y
x
o
1
-1
y=cosx xÎ[0,2p]的五个点关键是
(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx，x∈R的图象，

3、正切函数的图象：
我们可选择的区间作出它的图象

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”

(0,0) (,1) (π,0) (,-1) (2π,0)

二、三角函数的性质:
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴

类型一、三角函数的图像：
例1. 作出函数的图象
分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。
解析：化为
即
其图象如图：

点评：画的图象可分为两步完成，第一步先画出和，的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。

例2：
解析：

类型二、三角函数的性质：
例3. 求下列函数的周期
（1） （2）
分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。
解析：（1）如果令，则是周期函数，且周期为

即
的周期是
（2）
即
的周期是。

练习：求下列三角函数的周期：
1° y=sin(x+) 2° y=cos2x 3° y=3sin(+) 4° y=tan3x
例:4. 比较下列各组数的大小。
（1）sin194°和cos160°；（2）和；
（3）和
分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。
解析：（1）

，
从而
即
（2）
又
在［］上是减函数

即
（3）

而在内递增

点评：
（1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。
（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。

练习：比较下列各组数的大小
(1)sin(－)、sin(－)； (2)cos(－)、cos(－)．
解：(1)∵－＜－＜－＜． (2)cos(－)＝cos＝cos
且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数 cos(－)＝cos＝cos
∴sin(－)＜sin(－) ∵0＜＜＜π
即sin(－)－sin(－)＞0 且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数
∴cos＜cos
即cos－cos＜0
∴cos(－)－cos(－)＜0
例5. 求下列函数的最大值和最小值
（1）
（2）
（3）
分析：可利用sinx与cosx的值域求解，求解过程中要注意自变量的取值范围。
解析：（1）

当时，
当时，
（2）
当时，；
当时，。
（3），

当时，；
当时，。
点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性，以及复合函数的有关性质。
练习：求下列函数的定义域和值域：
（1） （2） （3）
例6：求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性
解：由得，
所求定义域为
值域为R，周期，是非奇非偶函数
在区间上是增函数
例6．求下列函数的单调区间：
（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。
分析：（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。（2）可画出y=－|sin（x+）|的图象。解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。
故由2kπ－≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；由2kπ+≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，
递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。
（2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。

一、选择题
1．函数y＝sinax(a≠0)的最小正周期为π，则a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．
[答案]　C
[解析]　由题意，得＝π，∴a＝±2.
2．函数y＝sin(x－)的一条对称轴可以是直线(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
[答案]　B
[解析]　解法一：令x－＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z.
当k＝1时，x＝，故选B.
解法二：当x＝时，y＝sin(－)＝sin＝－1，∴x＝是函数y＝sin(x－)的一条对称轴．
3．函数y＝sin2x的单调减区间是(　　)
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z) D．(k∈Z)
[答案]　B
[解析]　由2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z得
y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋，kπ＋π](k∈Z)．
4．函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)
A．3 B．0
C．－1 D．－2
[答案]　B
[解析]　f(a)＝a3＋sina＋1＝2.
f(－a)＝－a3－sina＋1＝－f(a)＋2＝0.
5．y＝sinx－|sinx|的值域是(　　)
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,0]
[答案]　D
[解析]　当sinx≥0即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z时，
y＝0；
当sinx<0，即2kπ＋π<x<2kπ＋2π，k∈Z时，y＝2sinx，
∴－2≤y<0.综上，y∈[－2,0]．
6．已知函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]，则该函数图象与直线y＝交点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　分别作出函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]与直线y＝的图象，如下图所示：

由图可知，函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]与直线y＝有两个交点，故选C.
二、填空题
7．f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sinx，则当x<0时，f(x)＝________.
[答案]　－x2－sinx
[解析]　∵x<0，∴－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sinx，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－sinx.
8．函数f(x)＝cos·cos(＋x)是________函数．(奇、偶性)
[答案]　偶函数
[解析]　f(x)＝sin2xsinx
∵f(－x)＝sin(－2x)·sin(－x)
＝sin2x·sinx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
三、解答题
9．求函数y＝7－6sinx－2cos2x的最值．
[解析]　y＝7－6sinx－2cos2x＝2sin2x－6sinx＋5
＝22＋.
由于二次函数y＝22＋的二次项系数为2>0，所以抛物线开口向上，顶点坐标为.
又sinx∈[－1,1]，故当x＝2kπ－(k∈Z)，即sinx＝－1时，y有最大值13；
当x＝2kπ＋(k∈Z)，即sinx＝1时，y有最小值1.

_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________

基础巩固
1．函数y＝5sin的最小正周期是(　　)
A．π B．π
C．5π D．
[答案]　C
[解析]　T＝＝＝5π.
2．曲线y＝sin(2x＋)的一条对称轴是(　　)
A．－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
[答案]　D
[解析]　令2x＋＝＋kπ，k∈Z，
∴x＝＋，k∈Z.
当k＝2时，x＝，故选D.
3．下列表示最值是，周期是6π的三角函数的表达式是(　　)
A．y＝sin(＋) B．y＝sin(3x＋)
C．y＝2sin(－) D．y＝sin(x＋)
[答案]　A
[解析]　函数y＝sin(＋)的最大值为，周期为6π，初相为，故选A.
4．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x＝对称的是(　　)
A．y＝sin(＋) B．y＝sin(2x＋)
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x－)
[答案]　D
[解析]　∵函数的最小正周期为π，排除A，又∵函数图象关于x＝对称，∴当x＝时，函数取最大值或最小值，只有选项D满足，故选D.
5．函数y＝sin在区间[0，π]内的一个单调递减区间是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，∴选B.
6．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是(　　)
A．2π B．π
C． D．
[答案]　B
[解析]　由题意知＝，∴T＝π，故选B.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝________.

[答案]　0
[解析]　由图象知，T＝，
∵f＝0，∴f＝f
＝f＝－f＝0.
8．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则y＝________.

[答案]　sin
[解析]　＝2，∴T＝8，ω＝，将点(1,1)代入y＝sin中得＋φ＝2kπ＋，∵0≤φ<2π，
∴φ＝.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示，求函数f(x)的解析式．

[解析]　由图象知，周期T＝2(－)＝π，
所以ω＝＝2.
因为点(，0)在函数图象上，
所以Asin(2×＋φ)＝0，即sin(＋φ)＝0.
又因为0<φ<，所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点(0,1)在函数图象上，所以Asin＝1，解得A＝2.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
Error! No bookmark name given.能力提升
一、选择题
1．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．
由y＝sin是偶函数知＝＋kπ，即φ＝＋3kπ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝适合．本题也可用偶函数定义求解．
2．若A、B是钝角△ABC的两个锐角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　D
[解析]　∵A、B是钝角△ABC的两个锐角，∴A＋B<，0<A<－B<，0<B<－A<.
∵y＝sinx在上是增函数，
∴sinA<sin，sinB<sin，
∴sinA<cosB，sinB<cosA，∴点P在第四象限．
3．已知方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，则a的范围是(　　)
A．[－2,5] B．(－∞，5]
C．[－4,4] D．[0,5]
[答案]　C
[解析]　原式可化为：(sinx－2)2＝5－a.
∵－1≤sinx≤1，∴1≤(sinx－2)2≤9，
∴1≤5－a≤9，解得a∈[－4,4]．
4．函数y＝＋sinx－sin2x的最大值是(　　)
A．　　 B．－　
C．2　　 D．不存在
[答案]　C
[解析]　y＝－2＋2，
∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝时，函数y＝－(sinx－)2＋2取最大值2.
二、填空题
5．函数y＝a＋bsinx的最大值是，最小值为－，则a＝________，b＝________.
[答案]　　±1
[解析]　当b>0时，由题意得，
∴.
当b<0时，由题意得，
∴.
6．函数y＝sin的单调递减区间为________．
[答案]　(k∈Z)
[解析]　y＝sin＝－sin，
函数y＝sin的递减区间，
即为函数y′＝sin的递增区间，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin(－x＋)的单调递减区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝sin(2x－)，求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的取值集合．
[解析]　当2x－＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)取最大值1，此时x＝＋kπ，k∈Z.
即f(x)的最大值是1，取最大值时x的取值集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
8．用五点法画出函数f(x)＝3sin(＋)＋3在一个周期内的图象．
[解析]　列表如下：
x
－

＋
0

π

2π
y
3
6
3
0
3

描点连线：

9．已知函数f(x)＝log.
(1)求f(x)的定义域、值域和单调区间；
(2)判断f(x)的奇偶性．
[解析]　(1)要使函数有意义，须sin2x>0，
∴2kπ<2x<2kπ＋π，
∴kπ<x<kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)定义域为，k∈Z.
∵0<sin2x≤1，∴0<sin2x≤，
∴log≥1，即值域为[1，＋∞)．
令y＝sin2x，则函数y＝sin2x的增区间即为函数f(x)的减区间，函数y＝sin2x的减区间即为函数f(x)的增区间．
∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)．
(2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数．

16