人教版高数必修四第5讲：三角函数图像变换(教师版).doc

三角函数的图像变换

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1结合具体实例，理解y=Asin的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin的简图。会用计算机画图，观察并研究参数，进一步明确对函数图象的影响。
2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin 的图象。
3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

1、函数图象的左右平移变换
如在同一坐标系下，作出函数和的简图，并指出它们与图象之间的关系。
解析：函数的周期为，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。
设，那么，
当Z取0、时，x取。所对应的五点是函数，图象上起关键作用的点。
列表：

类似地，对于函数，可列出下表：

描点作图（如下）

利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出，及，的简图（图略）。

由图可以看出，的图象可以看作是把的图象上所有的点向左平行移动个单位而得到的，的图象可以看作是把的图象上所有的点向右平行移动个单位得到的。
注意：一般地，函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位而得到的。
推广到一般有：
将函数的图象沿x轴方向平移个单位后得到函数的图象。当a>0时向左平移，当a<0时向右平移。

2、函数图象的横向伸缩变换
如作函数及的简图，并指出它们与图象间的关系。
解析：函数的周期，我们来作时函数的简图。
设，那么，当Z取0、时，所对应的五点是函数图象上起关键作用的五点，这里，所以当x取0、、时，所对应的五点是函数的图象上起关键作用的五点。
列表：

函数的周期，我们来作时函数的简图。
列表：

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出，及，的简图（图略）。
从上图可以看出，在函数的图象上横坐标为（）的点的纵坐标同上横坐标为的点的纵坐标相同（例如，当时，，）。因此，的图象可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。
类似地，的图象可以看作是把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。
注意：一般地，函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。
推广到一般有：
函数的图象，可以看作是把函数的图象上的点的横坐标缩短（当）或伸长（当）到原来的倍（纵坐标不变）而得到。

3、函数图象的纵向伸缩变换
如在同一坐标系中作出及的简图，并指出它们的图象与的关系。
解析：函数及的周期，我们先来作时函数的简图。
列表：

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到及的简图（图略）。
从上图可以看出，对于同一个x值，的图象上点的纵坐标等于的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而的值域为［－2，2］，最大值为2，最小值为－2。
类似地，的图象，可以看作是把的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）而得到的，从而的值域是［-，］，最大值为，最小值为。
注意：对于函数（A>0且A≠1）的图象，可以看作是把的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的，的值域为［－A，A］，最大值为A，最小值为－A。
推广到一般有：
函数（A>0且A≠1）的图象，可以看作是把函数图象上的点的纵坐标伸长（当A>1）或缩短（当0<A<1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。

4、函数的图象
作函数的图象主要有以下两种方法：
（1）用“五点法”作图
用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取0，，，，来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。
（2）由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一：先平移后伸缩

法二：先伸缩后平移

可以看出，前者平移个单位，后者平移个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误。
当函数（A>0，，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数，它叫做振动的频率；叫做相位，叫做初相（即当x＝0时的相位）。

例1. 用两种方法将函数的图象变换为函数的图象。
分析1：
解法1：

分析2：
解法2：

点评：在解法1中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的（即和），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。
练习：

∴应选D

x轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最

的图象．∴选D
例2. 用五点法作出函数的图象，并指出函数的单调区间。
分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。
解析：（1）列表
列表时取值为0、、、、，再求出相应的x值和y值。

（2）描点

（3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到，的简图（图略）。
可见在一个周期内，函数在［，］上递减，又因函数的周期为，所以函数的递减区间为。同理，增区间为。
点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的取0、、、、，然后求出相应的x，y值。

例3. 如图是函数的图象，确定A、、的值。

解析：显然A＝2

解法1：由图知当时，y＝0
故有，
所求函数解析式为
解法2：由图象可知将的图象向左移
即得，即

点评：求函数的解析式难点在于确定初相，一般可利用图象变换
例:4．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。
解析：y=sin（2x+）

另法答案：
（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；
（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；
（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。
例5： 函数f(x)=Asin(ωx+j)的图象如图2-15，试依图指出

(1)f(x)的最小正周期；
(2)使f(x)=0的x的取值集合；
(3)使f(x)＜0的x的取值集合；
(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；
(5)求使f(x)取最小值的x的集合；
(6)图象的对称轴方程；
(7)图象的对称中心．
解析：  这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+j)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．

注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．

注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1

注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0
【说明】  这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．
练习：1．(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象， 试写出变换过程．
解　(1)由图象知A＝2.
f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2.
将点代入f(x)的解析式，得sin＝1.
又|φ|<，∴φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)方法一　y＝2sin x
y＝2siny＝2sin.
方法二　y＝2sin xy＝2sin 2x
2．(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值 及相应的x的值．
解　(1)由图象知A＝2，T＝8，
∵T＝＝8，∴ω＝.
又图象过点(－1,0)，∴2sin＝0.
∵|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin.
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
＝2sin＋2sin
＝2sin＝2cos x.
∵x∈，∴－≤x≤－.
∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值；
当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.
易错分析　y＝f(x)＋f(x＋2)化简错误，化简公式和方法不熟致误．
y＝2sin.
3．(14分)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝与函数y＝f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标．
解　(1)由题图知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2，
将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，
得y＝2sin(2x＋φ)的图象．
于是φ＝2×＝，∴f(x)＝2sin.
(2)依题意得g(x)＝2sin
＝－2cos.
故y＝f(x)＋g(x)＝2sin－2cos
＝2sin.
由2sin＝，得sin＝.
∵0<x<π，∴－<2x－<2π－.
∴2x－＝或2x－＝，
∴x＝π或x＝π，
∴所求交点坐标为或.
易错分析　f(x)向右平移个单位得g(x)＝2sin，学生易错为
g(x)＝2sin，忽略了x的系数2的作用．

一、选择题
1．将函数y＝sin(x－)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，得到图象的解析式是(　　)
A．y＝sin(2x＋) B．y＝sin(x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(2x－)
[答案]　C
[解析]　将函数y＝sin(x－)图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(－)的图象，再将所得函数图象向左平移个单位，得到函数y＝sin[(x＋)－]＝sin(－)的图象，故选C.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为(　　)

A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x＋)
C．y＝2sin(－) D．y＝2sin(2x－)
[答案]　A
[解析]　由图象可知，A＝2，T＝2[－(－)]＝π，∴ω＝2.∴y＝2sin(2x＋φ)，
又∵2×(－)＋φ＝，
∴φ＝，∴y＝2sin(2x＋)．
3．函数y＝sin|x|的图象是(　　)

[答案]　B
[解析]　令f(x)＝sin|x|，x∈R，
∴f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，
∴函数f(x)＝sin|x|为偶函数，排除A；
又当x＝时，y＝sin||＝sin＝1，排除D；
当x＝时，y＝sin||＝sin＝－1，排除C，故选B.
4．为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
[答案]　C
[解析]　将y＝2sinx的图象向左平移个单位得到y＝2sin的图象，将y＝2sin图象上各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，
则得到y＝2sin的图象，故选C.
二、填空题
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是，初相是，则这个函数的解析式为________．
[答案]　y＝3sin(7x＋)
[解析]　由题意，知A＝3，ω＝＝＝7，φ＝，
∴y＝3sin(7x＋)．
6．函数f(x)＝3sin的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
[答案]　①②③
[解析]　f＝3sin＝－3，①正确；
f＝3sinπ＝0，②正确；
f(x)的增区间为(k∈Z)，令k＝0得增区间，③正确；
由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C，④错误．
三、解答题
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一个最高点为(2,2)，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点(6,0)，试求这个函数的解析式．
[解析]　已知函数最高点为 (2,2)，∴A＝2.
又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x轴相交于点(6,0)，而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为个周期长度，∴＝6－2＝4，即T＝16.
∴ω＝＝.
∴y＝2sin(x＋φ)．
将点(6,0)的坐标代入，有2(×6＋φ)＝0，
∴sin(＋φ)＝0，
又∵|φ|<，∴φ＝.
∴函数的解析式为y＝2sin(x＋)．
8．已知函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合．
[解析]　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，
∴a＝1.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
∴2x＝＋2kπ，k∈Z
∴x＝＋kπ，k∈Z.
∴当f(x)取最大值时，
x的取值集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
9．(2014·北京文，16)函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图象如图所示．

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0、y0的值；
(2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．
[解析]　(1)f(x)的最小正周期为＝π.
∵(x0，y0)是最大值点，
令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，结合图象得x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈[－，－]，
所以2x＋∈[－，0]．
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.

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基础巩固
一、选择题
1．函数y＝|cosx|的周期为(　　)
A．2π B．π
C． D．
[答案]　B
[解析]　作出函数y＝|cosx|的简图，

由图象可知，函数y＝|cosx|的周期为π.
2．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)要得到函数g(x)＝cosx的图象，只需将f(x)＝cos(x－)的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
[答案]　D
[解析]　将f(x)＝cos(x－)的图象向左平移个单位长度得到g(x)＝cos[(x＋)－]＝cosx，故选D.
3．(2014·山东济南一中高一月考)函数y＝cos2x的图象(　　)
A．关于直线x＝－对称 B．关于直线x＝－对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
[答案]　B
[解析]　令2x＝kπ(k∈Z)，
则x＝，k∈Z.
当k＝－1时，x＝－，故选B.
4．已知函数y＝cos(ωx＋φ)在一个周期内如图所示．设其周期为T，则有(　　)

A．T＝，φ＝ B．T＝，φ＝
C．T＝3π，φ＝－ D．T＝3π，φ＝
[答案]　A
[解析]　＝－＝＝，T＝.
5．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象(　　)
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[答案]　C
[解析]　本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题．
∵y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋)，所以只须将y＝cos2x图象向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图象．注意图象平移是对“x”而言的．
6．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝，则f的值等于(　　)
A．1 B．
C．0 D．－
【答案】　B
【解析】　f＝f
＝f＝sin＝.
二、填空题
7．函数y＝的定义域为________．
[答案]　(－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
[解析]　由已知得，，
结合正、余弦函数图象可知，
－＋2kπ<x≤＋2kπ(k∈Z)．
8．(2014·江西九江外国语高一月考)函数f(x)＝cos(2x－)＋1的对称中心坐标为________．
[答案]　(＋，1)k∈Z
[解析]　令2x－＝＋kπ(k∈Z)，
则x＝＋，k∈Z.
故函数f(x)＝cos(2x－)＋1的对称中心坐标为(＋，1)k∈Z.
三、解答题
9．已知函数y＝a－bcosx的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4bsinax的最大值、最小值及最小正周期．
[解析]　－1≤cosx≤1，由题意知b≠0.
当b>0时，－b≤－bcosx≤b，
∴a－b≤a－bcosx≤a＋b.
∴，解得.
∴y＝－4bsinax＝－4sinx，
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π.
当b<0时，b≤－bcosx≤－b，
∴a＋b≤a－bcosx≤a－b.
∴，解得.
∴y＝－4bsinax＝4sinx，最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π.

能力提升
一、选择题
1．函数y＝lncosx(－<x<)的图象是(　　)

[答案]　A
[解析]　由y＝lncosx(－<x<)知y＝lncosx是偶函数，取x＝得y＝ln<0，故选A.
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则常数A、ω、φ、b的取值是(　　)

A．A＝6，ω＝，φ＝，b＝－2 B．A＝－4，ω＝，φ＝，b＝－2
C．A＝4，ω＝2，φ＝，b＝2 D．A＝4，ω＝，φ＝，b＝2
[答案]　D
[解析]　∵最大值与最小值的差＝6－(－2)＝8，
∴A＝4.又∵周期T＝－＝4π，
∴ω＝＝＝，且b＝＝2，
∴y＝4sin＋2.
由题意知A、B、C、D四个选项中φ都等于，故选D.
3．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx<0的解集为(　　)

A．∪(0,1)∪ B．∪(0,1)∪
C．∪(0,1)∪(1,3) D．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
[答案]　B
[解析]　f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f(x)<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)，当x∈(－π，π)时，cosx>0的解集为，cosx<0的解集为∪，故f(x)cosx<0的解集为∪(0,1)∪.
4．把函数y＝cos的图象向右平移φ个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　当φ＝时，得y＝cos
＝cos(π＋x)＝－cosx，所以图象关于y轴对称．
二、填空题
5．已知f(n)＝cos，n∈N*，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.
[答案]　－1
[解析]　因f(n)＝cos的周期T＝8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝cos＋cos＋cos＋cosπ＝－1.
6．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，在同一周期内当x＝时，ymax＝2；当x＝时，ymin＝－2，那么函数的解析式为________．
[答案]　y＝2sin
[解析]　∵＝－＝，∴T＝π，ω＝2，
又A＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)过点，
∴sin＝1，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)．
三、解答题
7．求函数y＝2cos(－4x)的单调区间、最大值及取得最大值时x的集合．
[解析]　y＝2cos(－4x)＝2cos(4x－)．
令－π＋2kπ≤4x－≤2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
令2kπ≤4x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴该函数的单调增区间是[－，＋](k∈Z)，
单调减区间是[＋，＋](k∈Z)．
当cos(4x－)＝1时，ymax＝2.
此时4x－＝2kπ，k∈Z，
∴x＝＋，k∈Z.
即函数取得最大值时x的集合是{x|x＝＋，k∈Z}，且最大值为2.
8．判断下列函数的奇偶性，并求它们的最小正周期．
(1)y＝3cos2x；
(2)y＝cos(x＋)．
[解析]　令f(x)＝3cos2x，
∴f(－x)＝3cos(－2x)＝3cos2x＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
最小正周期T＝π.
(2)令f(x)＝cos(x＋)＝sinx.
∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－f(x)，
∴函数y＝cos(x＋)是奇函数.
最小周期T＝＝.
9．设函数f(x)＝asin，g(x)＝bcos(a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，求这两个函数的解析式．
[解析]　函数f(x)的周期T1＝，函数g(x)的周期T2＝，
由已知T1＋T2＝，∴＋＝，∴k＝2.
又f＝g，则有
a·sin＝b·cos.
∴a＝b，即a＝b ①
又f＝－g－1，则有
a·sin＝－b·cos－1.
即a＝b－1， ②
由①②解得a＝b＝1.
所以f(x)＝sin，g(x)＝cos.

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