含绝对值一次方程的解法.doc

含绝对值一次方程及方程组的解法
一、绝对值的代数和几何意义。

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
用字母表示为
绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负
数。
根据绝对值的意义，我们可以得到：
当 > 0时 x =±
| x | = 当 = 0时 x = 0
当 < 0时 方程无解.

二、含绝对值的一次方程的解法
（1）形如型的绝对值方程的解法：
①当时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；
②当时，原方程变为，即，解得；
③当时，原方程变为或，解得或．
（2）形如型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围；
②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和；
③分别解方程和；
④将求得的解代入检验，舍去不合条件的解．
（3）形如型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或；
②分别解方程和．
（4）形如型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的几何意义可知；
②当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；当时，分两
种情况：①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为．
（5）形如型的绝对值方程的解法：
①找绝对值零点：令，得，令得；
②零点分段讨论：不妨设，将数轴分为三个区段，即①；②；③；
③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．
（6）形如型的绝对值方程的解法：
解法一：由内而外去绝对值符号：
按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．
解法二：由外而内去绝对值符号：
①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围；
②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程和
；
③解②中的两个绝对值方程．
三、热身练习：
1、 求下列方程的解：
（1）| x | = 7； （2）5 | x | = 10； （3）| x | = 0； （4）| x | = – 3； （5）| 3x | = 9

［例1］解方程 (1) (2)
解：| 1 – 2x | + 3 – 4 = 0 解：| 2x – 1 | = 3 + x ［x ≥ - 3］
| 1 – 2x | = 1 2x – 1 = 3 + x 或 2x – 1 = - (3 + x)
1 – 2x = 1或 1 – 2x = - 1 x 1 = 4 或 x 2 =
x 1 = 0 或 x 2 = 1
★当方程中只含有一个绝对值时，可将绝对值看作一个整体来求解，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，最终达到解方程的目的。
解含绝对值方程的总原则是设法去掉绝对值符号，化为一般方程。由绝对值的定义：

可知，本题解法中，是先设法确定未知数的取值范围，从而得到绝对值中部分的正、负取值，最终达到去绝对值符号的目的。

【小试牛刀】
1、| x – 2 | - 2 = 0 2、 3、4 – 2 | 5 – x | = 3x

〖 x 1 = 4，x 2 = 0 〗 〖 x 1 =，x 2 = 〗 〖 x 1 = - 6，x 2 =(舍) 〗

［例2］解方程 | x - | 2x + 1 | | = 3
解：x - | 2x + 1 | = 3 或 x - | 2x + 1 | = - 3
| 2x + 1 | = x – 3 ［x ≥ 3］ 或 | 2x + 1 | = x + 3 ［x ≥ - 3］
2x + 1 = x – 3 或 2x + 1 = - (x – 1) 或 2x + 1 = x + 3 或 2x + 1 = - (x + 3)
x 1 = - 4 (舍) x 2 = (舍) x 3 = 2 x 4 =
∴ 原方程的解为 x 1 = 2 ，x 2 =
【小试牛刀】
1、2 + | 3 - | x + 4 | | = 2x
〖 x 1 =(舍)，x 2 = 9 (舍)，x 3 = 3，x 4 =(舍) 〗
2、| | | x – 1 | - 1 | - 1 | - 1 = 0
〖 x 1 = 4，x 2 = - 2，x 3 = 2，x 4 = 0 〗

［例3］解方程| 3x – 2 | + | x + 1 | = 10
解：令3x – 2 = 0，x =；令x + 1 = 0，x = - 1
① 当x ＜ - 1时， ②当 – 1≤ x ＜时 ③当x ≥时
- (3x – 2) – (x + 1) = 10 - (3x – 2) + x + 1 = 10 3x – 2 + x + 1 = 10
- 3x + 2 – x – 1 = 10 - 3x + 2 + x + 1 = 10 3x + x = 10 + 2 – 1
- 3x – x = 10 – 2 + 1 - 3x + x = 10 – 2 – 1 4x = 11
- 4x = 9 - 2x = 7 ∴ x =
∴ x = ∴ x = (舍)
∴原方程的解为x 1 =，x 2 =
★由于零是正、负的分界点，因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应注意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内，从而确定它是否是原方程真正的解。

【小试牛刀】
1、| x – 4 | - | x + 3 | = 2
〖 x = 〗
2、15 + | 2x + 3 | - 2 | 2 – 3x | = 0
〖 x 1 = - 2，x 2 = 〗
3、| x – 2 | - 3 | x + 1| = 2x – 9
〖 x = 〗

［思考］
1、已知ab < 0，且| a | = 2，| b | = 7，求 a + b的值
解：∵| a | = 2，∴a = ±2， ∵| b | = 7，∴b = ±7
又 ∵ab < 0， ∴a、b异号
∴a + b =
答：a + b = - 5 或 a + b = 5
2、已知 | 3x – 2 | + | 2y + 3 | = 0，求 | x + y + 1 |的值
解：∵ | 3x – 2 | + | 2y + 3 | = 0
∴ ∴
∴| x + y + 1 | = | | = =
3、已知 abc > 0，求的值
解：∵abc > 0
∴a、b、c为三正或二负一正
① 当a > 0，b > 0，c > 0时
原式 = = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
② 不访设 a < 0，b < 0，c > 0
原式 = = - 1 – 1 + 1 + 1 – 1 – 1 + 1 = - 1
4、已知：| a | = a + 1，| x | = 2ax，求 | x – 1 | - | x + 1 | + 2的最小值与最大值
解：∵ | a | = a + 1
∴ a = a + 1 或 a = - (a + 1)
∴ x = 1 (无解) 或 a =
又 ∵ | x | = 2ax
∴ | x | = - x，∴x ≤ 0
令 x – 1 = 0，x = 1，令 x + 1 = 0，x = - 1
① 当 x ≤ - 1时
| x – 1 | - | x + 1 | + 2 = - (x – 1) + (x + 1) + 2
= - x + 1 + 4 + 1 + 2
= 4
② 当 – 1＜ x ≤ 0时
| x – 1 | - | x + 1 | + 2 = - (x – 1) – (x + 1) + 2
= - x + 1 – x – 1 + 2
= -2x + 2 =
答：| x – 1 | - | x + 1 | + 2的最大值为4，最小值为2

［例4］解方程组
家庭作业：
三、练习题
1.解方程

2.方程的解为 ．

3.解方程

4.解方程

5.为有理数，，求的值．

6.解方程

7.解方程：

8.解方程：