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绝对值知识点及练习
1、定义：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作｜a｜,读作“绝对值a”。
（2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 实​‌‌数a的绝对值是：|a|
　　①a为正数时，|a|=a(不变)
　　②a为0时， |a|=0
　　③a为负数时，|a|= -a(为a的绝对值)
　　任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。
2、实数的绝对值具有以下性质：
　　(1)|a|大于等于0(实数的绝对值是非负实数);
　　(2)|-a|=|a|(互为相反数的两实数绝对值相等);
　　(3)-|a|小于等于a小于等于|a|;
　　(4)|a|>b可以推出a<-b或a>b，a<-b或a>b可以推出|a|>b;
　　(5)|a·b|=|a|·|b|;
　　(6)|a|/|b|=|a/b|(b≠0);
　　(7)|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当a、b同号时，等式成立;
　　(8)|a-b|大于等于||a|-|b||，当且仅当a、b同号时，等式成立;
　　(9)a属于R时，|a|的平方等于|a|的平方。
特别提醒：（1）绝对值具有非负性，即|a|≥0；
（2）绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数；
（3）0是绝对值最小的有理数。
3、利用绝对值比较大小
(1)利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
比较的具体步骤：
①先求两个负数的绝对值；
②比较绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．
(2)几个有 理数的大小比 较
①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．
②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．
4、利用绝对值解决实际问题
绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：
(1)判断物体或产品质量的好坏
可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．
方法：
①求每个数的绝对值；
②比较所求绝对值的大小；
③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．
(2)利用绝对值求距离
路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．
方法：
①求每个数的绝对值；
②求所有数的绝对值的和；
③写出答案．
5、去绝对值符号的几种常用方法：
（1）利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义，即||=，有||<；||>
（2）利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化||<或||>(>0)来解，如||>(>0)可为>或<－；||<可化为－<+<，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“≤||≤≤≤或－≤≤－”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
（3）利用平方法去掉绝对值符号
对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用||=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
(4)利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法，是指：若数，，……，分别使含有|－|，|－|，……，|－|的代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值的零点，零点，，……，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
(5)利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于或(为正常数)类型不等式。对(或<)，当||≠||时一般不用。
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，︱a︱=a (性质1，正数的绝对值是它本身) ；
当a=0 时︱a︱=0 (性质2，0的绝对值是0) ；
当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3，负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
我们只要把a+b看作是一个整体，判断出a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号，正确进行化简。
当a+b>0时，︱a+b︱=a +b(性质1，正数的绝对值是它本身) ；
当a+b=0 时，︱a+b︱=0 (性质2，0的绝对值是0) ；
当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3，负数的绝对值是它的相反数)
3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样，按上面的方法，我们仍然把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号。
但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b.请记住口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边，便可得到︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b。
5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算
   万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。
练习
一、选择
1、绝对值为4的有理数是（ ）A. ±4 B. 4 C. -4 D. 2
2、两个数的绝对值相等，那么（ ）A.这两个数一定是互为相反数；B.这两个数一定相等；
C.这两个数一定是互为相反数或相等；D.这两个数没有一定的关系
3、绝对值小于4的整数有（ ）A.3个 B.5个 C.7个 D.8个
4、绝对值与相反数都是它的本身（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.不存在
5、若m为有理数，且 那么m是（ ）　A.非整数 B.非负数 C.负数 D.不为零的数
6、下列说法中，错误的是（      ）
A、一个数的绝对值一定是正数     B、互为相反数的两个数的绝对值相等
C、绝对值最小的数是0            D、绝对值等于它本身的数是非负数
7、下列结论中，正确的有（      ）
①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数，绝对值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上，右边的数总大于左边的数.
A、2个   B、3个   C、4个   D、5个
8、一个数的绝对值是它本身，那么这个数是（    ）
（A）正数    （B）正数或零     （C）零           （D）有理数
9、如果一个数的绝对值是5.2，那么这个数是（    ）
（A）5.2     （B）－5.2       （C）5.2或－5.2   （D）以上都不对
10、任何有理数的绝对值都是（    ）
（A）正数     （B）负数       （C）有理数        （D）正数或零
11、在－（－8），|－1|，－|0|，－0 .0001这四个有理数中，负数共有（    ）
（A）4个     （B）3个       （C）2个      （D）1个
12、在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是（    ）
（A）－8     （B）2       （C）－8和2     （D）1
13、9与－1 3的绝对值的和是（    ）
（A）22     （B）－4      （C）4       （D）－22
14、数－|－3 |的相反数是（    ）
（A）－3    （B）       （C）3       （D）3
15、设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则 a + b + c 等于   （       ）A  －1   B  0    C    1        D  2
二、填空
（1）正数的绝对值是____，负 数的绝对值是_____，零的绝对值是_____，绝对值等于1 的有理数是____________．
（2）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的_______．
（3）49是___ ___的相反数，它是______的绝对值．
（4）|－5|的相反数是________．
（5）如果一个数的绝对值等于 那么这个数是___________．
（6）绝 对值小于3.14的所有整数是________．
（7）-3的绝对值是_______，绝对值是3的数是________.
（8）一个数a在数轴上的对应点在原点的左侧，且 ，则︱a︱=__________.
（9）绝对值最小的数是_____；最大的负整数是_____．
（10）绝对值小于3的所有自然数是____．
（11）一个有理数的相反数小于原数，这个数是____．
(12)已知︱x︱－︱y︱=2，且y =－4，则 x = ____。
(13)已知︱x︱=2 ，︱y︱=3，则x +y = ____。
(14)已知 ︱x +1 ︱与 ︱y －2︱互为相反数，则︱x ︱+︱y︱= ____。
(15)　式子︱x +1 ︱的最小值是   ，这时，x值为____。
三、拓展提高：
1．如果a ， b互为相反数，c, d 互为倒数，m 的绝对值为2，求式子a+b+ m－cd 的值。
 2、．某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A地出发，（去向东的方向正方向），到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞）
 +10 ，— 5， —15 ，+ 30 ，—20 ，—16 ，+ 14
（1） 若该车每百公里耗油 3 L ，则这车今天共耗油 多少升？
（2） 据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在A地的什么方向？距A地多远？