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对口高考数学知识点总结
对口高考河北方向数学应知应会
一、代 数
一、常用数集的符号表示：
数集
自然
数集
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
非零实数集合
正实
数集
非负实
数集合
符号
N
N*
(或N＋)
Z
Q
R
R*
R+
R+
二、集合与集合间的包含关系：

三、集合的基本运算：

四、充要条件：
在判断充分条件与必要条件时，需注意条件与结论对应的方向。即若p是q的充分条件，则p⇒q；若p是q的必要条件，则q⇒p；若p是q的充要条件，则p⇒q并且q⇒p，也可q⇔p。
五、比较两个实数大小的法则：
若a，b∈R，则(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0.
六、不等式的基本性质：
(1)a＞b⇔b＜a；对称性 (2)a＞b，b＞c⇒a＞c；传递性
(3)a＞b⇔a＋c＞b＋c；可加性
*(4)a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc；可乘性
七、不等式的其他常用性质：
(1)a+b＞c⇒a＞c-b；移项； (2)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；同向可加性；
(3)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；同向同正可乘性；
(4)a＞b＞0⇒an＞bn (n∈，且n≥2)；乘方性
(5)a＞b＞0⇒＞(n∈N，且n≥2) ；开方性
(6)a＞b且ab＞0⇒ 倒数性

八、利用一元二次函数的性质解一元二次不等式：
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
方程
ax2＋bx＋c＝0
有两不等实根
x1和x2，且x1＜x2
有两相等实根
x1＝x2
无实根
一元二次函数
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像

不等式
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1，或x＞x2}
{x|x≠－}

R
不等式
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
九、函数的定义：
设A、B非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
十、函数的单调性：
函数单调性
增函数
减函数
图像

描述

定

义
前提
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间（a，b）上的任意自变量x1，x2
核心
实质
当x1<x2时，都有f(x1)< f(x2) ，
那么就说函数f(x) 在区间(a，b)是曾函数。
  当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2) ，
那么就说函数f(x) 在区间(a，b)是减函数。
单调
区间
  区间（a，b）叫做函数f(x)的
曾区间。
区间（a，b）叫做函数f(x)的
减区间。
十一、函数的奇偶性：
函数奇偶性
偶函数
奇函数
图像

描述

定

义
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果对于任意的x∈I，都有-x∈I，
核心
实质
并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
  并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
定义域具备性质
函数奇偶性是函数在整个定义域内的性质，不可用区间分开。定义域必须关于原点对称。
十二、函数图象的变换：
(1)平移变换：
①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图像，可由y＝f(x)的图像向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．
②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图像，可由y＝f(x)的图像向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．
(2)对称变换：
①y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称．
②y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于x轴对称．
③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．
④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
⑤要得到y＝|f(x)|的图像，可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．
⑥要得到y＝f(|x|)的图像，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图像关于y轴的对称性，作出x＜0的图像．
(3)伸缩变换：
①y＝Af(x)(A＞0)的图像，可将y＝f(x)图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．
②y＝f(ax)(a＞0)的图像，可将y＝f(x)图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到．
十三、指数幂的转化：

十四、指数式和对数式的互化：设a＞0，且a≠1，N＞0，
十五、对数的性质与运算法则：
(1)对数的基本性质：设a＞0，且a≠1则
①零和负数没有对数，即：N ＞0 ②1的对数等于0，即loga1=0；lg1=1,ln1=1
③底数的对数等于1，即logaa=1, lg10=1, lne=1
④两个重要的恒等式：alogaN＝N；logaaN＝N．
(2)对数的运算法则：设a＞0，且a≠1则，对于任意正实数M、N以与任意实数P、m(m≠0)、n，都有
①loga(M·N)=logaM+logaN ②loga =logaMlogaN
③logaM P=PlogaM ④loga ＝ logaN ⑤logaM n＝logaM ⑥lg2+lg5=1
(3)换底公式：
logbN＝ (a＞0且a≠1；b＞0且b≠1)；
①logab＝ (a，b均大于零，且不等于1)；
②推广logab · logbc · logcd＝logad (a、b、c均大于零，且不等于1；d大于0).
十六、Sn与an的关系：

十七、等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 或an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．
十八、等差中项：如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．
十九、等差数列的常用性质：
(1)若{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，(m，n ，p，q∈N*)则有am＋an= ap＋aq .特殊情况，当m＋n=2p有am+an ＝2ap,其中ap是am与an 的等差中项
(2)有穷数列中，与首末两端距离相等的两项和相等，并等于首末两项之和，若项数为奇数，则等于中间项的2倍，即a2+an-1= a3+an-2 =……= ap+an-p+1 = a1+an = 2
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(5)若（），则{an}是等差数列，其中k为公差
(6) 若公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列。
二十、等差数列的前n项和公式：Sn＝，或Sn＝na1＋d .
注意：若 Sn＝()，则{an}是等差数列，其中2p为公差
二十一、等差数列前n项和性质：项数为偶数的等差数列中，S偶-S奇=；
项数为奇数项的等差数列中S奇-S偶=中间项.
二十二、等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1或 an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
二十三、等比中项：若G2＝a·b，则G叫做a与b的等比中项,.
二十四、等比数列的常用性质：
(1)若{an}为等比数列，且m＋n=p＋q (m，n ，p，q∈N*)，则有am·an ＝ap·aq．特殊情况，当m＋n=2p时，有am·an ＝ap2.
(2)在有穷等比数列中，与首末两端距离相等的两项积相等，并等于首末两项之积，若该数列的项数为奇数，则等于中间项的平方，即a2·an-1= a3·an-2 =……= ap·an-p+1 = a1·an =
(3)在等不数列中，连续n项的积构成的新数列，仍是等比数列。
(4)等比数列的前n项和公式：
当q＝1时，Sn＝n； 当q≠1时， .
二十五、等比数列前n项和的性质：若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列。
二、三角函数
一、终边相同角集合：{β|β=α＋k·360°(k∈Z)}或{β|β=α＋2kπ(k∈Z)}
①终边在x轴上的角的集合{β|β= k·180°(k∈Z)} 或{β|β= kπ(k∈Z)}
②终边在y轴上角 {β|β= 900+k·180°(k∈Z)} 或{β|β= +kπ(k∈Z)}
③第一象限上所有角组成的集合{α|k·360°＜α＜ 900+k·360°(k∈Z)}
④第二象限上所有角的集合{α|900+k·360°＜α＜ 1800+k·360°(k∈Z)}
⑤第三象限上所有角的集合{α|1800+k·360°＜α＜ 2700+k·360°(k∈Z)}
⑥第四象限上所有角的集合{α|2700+k·360°＜α＜(k+1)·360°(k∈Z)}
⑦“锐角”形成的集合：表示为{α|0°＜α＜ 900}
⑧“小于900的角”形成的集合：表示{α|α＜ 900}
二、弧度制与相关公式：
①在半径为r的圆中，长度为l的圆弧对圆心角α的大小是弧度。即|α|＝(rad)。②弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2
③角度弧度互换：
三、任意角的三角函数定义：设α是平面直角坐标系中一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为 (r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别定义为 sinα＝，cosα＝，tanα＝，
四、一些特殊角的三角函数值对照表：

0

0

1

0

0

1

0

0
1

0

1

不存在

0
不存在
0
五、同角三角函数的基本关系式与重要变形：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. α∈R
(2)商数关系：＝tanα. α≠
(3)常用的变形公式： sin2 ＋cos2 ＝1，sin2 ＋cos2 ＝1
(sinα±cosα)2＝1±2 sinα·cosα
(4)
六、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限。”
α＋k·2π(k∈Z)、－α、π±α、±α可以归结为k·±α(k∈Z)，其中k为奇数，函数名变为其余名函数；k为偶数，函数名不改变。符号取原来函数值的符号，符号符合三角函数值的符号规律。
第一组：sin (α＋k·2π)= sinα ，cos(α＋k·2π)= cosα ，tan(α＋k·2π)= tanα ；
第二组：sin(π－α)＝sinα ，cos(π－α)＝－cosα ，tan(π－α)＝－tanα ；
第三组：sin(π+α)＝－sinα ，cos(π+α)＝－cosα ，tan(π+α)＝tanα ；
第四组：sin (－α)= －sinα ，cos(－α)= cosα ，tan(－α)=－tanα ；
第五组：sin( )=cosα ， cos( )=sinα
第六组：sin( )=cosα ， cos( )=－sinα
第七组：sin( )=－cosα ， cos( )=－sinα
第八组：sin( )=－cosα ， cos( )= sinα
七、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ　 sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ　
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ　 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ　
tan(α－β)＝　 tan(α＋β)＝　
八、二倍角公式与其变形公式:
sin2α＝2sinαcosα ， cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α ，
tan2α＝ ；sinα＝2sincos，，
变形公式：
九、辅助角公式：
函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，
或f(α)＝cos(α－φ)，其中 ， ， ， 所在象限由a、b的符号确定。
十、三角函数与其图象：
y＝sinx在[0,2π]图像，描出五个关键点(0,0)、、(π，0)、、(2π，0）
y＝cos在[0,2π]图像，描出五个关键点(0,1)、、(π，-1)、 (2π，1)．

十一、利用函数y＝sinx的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像：
方法一：

十二、正弦定理：＝＝＝2R，R是△ABC外接圆半径
① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。；
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝，sinB＝，sinC＝ ，
③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA。
十三、余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.
求角公式：cosA＝ cosB＝ cosC＝
①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
十四、已知a，b和A解三角形：

A为锐角
A为钝角或直角
图形

关系
a＜bsinA
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解
无解
一解
两解
一解
一解
无解

三、解析几何
一、线段中点坐标公式：

二、两点间距离公式：，

三、斜率计算公式：

四、直线方程： （A,B不全为0）

五、平行线、垂直线系方程

六、点到直线的距离、平行线间距离公式

七、两直线的夹角公式：
八、圆的一般方程，标准方程，过圆上一点圆的切线方程
()圆心（）半径

九、椭圆的标准方程

（1）通径：；（2）；（3），特殊地时
（4）特殊地时，（5）
十、双曲线的标准方程

（1）通径：；（2）；（3），特殊地时
（4）特殊地时，（5）

十一、抛物线的标准方程

（1）通径：2p （2）开口向右的焦点弦长公式：
（3）两个直角的结论（自己补上）
重点：圆锥曲线的弦长公式

四、立体几何
一、几个比较常用的结论：
1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
2、过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直.
3、过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
4、过直线外一点有无数多个平面与已知直线平行.
5、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
6、过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直.
7、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面.
8、垂直于同一条直线的两个平面平行.
9、垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以是：平行或相交.
10、平行于同一个平面的两个平面平行，平行于同一条直线的两条直线平行.
11、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面.
12、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另外一个.
13、夹在两个平行平面内的两条平行线段相等.
14、过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.
15、两条直线被三个平行平面所截，截得的线段成比例.
二、易错易混概念与部分结论：
1、两条直线的夹角范围是__________.
2、两条异面直线的夹角范围是_________.
3、直线与平面所成角的范围是________.
4、斜线与平面所成角的范围是________.
说明：
（1）斜线与平面所成的角实际上是斜线与其在平面内的射影所成的角.
（2）斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.
（3）直线m与某平面平行，则直线m与该平面的距离就是直线m上任一点到平面的距离.
三、二面角概念与部分结论：
二面角的平面角的找法：过棱上一点，分别在二面角的两
个平面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角
叫做二面角的平面角。.

（1）做出二面角的平面角时要注意：顶点必须在棱上，两条射线必须分别在两个平面内，
且都与棱垂直，二面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关，
因此，常选用棱上特殊的点作为平面角的顶点，如：端点或者中点是经常找得位置.

P
A
B
O

四、证明平行、垂直的定理
（一）线线平行
①公理4：_____________________________
②在三角形中有中点时，要构造_________________
③在平行四边形中通过证明一组对边平行且相等，得出_________________
④线面垂直的性质定理：若，则________
⑤线面平行的性质定理：若，则_________
⑥面面平行的性质定理：若，则_______
(二)线面平行
①线面平行的判定定理：若，则_______
②面面平行的性质定理：若，则_______
(三)面面平行
①面面平行的判定定理：若，则________
②推论1：若则________
③推论2：若是异面直线，，则_________
④传递性：若，则________
(四)线线垂直
①线面垂直的定义：若，则______
②若，则_____
③三垂线定理：若，则________
④三垂线逆定理：若，则________
(五)线面平行
①线面垂直的判定定理：若，则________
②面面垂直的性质定理：若，则__________
③若，则__________
④若，则_________
(六)面面垂直
①面面垂直的判定定理：若，则________
②定义法：证明二面角的平面角是直角，就可以得出二面角的两个半平面垂直
五、线面的位置关系
1、两条直线的位置关系：_____________________________________
2、直线与平面的位置关系：_____________________________________
3、平面与平面的位置关系：______________________________________
六、常见定理与结论
1、平面的基本性质
①
②
③
推论①
推论②
推论③
2、射影长定理：若，则_________
3、最小角定理：PA为的一条斜线，,,是PA与内所有直线所成的角中的最小角。
4、角平分线定理：
（1）若P为外的一点，,,则点P在内的射影O在的角平分线上。
P
B
C
A
（2）若P为外的一点，,点P到的两边AB,AC的距离相等，即PM=PN ,则点P在内的射影O在的角平分线上。
5、三面角余弦定理

6、正方体的结论：如图
①若其棱长为a,则正方体的对角线长为______
②正方体的体对角线与和它异面的面对角线的夹角为___（ ）
③正方体的面对角线的夹角：与AD1 ___,与____，与____
7、正四面体（各棱长都相等，各面是全等的正三角形）如图
①相对棱互相垂直__________________________________
②相对棱的中点连成的线段的长为这两条相对棱之间的距离
③顶点在底面的射影为底面三角形的中心
④PA,AB,BC,CP中点连成的四边形是______
备注：正三棱锥的结论是__________
8、三棱锥的常见结论
①两个外心的结论
❶若三条侧棱相等（PA=PB=PC）则顶点P在底面ABC内的射影O为ABC的外心
❷若三条侧棱与底面ABC所成的角相等（）,则顶点P在底面ABC内的射影O为ABC的外心
特殊地：<1>若ABC为正三角形，则该射影为ABC___心。
<2>若ABC为直角三角形，则该射影为ABC___心。
②两个内心的结论
❶若三棱锥的顶点P到底面ABC的三边的距离相等，则顶点P在底面ABC内的射影O为ABC的内心
❷若三条侧棱与底面ABC所成的角相等（）,则顶点P在底面ABC内的射影O为ABC的外心
③三个垂心的结论
❶若三条侧棱两两垂直，则顶点P在底面ABC内的射影O为ABC的垂心
❷若三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC内的射影O为ABC的垂心
❸若三棱锥只有两组相对棱互相垂直，则顶点P在底面ABC内的射影O为ABC的垂心，且另一组相对棱也互相垂直。
五、概率
一、两个基本的计数原理：
（1）分类计数原理——加法原理：如果完成一件事，有n类方式，N=K1+K2+……+Kn种不同的方法。
（2）分步计数原理——乘法原理：如果完成一件事，需要分成n个步骤，N=K1·K2· …… ·Kn种不同的方法。
二、排列数公式： 其中m 、n∈N* (m≤n)
说明：①排列数公式中，当m=n时，有
②由1到n的正整数的连乘积，叫做n的阶乘，记作n! 即

③排列数公式中，当m＜n时，排列数公式还可以写成
三、组合数公式： 其中m n∈N* (m≤n).
说明：①由于 还可以写作
②规定：
四、组合数的性质公式：
五、二项式定理：
①
②二项式通项公式：　　　　　　　　（第m+1项）
③展开式共n+1项，各项的二项式系数为：
④各项二项式系数和：
⑤奇数项与偶数项的二项式系数和相等都为
⑥在二项式展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等
⑦有关系数：例 已知
❶各项系数和：_______
❷常数项：_________
❸奇数项的系数和：______
❹偶数项的系数和：______
六、事件与概率
事件间的关系
事件间的运算
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
  A与

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