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数形结合在高考解题中的应用
数形结合在高考解题中的应用

摘 要： 数学中两大研究对象“形”及“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数及形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。
数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。
在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数及形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。
其基本模型有：
1、 距离函数
2、 斜率函数
3、Ax＋By 截距函数
4、
5、
6、 双曲线

a．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数及形之间的对应关系，通过数及形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性及灵活性的有机结合。
b．实现数形结合，常及以下内容有关：①实数及数轴上的点的对应关系；②函数及图象的对应关系；③曲线及方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

c．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算及推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
关键词： 数形结合；斜率；单位圆；向量；函数；方程；几何模型；导数；复数
一：数形结合思想在解决集合问题中的应用．
1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如：
例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？
C（化）
A（数）
B（理）
分析：我们可用圆A、B、C分别表示
参加数理化小组的人数（如右图），则三圆
的公共部分正好表示同时参加数理化小组
的人数．用n表示集合的元素，则有：

即：
∴，即同时参加数理化小组的有1人．
例2、设，已知
I
A∩B
3,5,7
2
A
B
1,9
4,6,8
求
分析：如图，用长方形表示全集I，
用圆分别表示集合A和B，用n表示集合
的元素，则有：
从韦恩图我们可以直观地看出：．
2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．
例3、设
。
·
－4
－２
０
１
２
４
３
。
·
求
分析:分别先确定集合A，B的元素，
，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案：
(公共部分)
(整个数轴都被覆盖)
(除去重合部分剩下的区域)
(除去覆盖部分剩下的区域)
例4、已知集合
⑴若，求的范围.⑵若，求的范围．
。
a
３a
。
－１
3
①
分析：先在数轴上表示出集合A的范围，
要使，由包含于的关系可知集合B应该
。
。
－１
３
a
3a
②
覆盖集合A，从而有:,这时的值不可能存在．要使，这时集合应该覆盖集合B,应有成立．
可解得为所求的范围．

二：方程、函数中数形结合问题
作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题,引入坐标系或寻找其数量关系式,用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题,分析其几何意义,借助形的直观来解。
（1） “数”中思“形”
例1.如果实数满足等式，那么的最大值是什么？
例1、 解：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点及原点连线的斜率。当及⊙相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为 =， =，所以 ==，所以 = =。
例2. 求函数的最小值。
分析：
的值是动点到两个定点A(0,2)及B(-1,0)的距离之和。由图知（图略），当且仅当P及B重合（即x=-1）时，

推广：若把动点P的活动范围从x轴上放宽到整个坐标平面，就可解下面的
思考题：求函数的最小值。
请读者不妨一试。
例3.解方程　　　

（2）“形”中觅“数”
例1.求方程的解的个数。
分析：此方程解的个数为的图象及的图象的交点个数。
因为,
所以
在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。

例2.设复数满足=π ,求的最大值。
解：要求的最大值，即求的最小值，由复数模的几何意义知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值。如图
∵满足=π
∴复数对应的复平面上的点的轨迹是以为端点，倾斜角为的射线。由图可知，最小值为 ==,故的最大值是=。
例3、对每个实数中的最小值，那么的最大值是（ ）。

分析：如图，函数的图像是图中的实线，联立，
解得：，故本题应选A。

在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点：
　1.　善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。
　　 2. 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。
3. 切实把握“数”及“形”的对应关系，以图识性，以性识图。
三：利用数形结合法解不等式问题说明
近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。下面列举六例说明。

1. 数形对照，相互渗透
例1. 使不等式有解的实数a的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
分析：表示数轴上x所对应的点到及4、3所对应的两点距离之和。由图1可得其和最小值为1，故选D。

图1

例2. 已知，欲使不等式恒成立，求实数c的取值范围。
分析：欲使恒成立，
即 恒成立，
故 。
于是问题转化为求
知，当直线

图2
故 。

2. 由数想形，直观显现
例3. 解不等式。
分析：设，
，
由得：

因为2为半径，在x轴上方的半圆，表示过原点斜率为1在第一象限的直线，如图3，由题意转化要求半圆（圆弧）应在直线的下方，可得，

图3
故原不等式的解集是（2，4]

例4. 求使不等式成立的x的取值范围。
（03年全国高考题14）
解：，

因为 的图象及函数图象关于y轴对称，的图象是一条过点（0，1）的直线
由图4可得

图4

例5. 已知且，都有实根，求的取值范围。
解：依题意得

即 （*）
则满足（*）的点（a，b）在图5所示的阴影区域内。

图5
设，则所表示的直线系中，过点A（4，2）的直线在b轴上的截距即为满足（*）的z的最小值。
所以
故

3. 由数构形，抽象变形象
例6. 设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
（04年湖南高考题12）
解：设，
因为 当时，

所以 上是增函数
因为 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以 为奇函数
又
所以
又 是奇函数，所以

故
根据以上特点，不妨构造如图6所示的符合题意的函数F（x）的图象，由图直接观察出所求解集是

图6
故选D。
由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识注意数形结合思想方法的渗透。
四 ：立体几何问题
构建立体几何模型，研究代数问题，研究图形的形状、位置关系、性质等
【典例7】若三棱锥A-BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离及到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹及ΔABC组成的图形可能是 （ ）

分析：此题将立体几何及解析几何巧妙结合，是对过去分离考核的创新。可先考虑特殊图形，当AC⊥平面BCD时，如图1，将问题转化为P到AB的距离和BC距离相等的点的轨迹，显然P点轨迹是∠ABC的平分线。

当AC不垂直平面BCD时如图（2）的P到平面DBC和边BC的距离分别为h，dBC,设A-BC-D的大小为，故选D.
误点警示：解决此类问题，关键要善于利用空间几何性质，将问题转化到平面几何中，再利用平面几何的相关性质就比较容易解决.
【变式训练】

6.如图，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE边长为α的正三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，EC和平面ABCD成30°角．
（Ⅰ）求EA、CD所成的角；
（Ⅱ）求二面角E-FC-D的大小；
（Ⅲ）求D到平面EFC的距离．

五 ：解析几何问题
灵活运用解析几何中的图象性质及方程、不等式间的数形转化
【典例8】若双曲线及曲线有且只有一个公共点，则实数的取值集合中的元素个数为_________.
分析：由于说明表示过点A（2，1）的直线的斜率.（注意：这条直线上应除去横坐标为1的点）本题的含义是：过A且及及双曲线有且只有一个公共点的直线有几条？

【解析】有数去配形.如图1，过A且平行于双曲线渐近线的直线及双曲线有且只有一个公共点，这样的直线有两条.过A作双曲线的切线，如图2，这样的直线也有两条.：由于直线，而直线及双曲线交于B、C两点，所以就本题而言，双曲线上是应当去掉B、C两点的，这样，过A且及双曲线有且只有一个公共点的直线还有AB、AC两条.
【变式训练】
7.设k>1,f(x)=k(x－1)(x∈R).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象及x轴交于A点，它的反函数y=f－1(x)的图象及y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( )
A.3 B. C. D.
六：利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题．
在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像．如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题,简便易行．
0
x
y

P

例1、解不等式．
分析：因为正弦线在单位圆中
是用方向平行于轴的有向线段来
表示．我们先在轴上取一点P，使
，恰好表示角的正弦线,
过点P作轴的平行线交单位圆于点,
在内，分别对应于角，(这时所对应的正弦值恰好为)．而要求的解集，只需将弦向上平移，使重合(也即点P向上平移至及单位圆交点处)．这样所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：．
例2、解不等式
0
x

P

y
分析：根据余弦线在单位圆中是
方向平行于轴的有向线段．先在轴
上取点P，使，恰好表示角的余
弦线，过点P作轴的平行线
交单位圆于点，在内，
分别对应于角， (这时所对应的余弦值恰好为)．而要求的解集，只需将弦向右平移，使重合(也即点P向右平移至及单位圆交点处)．这样所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：．

七：总结
1．方法及技巧
（1）.数形结合的本质是：数量关系决定了几何图形的性质；几何图形的性质反映了数量关系。因而要彻底明白一些概念及运算的几何意义以及曲线的代数特征；用恰当用参，合理用参，建立关系，做好转化.
（2）.数形结合思想包括了“以形助数”及“以数解形”两方面内容，千万不要以为数形结合就是画图解题，方便迅速，这一方面的的内容，我们有许多及图形有关内容，我们有许多及图形有关内容也需要通过准确的计算来解决，在高考中，以数解形问题近几年有所增加。例如解析几何就是将几何问题代数化，通过计算来研究几何问题，通过方程来研究图形的特征。又如，有些问题数形结合反而繁琐，通过计算反而准确迅速.
例：已知，则所在的象限是_________.
分析：该题可用画单位圆的来解决，但比较麻烦，不如利用cos
,,知θ在第三象限来得迅速.
（3）.“以形助数”确实有着奇特功效，但运算的基本功千万不能忽视，不少题目“以形助数”并不能完全解决问题，还要通过必要的计算，才能彻底解决问题.
（4）.数形结合的方法有时会由于画图的不准确而导致一些错误，如一道常见的经典错题
例：已知0<a<1，则方程的实根个数为：
A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个
常见的方法是画出的图象
易知图象只有两个交点故方程有2个实根故选（B）
这种解法是错误的，举反例如下：
当a=时,的图象的交点是.
均适合y=.
又由于y=互为反函数，故有一交点在直线y=x上，y=的图象分别及y=的图象相同，故也有一交点在直线y=x上，另外由图知两者有一交点横坐标在x=1右侧，故a=时，方程有四个实根，其中在上有三上交点，是由于图象无法画得很准而误认为在上只有一个交点，因而数形结合的方法不是万能的.
总之，由于数形结合的思想在高考中考查的比重很大，因而要花大力气，循序渐进地使学生建立数形结合的对应转化和应用，既要借助形的直观性来阐明数之间的关系，也要借助于数的精确性来阐明形的某些属性，使学生抓住数形结合本质，在解题自觉地运用数形结合的思想，以提高解题的能力和速度.
2．解题注意点
使用数形结合解题时应注意的几个问题
（1）由数思形应注意“形”是否存在；
（2）数形转换要等价；
（3）数形转换可连续使用；
（4）数形转换要能够简捷解题；
（5）数形转换方法有时不唯一，应该寻求简便的方法；
（6）不要被不正确的图形或特殊的位置的图形扰乱了思维；
（7）不能用图形的直观完全代替严密的推理；
（8）应遵循“数形结合，全面分析，扬长避短，发挥优势”的原则。
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