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<p><span id="_baidu_bookmark_start_0" style="display: none; line-height: 0px;"></span>第一章 量子力学的诞生1.1设质量为加的粒子在谐振子势忆(x)=-mco2x2中运动，用量子化条件求粒子能量少的可能取值。2提示：利用 个 p.dx=nh,=1,2,，p-y/2mE-V(x)解：能量为的粒子在谐振子势中的活动范围为|x|a(1)其中由下式决定：E=V(x)=mco2a22由此得 a=d2E1 m2(2)x=a即为粒子运动的转折点。有量子化条件 C/A 2 2 c/2 2 2 兀 2y p dx=2 J2m(E m co x)dx 2m co ya x dx=2m coa =mcona nh-a-a/口?nh 2hn/、得，=-=(3)mcoji mco代入(2),解出En=n九，及=1,2,3,(4)_ _ 2积分公式：V2-u2 du-a2-u2+arcsin +cJ 2 2 a1.2设粒子限制在长、宽、高分别为生儿。的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于X方向，有Pxdx=nji，(%=1,2,3,)px-2a=nxh(2a：一来一回为一个周期)即px=nxh/la,同理可得,p=n h 12b.r y y，pz-nzh/2c,nx.n nA y=123,粒子能量1 2+21 9 7?TC TlE=-(p+p+)=-/A/2mxy z 2m(2 2 2、nx ny nz+2,2 2a b c7nx,ny,nz=1,2,3L1.3设一个平面转子的转动惯量为/,求能量的可能取值。万提小：利用J。p=nh,=1,2,，夕是平面转子的角动量。转子的能量石二4;/2/o解：平面转子的转角(角位移)记为。它的角动量外=/0(广义动量)，夕。是运动惯量。按量子化条件Pcpdx=2几 p9=mh.m=1,2,3,一4=相，因而平面转子的能量Em=p；121=m2h2 72/,m=1,2,3,1.4 有一带电荷e质量机的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设圆半径是小线速度是V,用高斯制单 位，洛伦兹与向心力平衡条件是：Bev mv2(1)c r又利用量子化条件，令p=电荷角动量q=转角0J pdq=J mrvdcp=27rmyv=nh(2)即 mrv=nh由(1)(2)求得电荷动能用y2=生处2 2 me再求运动电荷在磁场中的磁势能，按电磁学通电导体在磁场中的势能磁矩*场强电流*线圈面积*场强 ev*疗之*ccC0#是电荷的旋转频率，=二,代入前式得 271r运动电荷的磁势能=丝处（符号是正的）2mc点电荷的总能量=动能+磁势能=E=坐处（n=1,2,3）2mc1.5,1.6未找到答案1.7（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律iSiqQfL/si 以 2（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理bjpdl=0认为p=mv贝pdl=0这将导得下述折 射定律/亩。3=3sMet 1这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：4=一仍就成立，E是粒子能量，从一种 c媒质到另一种媒质E仍不变，仍有2d/=0,你怎样解决矛盾？（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的 路径是两段直线：光程/=即2函设A,B到界面距离是a,b（都是常量）有I=niasecan2bseca2又AB沿界面的投影c也是常数，因而夕J存在约束条件：atg a、+btg a2=c（2）求（1）的变分，而将外,看作能独立变化的，有以下极值条件=n,asecajsa.dan2bseca2a2da2=0 再求（2）的变分 asec aiCabsec a2da2=Sc=0与(4)消去d。和d/得%sin*=2sM 6(5)乙法见同一图，取x为变分参数，取0为原点，则有:/=Jq2+，十几 2mb2+(C X2)n xSx n(c x)Sx求此式变分，令之为零，有：si=-a-p=o Ja2+x2 b2+(c-x)2这个式子从图中几何关系得知，就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度Vg光程原理作SJvg/=0，依前题相速n是折射率,是波前阵面更引起的，而波阵面速度则是相速度丫夕,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.8 J ndl-0前一非难是将光子的传播速度v看作相速度 的误解.v p1.8对高速运动的粒子(静质量加)的能量和动量由下式给出:(1)(2)试根据哈密顿量 H=E=dm2 c，+c2 P2(3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光 速.5H(解)根据式来组成哈氏正则方程式组:q-，本题中q=v,q=，因而1 P i从前式解出p(用v表示)即得到.又若将(2)代入(3),就可得到式.其次求粒子速度v和它的物质波的群速度Vg间的关系运用德氏的假设：夕=方左于式右方，又用E=ha）于（3）式左方，遍除：Lvr7 7CD 1-F c k=a）（k）V力2按照波包理论，波包群速度Vg是角频率丢波数的一阶导数：a 1加2。4 2Vg dk h2_ C2k C2PJ 2 4/24,22m c 2 2 7 m c+c p卞+。k最后一式按照（4）式等于粒子速度v,因而Vg=。又按一般的波动理论，波的相速度vg是由下式规定-vX=一（u 是频率）Vp k利用（5）式得知篙+c 故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出Vg和V.的关系，将（I）（2）相除，再运用德氏波假设:E hco c2 c2 c1一=，V=一（7）P hk v Vg p Vg补充：1.1 设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，co,x 6/二7八八0,Q x a试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有2a=n2:.X=la/n又据de Broglie关系p-h/A5=1,2,3,)(1)(2)而能量E=p2 12m=%？/2mA21 2 2 2/22n n 7i n n（=-r=-储=i,2,：2m-4a 2ma1试用量子化条件，求谐振子的能量谐振子势能V（x）=-mco2x2 2（解）（甲法）可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:f夕囱=nh(3)-*0B一X一2 j cos 2 cotdt=nh27rT是振动周期,T=，求出积分，得CDma)a27i-nhhaE=-n=nha27rn 1,2,3正整数#用量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量，箱的长宽高分别为dAc（解）三维问题，有三个独立量子化条件，可设想粒子有三个分运动，每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞，则每碰一次时，与此壁正交方向的分动量变号（如P-夕J其余分动量不变，设想粒子从某一分运动完成一个周期，此周期中动量与位移同时变号，量子化条 件：(1)pdq=nh=2Pl2b pr y(2)dz=2c p二 2yP,P,P都是常数，总动量平方P=夕;+夕;总能量是:d 1口 P 1 Z 2,2,2x 二 丁=丁(夕%+py+pz)2m 2m()2+(-)2+()22m 2a lb 2c()2+A2+()28m a b c但 x，riy,z=1,2,3 正整数.#3平面转子的转动惯量为I,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体，它的位置由一坐标(例如转角)决定，它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学，转子的角动量I1CD(P是角速度，能量是石=-I(O22利用量子化条件，将p理解成为角动量应理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周，则有J pdq=1 codcp=27r=nh(1)(1)说明口是量子化的nh nh 口=二(=1,2,3.)(2)2m I T 为 2 j_ 2(3)代入能量公式，得能量量子化公式:石=1啰2=-()2=(3)2 2 I 21，但#第二章：函数与波动方程P69当势能修改变一常量C吐即忆一忆(广)+粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值 变否？7 2,(解)设原来的薛定用方程式是咨+*石-/(%)=0 dx h1 2 Q将方程式左边加减相等的量。少得：R+=石+。-/(X)+。=0 dx h这两个方程式从数学形式上来说完全相同，因此它们有相同的解(x),从能量本征值来说，后者比前者增加了 Co设粒子势能的极小值是Vmin证明石 V(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量E-/)2E=0因此 万+,能让能量平均值vv 因此了.令=(本征态)则=而石 /皿得证2.1设一维自由粒子的初态(x,0)=ePox,求(x/)o解:/pox-jt 2m/%=e2.2对于一维自由运动粒子，设(x,0)=b(x)求。(解)题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是，能量是E,为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包(许多平面波的叠加)，其波函数:1 产-(px-E z)二/0()dp(1)这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令=0应有1/8 PX.(x,0)=/()/dp(2),2%力力=一8但按题意，此式等于5(x)。但我们知道一维5函数一种表示是：3(x)=f elkx dk(3)2 71 J 左=一将(2)(3)二式比较：知道左二卫，并且求得0(p)=,于是(1)成为 方 Ji7ih1 产-(px-Ei)=-eh d p(4)27rti J J?=oo2这是符合初条件的波函数，但小石之间尚有约束条件=幺(因为是自由粒子，总能量等于动能),2m代入(4)1(/)=2jih Jp-(5)将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果:1=-e27rh.2imx-.002析 p=g一e 2mh 2 dp利用积分底喈J 0071a i m;夕(x“)=-e 2ht27rtiImtiTiit写出共期函数(前一式，.变号):1 2mh兀 m-x-二-(2万 为 了 t 2jiht本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为:用课本公式得甲 CM）I I 7+imx 2=（1不，）/也。百，两者相乘，可得相同的结果。271tl V t2.2设一维自由粒子的初态（x,0）=5（x）,求+oo+oo提示：利用积分公式 jcos 12 kt=卜山（）返=+00或 J exp i2d=4e冲 p%/41 o1+8解：作 Fourier 变换：(x,0)=,-(p(p)eipxdp,J2加11+8,+00 10(p)=/I*o(x,0)x佰dx=/f 8(x)gdx=/,J2万力 i J2 i 127r九+CO()=f(p(pYpxEt)hdp(E=p2 12m)m2 兀 Tit2.3设一维自由粒子初态为（x,0）,证明在足够长时间后（/）=eq-in/4eq htimx2ht.0+CQ式中0（左）=J*（,0）?一而公是（x,0）的Fourier变换。提水：利用lim,2万 i 43=3。n证：根据平面波的时间变化规律Jkx _壬/的一 69/)co E/h hk2 12nl,任意时刻的波函数为f dk(p(k expJ 00k(1)2当时间足够长后（所谓1 8）,上式被积函数中的指数函数具有5函数的性质，取参照本题的解题提示，即得a-ht/lmy/(x,t)x-1 e72兀(2)m i兀 14 imx2/2hte e cp ht29mx ht(4)物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在工处的主要成分为左=加“加，即1=方助仇，强度戈,（左），因子根/为描述整个波包的扩散，波包强度8 1。设整个波包中最强的动量成分为/。,即左=七时|（左）最大，由（4）式可见，当，足够大以后，弧的最大值出现在m工/机二左0处，即x=hkQt/m处，这表明波包中心处波群的主要成分为左0 o2.4-1.72.5设质量为根的粒子在势场/（7）中运动。（a）证明粒子的能量平均值为E=d r-w,w=-*+*/（能量密度）J 2m、公匕m1nSw _ _ h2（。夕*di/*）匕、h广、（b）证明能重守恒公式-F V-5=0,s=-V+-V i/f（能流帝度）dt 2m dt dt）证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）(力 2)石=*-V2+K y/r=T+V(1)I 2加 JV=J d3ri/Vi/f 2+Vf）力（=，/）+/，/）+=V1，（，）+V?，2（%，）+,/（，）=WX 4亿）=Szj11人v,，*%内严*）lim,卷=z*=zJT也叫心咚产-吗）将式两个求和合一，注意到，。后的项不存在，因而等值异号。2.10*设在曲线坐标中线元ds表为di=gikdqidqk,写出这曲线坐标中的薛定用方程式，写出球面坐标系中的薛定谬方程式O（解）dx 8xdxdq2+dq3同样关于y,z有类似的二式。（这里为书写方便q的上标改成下标。）的3*参看 Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11ds1-dx2+dy1dy dy dz dz dq1 dq2 dqx dq2dy dy+dz dz dq2 dq3 dq2 dq3dy dy dz dz-1-1-8qi dq3 dqx dq3 dqxdq、dq 2dq 2dq 3dq3dqx令=2（二.）为坐标变换系数:乎 dqt dqk设沿曲线坐标等势面的单位矢量是，52,项则。甲一。甲一。甲1 grad-VT=-i H-j H-k dx dy dzz 5T a.5T a.VT二-+-+-gll为1 英2雨2 833%31 一。/-M(g22g33*H gllg22g33-雨 1V2T=div(gradgllg22g33 雨 1 Si 西Ag33gli四,合声1途22 乎+7L-L-J的2 22 雨2 雨3 g33 的3代入直角坐标薛定谓方程式：犷 3 中“X 力2 g22g33 5 rgng33 W历丁甲-丁-+-丁%2 根 gg22g33 雨 1 gll 雨 2 雨 2 g22 雨 2(1)+产1-22-+V,(qlq2q3)T qiq2q3t)(2)雨3 833 的2但(%92/。=甲x(092%)，夕 2%)，2(%43)，外忆=(%42夕3)在球坐标情形x=/sin 8 cos，y=/sin 8 sin%z=cos 8式正交坐标系代入后得+，力之 a f 2,八。甲，a(.八。*，hi-=-r sin 0-H-sin 0-dt Imr2 sin 2/ti吠ex y|dydz Iff“SRdydz二一红jj甲 必)dydz+()2 j j jez,PxX+Pyy+PzZlndxdydzx y z y x2二一勺 j j j J 5x+0户+R/方办dz 力 z y x。a关于一,二的积分按同法计算，（5）式的结果是 犷也21(24广2如卜(2 2 2、Px+乙+z,方2V 7T(x,t)ex 1 力dxdydz2广”再计算12二幺夕（万，t）2m（4）式右方第二积分（24广2jjj K(f)T(x,tyftid3xT=有犷（万八卬=眄万,方）9（万，力，%（7）但最后一个积分中（万前三即UVGLfc指坐标空间，金指动量相空间，最后将（4）（6）（7）综合起来就得到动量表象的积分方程式如下:o 2法丁（万，/）=（万，/）+，1G（万，万）（万，D3p，dt 2m 山7P若要将定态薛定造方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差别，设粒子能量为E,坐标表象的薛氏方程:（8）方2V2T（x）+E-K（jf）T（je）=0 2m动量表象方程也是积分方程式，其中G（万，加）是这个方程式的核（Kernel）2占万）+石（万）一G（万，万）万d=。2.12,2.13,没找到第三章：一维定态问题P86设粒子处在二维无限深势阱中，V(x,y)=I 0 x ,0 y b00,其余区域求粒子的能量本征值和本征波函数。如4=8,能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为9 9 2 2 力万 2.7mxx.7myy马t=(下+肃J，-sin,勺，畤=1,2,2m a b y y/ab a b什 7 n L 力2/2 2、2.mx.Ten y右。=人 贝U E=-(nx+ny),=sm-sin-2 ma y a a a这时，若仆=3，则能级不简并;若巴。吗，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如4=10,町=5三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。与=11,=2)人 y设粒子限制在矩形匣子中运动，即TZZ、fO,0 x6z,0yZ?K(x,y,z)=J,/、oo,其余区域求粒子的能量本征值和本征波函数。如1=b=C 解：能量本征值和本征波函数为力 2万 2 n；E=-(谭+彳)d 2m a2 b2 c2/8 Jin x Tin y=J sin*sinnxnynz abc a b当=b=c时，五2 2TC nonE=(nx+n+nznxnynz Ima2 y(2、,7mxx.7myyii/=sm-sm-巴巴生 UJ a anx-ny-nz时,能级不简并；巴，与，牝三者中有二者相等，而第三者不等时，,0 z c，讨论能级的简并度。Tin zsm C,nx,ny,nz=1,2,3,.叽sm-a能级一般为三重简并的。nx,n n人 y52+62+82=32+42+102102+122+162=62+82+202(1,7,9).(1,3,11)为12 重简并(1,5,10)f(3,6,9)设粒子处在一维无限深方势阱中,fo,()=oo,x a/1处于基态(=1),求粒子的动量分布。解：基态波函数为2 71X、一cos，V a a动量的几率分布(p)=|o(p)=7-cos2 1 1 6力2_/)2 2%P115 1.利用Hermite多项式的递推关系(附录A3。式(11),证明 谐振子波函数满足下列关系a-1)一2(x)+(2+1)(X)+，(+1)(+2)+2 并由此证明，在态下，X=0,=玛/2(1)(2)H(a x)的递推关系为 H n+、(a x)-2a xH na x)+2nH n x(a x)=0.(3)xi/n(x)=Anea x 卜.xH“(a x)=Anea x-la xHna x)“n 2a n”ln+1(%)+M-1)-2(x)+(2h+1)(x)+J(+1)(4+2)“+2(x)2a+00+00 x=7 ndx=nn+“+i(x)dx=0oo2_+0 V=m2%2 i/n(x)dx-00 2=:(%)-mco21 2=mo)2212a2r(2n+)y/nxdx 2a/1-(2n+1)=21n+一2|力。=E/22.利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12）d 2 Z _ _ _(x)=1)，一2 一(2上+1)“+J(l)(2)+2ax 2证：A3.式(12)：Hn)=2nHn l(dH n(a x)=2naHn_l(a x)dx色(x)=An-(-a2x2)ea2x2Hn a x)+e-QrV/2-2naH_(a x)dx+a l)-2-(2*1)+J(+l)(+2)+2 dx-Q2P_ r*力 2 d2)-w dx 2m dx j n力 2 a1 _ _ 一：kM-1)一2(2+1)k+，(+1)(+2)“+2山2m J 2h2a2/、r*方2 mo)(x if E=-2n+IH i/ndx=-2n+1)=-n-mo=-4m j 4m h 2 1 2 J 23.谐振子处于态下，计算%=(x-x),p=(P-)，Ax-A/?=?解：由题 1,1=0,一mco mco mco由题2,p=0,p2=2mT mEn=Hmha)/Ax=x J=/-*%、P=P-P)Ax A夕=+；力对于基态，=0,Ax-A/?h/1=，=：+；卜.,刚好是测不准关系所规定的下限。(Pn(%)=“(X)=“(%)4.荷电q的谐振子，受到外电场的作用，V(%)=ma)2x2 qs x2求能量本征值和本征函数。2 解：H -1mco2x2-qs x-H-qs x2m 2H。的本征函数为=Ane-a2x2/2Hn(ax),本征值石?=现将女的本征值记为石，本症函数记为巴(X)。式(1)的势能项可以写成 r(x)=1m2(-o)2-其中 x0=qs/mco2如作坐标平移，令 x=x-Xo,d d 由十 p=-in=-in7=Pdx dx2 i iH 可表成 H -+ma)2xl2-ma)2x2m 2 2(6)式中的与(2)式中的J/。相比较，易见和A；加口2%；,由此可知J-,4(0)1 2 2E0 二 E；)mco xn”2(1)(2)n+ha)2jXi(3)(4)(5)(6)的差别在于变量由x换成x,并添加了常数项(7)(8)即其中on+ho)-2j1 2 m(D22(9)E4a(10)(11)3.1 1.23.2 对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明并证明当 foo时上述结果与经典结论一致。解：写出归一化波函数：(1)先计算坐标平均值：I2 a 2.2 1 2n7lXx=T xdx=sm-xdx=(1-cos-)xdxJo 1 1 Jo a a a J。a利用公式：r.xcos px sin pxxsin pxdx=-1-(2)P P得 卜（3）P Px=1 x2(a A InTix-xsin-a 2-ln7i)a计算均方根值用(X-IT=以知，可计算一T 门5|2 2,r2 2.2 nme 1-2nx=vy x ax-x sin-ax=x Cl-cos-；axJ。)q a a J。a12 1禾！J用公式 f x2 cos pxdx=x2 sin px-xcos px-sin px PPP(5)X11 2X3a 2(Q Y2n7i I Inn).2n7ixsin-a、2a 2n7ix 2x cos-ao2732aC 2 22n n2n7i(6)在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0,a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由 于总几率是1,几率密度口=工。广。广。1 ax=coxdx=xdx=Jo Jo a 2故当n f g时二者相一致。3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中,0,Q x a-(%/)=oo,x a证明处于定态（x）的粒子-ax 二 一,2-2 度?a 6(x-x)(1-)12 n 7i讨论-8的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数(2.nn Jsm%.V a a-ca I *2 ca.2 分部ax=xy/ax=x sin-xax=Jo 1 1 a J。a 2(1)(x x)2-x2 X22n7ix a2-)dx-a 4_/6二五(JR(2)在经典情况下，在（0,。）区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方 向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于一心范围的几率为七,故一 dx aX=x-=J。Q 2(3)2 2 z a a(X X)=X X-3 4(4)当-8时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.3设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数。）=为（-x）描述，/=、偿是归一化常数，求（1）粒V a子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。（解）在物理意义上，这是一种能量的非本征态，就是说体系在这种态上时，它的能量是不确定的，薛定谓方程 是能量的本征方程，波函数不会满足薛氏方程式。但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是：WnG)(n=l,2,3,n27r2h2这种解是能量本征态，相应的能量=2ma按叠加原理非本征态可用本征函数谱展开:(1)(x)=必(%)=Zn2.n7ix一 sin-利用积分公式:n7ixx(a-x)sin-dxa(2).-x cos px sin pxx sin pxdx-1-P P2 x2f x sin pxdx=(-)cos px P P2x.d-sin pxP于（2）式，可求得：c”吗s7i n(3)F a 2 dx a2X=x-二J。4 30)a a此式只有为奇数时才不为0,故只有量子数奇数的态3办71X“（X）1 11920 a371 sin 一丁+.+(2k-l)7ixsin-a(21)3+.(4)U 7T tl仍是归一化的，故粒子具有能级=2a 的几率是Ima24质 2 960=(V)二 n n 7i n(5)（2）能量的平均值可以按照已知几率分布的公式计算:E 二。人.吃二Z960 n27r2h2 960 力 2n 71 nIma2 2m7i4a2（n为奇数）n H(6)6 6根据福利衰级数可计算奇）有几种方法，例如:y(x)=x2(3-2|x|)=cos(In-l)x(2 1尸上式中令x=0立刻得G 1 11116(2 1)4 34 54 74471965力2代（6）式得 =卫，ma另一方法是直接依据题给的能量非本征态用积分法求平均值:A aJ Hy/dx-A2(ax-x2)(-h2 d2 2-)(x-x)dx 2m dx230 ha5 2ma 小2f 2 5%-2(ax-x)dx=-ma能够这样的原因是厄米算符.（3）能量的涨落指能量的不准度注=J1T与下现需求能量平方的平均值，这可利用前半题结果来计算.厂2 y*厂2 960E=LCnCnEn=Zn n兀n4 4/4n 7i n4m2a4240/z4 12 2 4 乙 27i m a 奇但荒垣二（2左_）200 1 1 1 1关于此求和式Z J=1+=+(+也用福利衰级数左=i(2后1)3 5 7o3248 07T X 71)心)喧上口皿E/(2 d)2 I（展开区间-一%）此式中可取/=12 21 兀2代入x=上得二2 800二k=l(-1)1(21)2n 浸 sin(2k-1)一 二 Z 2 k=1Rif30 力 4 130 425%4 瓜 2（补白）：本题若直接用积分求要利用厄米性：why?ji/H2i/dx-J(方)*(方)公3.4 没有答案3.5 一维无限深势阱中求处于“（X）态的粒子的动量分布几率密度,（2）。（解）因为（x）=J2sin空是已知的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数，这可利 V a a用福利衰变换的一维公式：9（）二 f Je sin上竺去N 271tl 力 V。a利用不定积分公式 eax sin pxdx=-sm/：一夕;a+p用于前一式得：（pn（p）=I-7ihaip nTix njisin-cosh a amix()2-(f)2 a no_ i p a2nla而”,-1+(-1)。%)2 2 22+2、c)a p-n 7i n 2或者-2nda7ih32 2 2 2不 2a p-n 7i nipa2%（n奇数）c./TT 卬。-am-e 2力2 2 2 2+2a p n 7i n.pa sin-，2%（n偶数）动量几率密度分别是4 2 a痴 22 PQ-cos-，(q222 一2%2%2)2 2%（n奇数）4n2a7rh2(a2p2 2y sm2 PQ2h（n偶数）3.5 设粒子处在一维无限深方势阱中,fo,%(x,y)=oo,|x|q/2|x|2/z=I-i-cos-2 j-2 2 2 c7i n-a p 2n动量的几率分布p(p)=4mz 方 32+2 2 2n n-a p+-2zl2 Pa cos|2 2%1工+邛271 pa h3.6 求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨论分立能级的情况，即0/J,d2i/_ 2m(V-E)dx2 h当X f QO时，.0,故有A sin kx+5),“2，w=x 0,左i=,2-(.一)/%0 x a9 k-12/力 yr)a x,k2=个2mB2/力由din吆在、=o、x=。处的连续条件，得k-kctg 3,k2=-kctg(ka+5)由（la）可得s飞2叫由于左i，左2,左皆为正值，故由（1b），知版+5为二，四象限的角。因而s i 猷a+3)=/12nly 2又由（1）,余切函数（。窘）的周期为，故由（2）式,2mVxhk由(3),得 ka+S=-s i n1.lmV2结合(4),(5),得 ka-n27V-sin1hk.t hk,-nxn-sin/2mV22mVx或ka=n7i-sin-1-sin-1d2nly、Tik(1)(2)(3)(4)(6)n=1,2,3,2mV2一般而言，给定一个值，有一个解心，相当于有一个能级:(7)2m当七力匕时，才有束缚态，(8)时才有束缚态（若匕=%=，则无论/和。的值如何，至少总有一个能级）当匕,匕，给定时，由式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为:Ax 0hkkln=，2加化-E）/力 二1 4 sin(&x+,0 X a,4(T尸自，勤(/力其中 4:j2/(a+l/L+l/g)3.6试求在不对称势阱中粒子的能级。解（甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下:（xvO 区）：邛=(0 x+Ce一2(xa 区)：乎=但左三，2加亿-E)/h k2=2mE/hk3 三个2mB2写出在连接点x=0处连续条件A=B+C(4)Y-kiA=ik2(B-C)(5)x=a处连续条件r Beik2a+Ceik2a=Deka(6)Y jkI Be“-Ce 2=De 一印(7)k2(4)(5)二式相除得kx B-Cik 2 B C(6)(7)二式相除得ik_ Beik2a-Ce-ik2ak2-Be+cef2a(1)(2)(3)从这两式间可消去B,C,得到一个左向心间的关系ik3(k+ik2a _ 后+龙？)e 电 k2(k+ik 2)e 比2a+(_/+龙？)e 电i c o 一左2 s i*2i(k1 s i vk2a+左2co 2a)解出&Jq,得tgk2a=-2+.2)+n7r(n _ o,l,2,.)(8)k 2 k、k 2最后一式用E表示时，就是能量得量子化条件：V2mE ye Q匕-+-E)tg-a=-/力 石_,化_0化一)(乙法)在Oxa区间中波函数表示为甲(x)=刀 sin(左 2%+内)(2)现在和前一法相同写出边界条件：(在 x=0 处)A=Bsv5(9)kxA-k2B c o s5(10)(在 x=a 处)5sin(左2。+3)=。？一(11)一 k2B cos(左2+3)=k2De k3a(12)(9)(10)相除得(11)(12)相除得写出(13)(14)的反正切关系式，得到:前述两法的结果形式不同，作为一种检验，可以用下述方法来统一。试将第二法所得的量子化条件，等号左 右方取其正切：-、E v2-e此结果与第一法相同。3.71.3 3.81.4 3.91.53.10设粒子（能量石0）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。_ v r 0.在区域I上有入射波与反射波，在区域n上仅有透射波。故i/1=Ae 小+Be 一%二 左二,2m化+石）/方I/2-Ce/,左之=Y2mE/方由 1（0）=2（。），得A+B=C o由;（0）=；（0）,得 h（A B）=k2c o从上二式消去C,得（左1 _心）力=（k1+左2）右氏二四反射系数斤_化一心）2A2（左i+左2 I将如左2代入运算，可得R_ 叱 _!v）6E2,Wo+1 _“E忆，EV.EV.3.11，考虑粒子(石0)在下列势阱壁(x=0)处的反射系数。(解)本题中设想粒子从左侧入射。在(x0区中有入射反射波产(x)o 兄(x)=Ae 两+Be 一两”(1)一-z在(x0区)中仅有透射波-%匕()=Ce%、但 h=，2 利(石+/)/k2=42mE/h考虑在原点0(x=0)处波函数乎(x)和一阶倒数*/(x)的连接性，有：(0)=甲2(0)即/+5=C(3)兄/(0)=甲;(0)即(A+B)ik、=Ci%(4)因按题意要计算反射系数R,反射几率波流密展R入射几率波密物J同理(5)如2 m,若求比值，可从(3)(4)消去C,得至I：3.11试证明对于任意势垒，粒子的反射系数和透射系数满足R+T=1 o(解)任意的势垒是曲线形的，如果V(x)没有给定，则中(x)不能决定，因而无法计算各种几率流密度。但如果附图所示V(x)满足二点特性：0z(1)limr(x)=K0（2）limK（x）=O我们近似地认为当X f OO时波函数的解是T（x）=CelklX（左2-不2m（E 一%）/%）X 00时波函数的解是T（x）=AeiklX+Be（kx=2mE/%）但由于粒子几率流的守恒（V（x）是实数函数）：在数量上入射几率流密度心 应等于反射的心 和透射的几 的和，即：|=|，/+c仿前题的算法，不必重复就可以写出：tlk I 12 hkA I 12%七 I I2M=H+M m m m这里的（1）（2）是等效的，将（1）遍除|4|得：1=+&即=T+R得证J A JA将（2）式遍除也,得另一种形式:m1 M的有M223.12设/（x）=-（见附图），求反射系数左。ea+1（解）设能量是正值石0,要确定反射系数，我们需要将势场看成一 个势垒，同时要将波函数分解成入射波和反射波两部分。为此，首先对 粒子的薛氏方程式进行变换。（1）自变量的变换：试令(1)V(x)则有(1)dT_ dT dT_dx a dx dx ad”中 J 2/d中 2/m d+dx2 dx a a a a d匕 a2 a2(2)（2）波函数变换：为使微分方程式得到级数解，考察X f8时的情形，由（1）可知这相当于J0的情形，方程式（2）简化成:旌中0+左丹=0 ax它的特解/。是或1%。根据自变量变换式（1）,这相当于:gikoa 或 ikoa(4)可设(5)则有:乎-ikoa d(f a_二J-小毯 (p；城 心-2ikQ自7koe1T+ikoa(1+ika)自网dj代入（3）,约去公有的占一洗。,整理后得:(自一 Dy-+(1-2ikQa)(自一 D-+ka2cp=0“-d匕(6)该式属于“超几何微分方程式”即Gauss方程式，它的一般复数形式是:x d2F、dFz(z-1)+(or+/?+1)z-7-1-a/3F-0dz dz(7)此方程式的一个特解记作F C a,B，7；2)=Za+1)-z令+方=07涯2n!将（7）与（6）对比后，就能决定a,B，/所相应的值：（方程式（7）与14题的方程式（16）不同）cc+/3+1 1 2ik o。a/3-k；a2/=1-2ikQa从前两方程式能决定a,0,得a=Q+k、一七0）三（左2 一左o）iaP=-（J;+k；+左 0）ia 三一（上2+左0）ia于是得到方程式（3）的特解0（J）以及波函数平（，的解如下:T（自）=4一比。夕（占）=厂%。尸（左2左0）h，（左2+左0）ia，l 2ik/,易（8）这个解不能表达入射波和反射波的特点，仍需加以变换，为此利用超几何函数有关的一个恒等式，将自变量 转变为LZF Q a,13,/；2）=（B-（-）aFcr,a+-y,a+1-/3,0（/a）z z+；：（；：（-：的八+1-v（10）将这个关系用于公式（8）得到:y）=）飞 Uka）（-2/a）r（-（七+左。）h）r（-ika-ik2a）（_ j）o-无 2）”尸（42 一左0）ia Qk?+kJ ia A+2k2ai;4r（l-2ik（2ik2a）（左2 kQ）ia）r（1-ikQa+ik2a）（_j）（左o+左 2a 尸_（后+k o）ia,（k 0-k2 ia,1-2k2ai;再根据（1）式，见个前式中&更换成-e二，得ik a r（1一2龙0。）r（一2疫0）T（x）=（1）zV-2-r（一（左2+左0）/）r（1-ikQa-ik2a）e 2%-F（k2-ia,Q k?+kJ ia,1+lk2ai,-ear（i 2洗0。）r（2疫）*&+er（左2左o）ia r（1-ikQa+ik2a）X尸一（左i+左o）ia,（左。一左2）山，1 一 2左2/，一 e这是用坐标X表示的，适用于势场内各点的波函数，现在求X OO（即400）的渐进解，对于曲线形势垒来说，反射系数常在垒壁</p>
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