平面与平面的夹角(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,二面角,他山中学 任城勇,1,.,一个,平面,内的一条,直线,把这个,平面,分成两个部分,，,其中的每一部分都叫做,半平面,。,一条,直线,上的一个,点,把这条,直线,分成两个部分,，,其中的每一部分都叫做,射线,。,2,2,.,O,B,A,A,B,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。,这条直线叫做,二面角的棱,。,这两个半平面叫做,二面角的面,。,3,定义:,3,.,A,B,二面角,AB,l,二面角,l,二面角,CAB D,A,B,C,D,5,O,B,A,AOB,表示方法：,4,.,l,O,O,1,A,B,A,1,B,1,A O B,A,1,O,1,B,1,？,以二面角的,棱,上任意一点为端点，在,两个面内,分别作,垂直,于棱的两条射线，这两条射线所成的,角,叫做,二面角的平面角。,平面角是,直角,的二面角叫做,直二面角,9,二面角的大小用它的平面角来度量,度量：,5,.,二面角的平面角必须满足：,3）角的边都要垂直于二面角的棱,1）角的顶点在棱上,2）角的两边分别在两个面内,以二面角的,棱上任意一点,为端点，,在两个面内,分别作,垂直于棱,的两条射线，这两条射线所成的,角,叫做,二面角的平面角。,10,l,O,A,B,6,.,二面角的计算：,1、,找到或作出二面角的平面角,2、,证明,1,中的角就是所求的角,3、,计算出此角的大小,一“,作,”二“,证,”三“,计算,”,16,7,.,.如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，二面角,C,1,-BD-C,的正切值是_.,练习,8,.,.在二面角,-l-,的一个平面,内有一条直线,AB,，它与棱,l,所成的角为45，与平面,所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,练习,9,.,3、,在二面角,-a-,内，过a作一个半平面,，使二面角,-a-=,45，二面角,-a-=,30，则,内的任意一点,P,到平面,与平面,的距离之比为,练习,10,.,二面角的求法,二面角的求法,(2),垂线法,(1),垂面法,(3),射影法,11,.,垂面法(定义法),定义法:根据定义,找到二面角的棱垂面即可得平面角,解三角形求其大小.,12,.,例题选讲,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,在正方体AC,1,中，求二面角D,1,ACD的大小？,O,13,.,ABC中,ABBC,SA 平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小?,S,A,B,C,E,D,例题选讲,14,.,垂线法(三垂线定理或逆定理),垂连求角,15,.,三垂线法:首先找其中一个半平面的垂线,找不到垂线找垂面(指其中一个半平面的垂面),找到垂面作垂线,构造三垂线定理或逆定理条件得平面角.,16,.,三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC,P,A,B,C,（1）求二面角A-PC-B的大小,D,E,BD=,DE=,COS,=,例题选讲,17,.,四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值？,P,D,A,B,C,N,M,O,H,例题选讲,18,.,如图，三棱锥P-ABC中，面PBC面ABC，PBC是边长为a的正三角形，ACB=90，BAC=30，BM=MC,求证：PB AC,二面角C-PA-M的大小,P,M,B,C,A,D,例题选讲,19,.,A,B,C,D,O,射影法,是不找平面角求二面角的一种方法:,20,.,A,B,C,A,M,已知：如图ABC的顶点A在平面M上的射影为点A，,ABC的面积是S,，,ABC的面积是S，,设二面角A-BC-A为,求证：,COS,=,S S,D,21,.,在正方体AC,1,中，E,F分别是中点,求截面A,1,ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,F,G,B,C,D,A,F,E,A,1,C,例题选讲,22,.,在正方体AC,1,中，E,F分别是中点,求截面A,1,ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,H,F,G,B,C,D,A,H,23,.,例题选讲,过正方形ABCD的顶点A引SA底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，(1)求二面角BSCD的大小？(2)求,面SCD与面SAB所成的二面角,A,B,C,D,S,O,E,24,.,一题多解：,射影面积法,法向量法,25,.,l,l,三、面面角：,二面角的范围,：,法向量法,注意,法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,26,.,设平面,27,.,l,将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。,如图，设二面角 的大小为 ，其中,D,C,B,A,三、面面角：,方向向量法：,二面角的范围,：,28,.,例、已知在一个二面角的棱上有两个点,A,，,B,，,线段,AC,，,BD,分别在这个二面角的两个面内，并且,都垂直于棱,AB,，,AB,=4,cm,，,AC,=6,cm,，,BD,=8,cm,，,CD,=,cm,，求二面角的度数,C,D,A,B,E,29,.,例.正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,30,.,解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则,故,则可设 =1，则B(0,1,0),y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,F,E,作 于E,于F，,则 即为二面角 的大小,在 中，,31,.,由于 且 ，所以,在 中，同理可求,cos =,即二面角 的余弦值为,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,F,E,32,.,解法二,（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,在坐标平面yoz中,设面 的一个法向量为,同法一，可求 B(0,1,0),可取 (1,0,0)为面 的法向量,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,由 得,解得,所以，可取,二面角 的大小等于 ,cos =,即二面角 的余弦值为,33,.,证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得,例.已知正方体 的边长为2，,O,为,AC,和,BD,的交点，,M,为 的中点,（1）求证：直线 面,MAC;,（2）求二面角 的余弦值.,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,34,.,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,35,.,设平面,36,.,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,37,.,l,D,C,B,A,3.二面角：,l,l,一进一出，二面角等于法向量的夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。,38,.,