同济大学高等数学第七版12数列的极限.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,目录 上页 下页 返回 结束,目录 上页 下页 返回 结束,第一章,一、数列极限的定义,第,二,节,数列的极限,二、收敛数列的性质,如果按照某一法则，对每个,，对应着一个,确定的实数,，这些实数,按照下标,n,从小到大排列,得到的一个序列,就叫做,数列,，简记为数列,.,数列中的每一个数叫做数列的,项,，第,n,项 叫做数列的,一般项,或,通项,。,1,、数列,定义,一、数列极限的定义,例如,注意：,(1).,数列对应着数轴上一个点列,.,可看作一动点在数轴上依次取,(2).,数列是整标函数,(1),有界性,数列,x,n,有上界,即存在,M,使,x,n,M,(,n,=1,2,),.,数列,x,n,有下界,即存在,m,使,x,n,m,(,n,=1,2,).,2.,数列的性质,有界,有界,有界,无界,有界,判断下列数列,单调增加,单调减少,单调数列,(2),单调性,单调增加,单调减少,判断下列数列的单调性,单调增加,无单调性,无单调性,观察下列数列当,n,无限增大时，,L,L,2,1,L,L,0,从上面可以看出,:,当,n,时,无限地接近于,1,数列,(2),从原点的两侧无限地接近于,0,一般项,的变化趋势,:,数列,(1),从 的右侧,3.,数列极限的定义,当,n,无限增大时,如果数列,x,n,的一般项,x,n,无限接近,于一个确定的常数,a,则常数,a,称为数列,x,n,的极限,或称数列,x,n,收敛于,a,记为,a,x,n,n,=,lim,，,或,如果数列没有极限，就说数列是发散的,例如,趋势不定,收 敛,发 散,问题,:“,无限接近”意味着什么,?,如何用数学语言刻划它,.,通过观察,:,当,n,无限增大时,无限接近于,1.,引例,观察数列,时的变化趋势,.,100,1,给定,100,1,1,n,100,1,1,N,时,不等式,都成立，,数列极限的精确定义,都落在,a,点的,邻域,因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法,.,数列极限的几何意义,使得,N,项以后的所有项,注：,越小,表示,与,a,接近得越好,.,OK!,N,找到了！,nN,目的：,NO,有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N,数列极限的演示,e,越,来,越,小,，,N,越,来,越,大！,例1,.,已知,证明数列,的极限为,1.,证,:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,N,与,有关,但不唯一,.,不一定取最小的,N,.,注：,例,2.,已知,证明,证,:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,N,与,有关,但不唯一,.,不一定取最小的,N,.,说明,:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,设,证明等比数列,证,:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当,n,N,时,就有,故,的极限为,0.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习1,用定义,证明,证明 对于任意给定的 要使,只要,取自然数,则当 时，有,所以,注：,就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的,N.,二、收敛数列的性质,证,:,用反证法,.,及,且,取,因,故存在,N,1,从而,同理,因,故存在,N,2,使当,n,N,2,时,有,1.,收敛数列的极限唯一,.,使当,n,N,1,时,假设,从而,矛盾,.,因此收敛数列的极限必唯一,.,则当,n,N,时,故假设不真,!,满足的不等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,收敛数列一定有界,.,证,:,设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界,.,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛的数列必有界,.,有界的数列不一定收敛,.,无界的数列必发散,.,发散的数列不一定无界,.,3.,收敛数列的保号性,.,若,且,时,有,证,:,对,a,0,取,推论,:,若数列从某项起,(,用反证法证明,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,数列极限的,“,N,”,定义及应用,2.,收敛数列的性质,:,唯一性,;,有界性,;,保号性,;,任一子数列收敛于同一极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,刘徽,(,约,225 295,年,),我国古代魏末晋初的杰出数学家,.,他撰写的,重,差,对,九章算术,中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献,.,他的“割圆术”求圆周率,“,割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“,用已知逼近未知,用近似逼近精确,”,的重要,极限思想,.,的方法,:,