人教版初三数学讲义一元二次方程.docx

第二十一章 一元二次方程
测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法
学习要求
1．驾驭一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题．
2．驾驭一元二次方程的基本解法——直接开平方法．
课堂学习检测
一, 填空题
1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．
2．把2x2－1=6x化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．
3．若(k＋4)x2－3x－2=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是______．
4．把(x＋3)(2x＋5)－x(3x－1)=15化成一般形式为______，a=______，b=______，c=______．
5．若－3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
6．方程y2－12=0的根是______．
二, 选择题
7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )．
(1)2x2－3=0 (2)x2＋y2=5 (3) (4)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在方程：3x2－5x=0，7x2－6xy＋y2=0，=0， 3x2－3x=3x2－1中必是一元二次方程的有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．x2－16=0的根是( )．
A．只有4 B．只有－4 C．±4 D．±8
10．3x2＋27=0的根是( )．
A．x1=3，x2=－3 B．x=3
C．无实数根 D．以上均不正确
三, 解答题(用直接开平方法解一元二次方程)
11．2y2=8． 12．2(x＋3)2－4=0．
13． 14．(2x＋1)2=(x－1)2．
综合, 运用, 诊断
一, 填空题
15．把方程化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是______
____，一次项系数是______．
16．把关于x的一元二次方程(2－n)x2－n(3－x)＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．
17．若方程2kx2＋x－k=0有一个根是－1，则k的值为______．
二, 选择题
18．下列方程：(x＋1)(x－2)=3，x2＋y＋4=0，(x－1)2－x(x＋1)=x，
其中是一元二次方程的有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
19．形如ax2＋bx＋c=0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是( )．
A．a是随意实数 B．及b，c的值有关
C．及a的值有关 D．及a的符号有关
20．假如是关于x的方程2x2＋3ax－2a=0的根，那么关于y的方程y2－3=a的解是( )．
A． B．±1 C．±2 D．
21．关于x的一元二次方程(x－k)2＋k=0，当k＞0时的解为( )．
A． B． C． D．无实数解
三, 解答题(用直接开平方法解下列方程)
22．(3x－2)(3x＋2)=8． 23．(5－2x)2=9(x＋3)2．
24． 25．(x－m)2=n．(n为正数)
拓广, 探究, 思索
26．若关于x的方程(k＋1)x2－(k－2)x－5＋k=0只有唯一的一个解，则k=______，此方程的解为______．
27．假如(m－2)x|m｜＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )．
A．2或－2 B．2 C．－2 D．以上都不正确
28．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．
29．三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，kcm，且k满意一元二次方程2k2－9k－5=0，求此三角形的周长．
测试2 配方法及公式法解一元二次方程
学习要求
驾驭配方法的概念，并能娴熟运用配方法及公式法解一元二次方程．
课堂学习检测
一, 填空题
1．_________=(x－__________)2．
2．＋_________=(x－_________)2．
3．_________=(x－_________)2．
4．＋_________=(x－_________)2．
5．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根是______．
6．一元二次方程(2x＋1)2－(x－4)(2x－1)=3x中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．
二, 选择题
7．用配方法解方程应当先变形为( )．
A． B．
C． D．
8．用配方法解方程x2＋2x=8的解为( )．
A．x1=4，x2=－2 B．x1=－10，x2=8
C．x1=10，x2=－8 D．x1=－4，x2=2
9．用公式法解一元二次方程，正确的应是( )．
A． B．
C． D．
10．方程mx2－4x＋1=0(m＜0)的根是( )．
A． B．
C． D．
三, 解答题(用配方法解一元二次方程)
11．x2－2x－1=0． 12．y2－6y＋6=0．
四, 解答题(用公式法解一元二次方程)
13．x2＋4x－3=0． 14．
五, 解方程(自选方法解一元二次方程)
15．x2＋4x＝－3． 16．5x2＋4x=1．
综合, 运用, 诊断
一, 填空题
17．将方程化为标准形式是______________________，其中a=____
__，b=______，c=______．
18．关于x的方程x2＋mx－8=0的一个根是2，则m=______，另一根是______．
二, 选择题
19．若关于x的二次三项式x2－ax＋2a－3是一个完全平方式，则a的值为( )．
A．－2 B．－4 C．－6 D．2或6
20．4x2＋49y2配成完全平方式应加上( )．
A．14xy B．－14xy
C．±28xy D．0
21．关于x的一元二次方程的两根应为( )．
A． B．，
C． D．
三, 解答题(用配方法解一元二次方程)
22．3x2－4x=2． 23．x2＋2mx=n．(n＋m2≥0)．
四, 解答题(用公式法解一元二次方程)
24．2x－1=－2x2． 25．
26．2(x－1)2－(x＋1)(1－x)=(x＋2)2．
拓广, 探究, 思索
27．解关于x的方程：x2＋mx＋2=mx2＋3x．(其中m≠1)
28．用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总大于0，再求出当x取何值时，代数式x2－4x＋5的值最小最小值是多少
测试3 一元二次方程根的判别式
学习要求
驾驭一元二次方程根的判别式的有关概念，并能敏捷地应用有关概念解决实际问题．
课堂学习检测
一, 填空题
1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的判别式为D=b2－4ac，
(1)当b2－4ac______0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当b2－4ac______0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当b2－4ac______0时，方程没有实数根．
2．若关于x的方程x2－2x－m=0有两个相等的实数根，则m=______．
3．若关于x的方程x2－2x－k＋1=0有两个实数根，则k______．
4．若方程(x－m)2=m＋m2的根的判别式的值为0，则m=______．
二, 选择题
5．方程x2－3x=4根的判别式的值是( )．
A．－7 B．25 C．±5 D．5
6．一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )．
A．正数 B．负数 C．非负数 D．零
7．下列方程中有两个相等实数根的是( )．
A．7x2－x－1=0 B．9x2=4(3x－1)
C．x2＋7x＋15=0 D．
8．方程有( )．
A．有两个不等实根 B．有两个相等的有理根
C．无实根 D．有两个相等的无理根
三, 解答题
9．k为何值时，方程kx2－6x＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．
10．若方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有两个实根，求正整数a的值．
11．求证：不论m取任何实数，方程都有两个不相等的实根．
综合, 运用, 诊断
一, 选择题
12．方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的判别式是( )．
A． B．
C．b2－4ac D．abc
13．若关于x的方程(x＋1)2=1－k没有实根，则k的取值范围是( )．
A．k＜1 B．k＜－1 C．k≥1 D．k＞1
14．若关于x的方程3kx2＋12x＋k＋1=0有两个相等的实根，则k的值为( )．
A．－4 B．3 C．－4或3 D．或
15．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2mx＋m＋3=0有两个不等的实根，则m的取值范围是( )．
A． B．且m≠1
C．且m≠1 D．
16．假如关于x的二次方程a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数a，b，c 为边长的三角形是( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．随意三角形
二, 解答题
17．已知方程mx2＋mx＋5=m有相等的两实根，求方程的解．
18．求证：不论k取任何值，方程(k2＋1)x2－2kx＋(k2＋4)=0都没有实根．
19．假如关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2＋6=0没有实数根，求a的最小整数值．
20．已知方程x2＋2x－m＋1=0没有实根，求证：方程x2＋mx=1－2m肯定有两个不相等的实根．
拓广, 探究, 思索
21．若a，b，c，d都是实数，且ab=2(c＋d)，求证：关于x的方程x2＋ax＋c=0，x2＋bx＋d=0中至少有一个方程有实数根．
测试4 因式分解法解一元二次方程
学习要求
驾驭一元二次方程的重要解法——因式分解法．
课堂学习检测
一, 填空题(填出下列一元二次方程的根)
1．x(x－3)=0．______ 2．(2x－7)(x＋2)=0．______
3．3x2=2x．______ 4．x2＋6x＋9=0．______
5．______ 6．______
7．(x－1)2－2(x－1)=0．______． 8．(x－1)2－2(x－1)=－1．______
二, 选择题
9．方程(x－a)(x＋b)=0的两根是( )．
A．x1=a，x2=b B．x1=a，x2=－b
C．x1=－a，x2=b D．x1=－a，x2=－b
10．下列解方程的过程，正确的是( )．
A．x2=x．两边同除以x，得x=1．
B．x2＋4=0．直接开平方法，可得x=±2．
C．(x－2)(x＋1)=3×2．∵x－2=3，x＋1=2， ∴x1=5， x2=1．
D．(2－3x)＋(3x－2)2=0．整理得3(3x－2)(x－1)=0，
三, 解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)
11．3x(x－2)=2(x－2)． 12．
*13．x2－3x－28=0． 14．x2－bx－2b2=0．
*15．(2x－1)2－2(2x－1)=3． *16．2x2－x－15=0．
四, 解答题
17．x取什么值时，代数式x2＋8x－12的值等于2x2＋x的值．
综合, 运用, 诊断
一, 写出下列一元二次方程的根
18．．______________________．
19．(x－2)2=(2x＋5)2．______________________．
二, 选择题
20．方程x(x－2)=2(2－x)的根为( )．
A．－2 B．2 C．±2 D．2，2
21．方程(x－1)2=1－x的根为( )．
A．0 B．－1和0 C．1 D．1和0
22．方程的较小的根为( )．
A． B． C． D．
三, 用因式分解法解下列关于x的方程
23． 24．4(x＋3)2－(x－2)2=0．
25． 26．abx2－(a2＋b2)x＋ab=0．(ab≠0)
四, 解答题
27．已知关于x的一元二次方程mx2－(m2＋2)x＋2m=0．
(1)求证：当m取非零实数时，此方程有两个实数根；
(2)若此方程有两个整数根，求m的值．
测试5 一元二次方程解法综合训练
学习要求
会用适当的方法解一元二次方程，培育分析问题和解决问题的实力．
课堂学习检测
一, 填空题(写出下列一元二次方程的根)
1．3(x－1)2－1=0．__________________
2．(2x＋1)2－2(2x＋1)=3．__________________
3．3x2－5x＋2=0．__________________
4．x2－4x－6=0．__________________
二, 选择题
5．方程x2－4x＋4=0的根是( )．
A．x=2 B．x1=x2=2 C．x=4 D．x1=x2=4
6．的根是( )．
A．x=3 B．x=±3 C．x=±9 D．
7．的根是( )．
A． B．
C．x1=0， D．
8．(x－1)2=x－1的根是( )．
A．x=2 B．x=0或x=1
C．x=1 D．x=1或x=2
三, 用适当方法解下列方程
9．6x2－x－2=0． 10．(x＋3)(x－3)=3．
11．x2－2mx＋m2－n2=0． 12．2a2x2－5ax＋2=0．(a≠0)
四, 解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中)
13．5x2=x．(最佳方法：______)
14．x2－2x=224．(最佳方法：______)
15．6x2－2x－3=0．(最佳方法：______)
16．6－2x2=0．(最佳方法：______)
17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)
18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
19．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合, 运用, 诊断
一, 填空题
20．若分式的值是0，则x=______．
21．关于x的方程x2＋2ax＋a2－b2=0的根是____________．
二, 选择题
22．方程3x2=0和方程5x2=6x的根( )．
A．都是x=0 B．有一个相同，x=0
C．都不相同 D．以上都不正确
23．关于x的方程abx2－(a2＋b2)x＋ab=0(ab≠0)的根是( )．
A． B．
C． D．以上都不正确
三, 解下列方程
24．(x＋1)2＋(x＋2)2=(x＋3)2． 25．(y－5)(y＋3)＋(y－2)(y＋4)=26．
26． 27．kx2－(k＋1)x＋1=0．
四, 解答题
28．已知：x2＋3xy－4y2=0(y≠0)，求的值．
29．已知：关于x的方程2x2＋2(a－c)x＋(a－b)2＋(b－c)2=0有两相等实数根．
求证：a＋c=2b．(a，b，c是实数)
拓广, 探究, 思索
30．若方程3x2＋bx＋c=0的解为x1=1，x2=－3，则整式3x2＋bx＋c可分解因式为__________
____________．
31．在实数范围内把x2－2x－1分解因式为____________________．
32．已知一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)中的两根为请你计算x1＋x2=____________，x1·x2=____________．
并由此结论解决下面的问题：
(1)方程2x2＋3x－5=0的两根之和为______，两根之积为______．
(2)方程2x2＋mx＋n=0的两根之和为4，两根之积为－3，则m=______，n=______．
(3)若方程x2－4x＋3k=0的一个根为2，则另一根为______，k为______．
(4)已知x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两根，不解方程，用根及系数的关系求下列各式的值：
①②③｜x1－x2｜；
④⑤(x1－2)(x2－2)．
测试6 实际问题及一元二次方程
学习要求
会敏捷地应用一元二次方程处理各类实际问题．
课堂学习检测
一, 填空题
1．实际问题中常见的基本等量关系。
(1)工作效率=_______；(2)路程=_______．
2．某工厂1993年的年产量为a(a＞0)，假如每年递增10％，则1994年年产量是______，1995年年产量是_________，这三年的总产量是____________．
3．某商品连续两次降价10％后的价格为a元，该商品的原价为____________．
二, 选择题
4．两个连续奇数中，设较大一个为x，那么另一个为( )．
A．x＋1 B．x＋2 C．2x＋1 D．x－2
5．某厂一月份生产产品a件，二月份比一月份增加2倍，三月份是二月份的2倍，则三个月的产品总件数是( )．
A．5a B．7a C．9a D．10a
三, 解答题
6．三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．
7．直角三角形周长为，斜边上的中线长1，求这个直角三角形的三边长．
8．某工厂一月份产量是5万元，三月份的产值是11.25万元，求二, 三月份的月平均增长率．
9．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长．
10．如下图甲，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，如下图乙，地毯中央的矩形图案长6m, 宽3m，整个地毯的面积是40m2，求花边的宽．
综合, 运用, 诊断
一, 填空题
11．某县为发展教化事业，加强了对教化经费的投入，2007年投入3000万元，预料2009年投入5000万元．设教化经费的年平均增长率为x，则列出的方程为____________．
12．一种药品经过两次降价，药价从原来的每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是____________．
13．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，假如要使整个挂图的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满意的方程为_______________．
二, 解答题
14．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
(1)该公司2006年盈利多少万元
(2)若该公司盈利的年增长率接着保持不变，预料2008年盈利多少万元
15．某村安排建立如图所示的矩形蔬菜温室，要求长及宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长及宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是288m2
16．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及所得利息又全部按一年定期存入银行．若银行存款的利息不变，到期后得本金和利息共1320元．求这种存款方式的年利率(问题中不考虑利息税)．
17．某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场确定采纳降价措施，经调查发觉，假如每件衬衫的售价降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元
18．已知：如图，甲, 乙两人分别从正方形场地ABCD的顶点C，B两点同时动身，甲由C 向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min，若正方形场地的周长为40km，问多少分钟后，两人首次相距
19．(1)据2005年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万km2，其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万km2．问水蚀及风蚀造成的水土流失面积各多少万平方千米
(2)某省重视治理水土流失问题，2005年治理了水土流失面积400km2，该省逐年加大治理力度，安排2006年, 2007年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2007年年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324km2．
求该省2006年, 2007年治理水土流失面积每年增长的百分数．
答案及提示
第二十一章 一元二次方程
测试1
1．1，最高，ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)．
2．2x2－6x－1＝0，2，－6，－1． 3．k≠－4．
4．x2－12x＝0，1，－12，0．或－x2＋12x＝0，－1， 12，0 5．－2．
6． 7．A． 8．A． 9．C． 10．C．
11．y1＝2，y2＝－2． 12． 13．x1＝－11，x2＝9．
14．x1＝0，x2＝－2． 15．
16．(2－n)x2＋nx＋1－3n＝0，2－n，n，1－3n.
(或(n－2)x2－nx＋3n－1＝0，n－2,－n，3n－1.)
17．1． 18．A． 19．C． 20．C． 21．D．
22． 23． 24．x1＝1，x2＝7．
25． 26．k＝－1，x＝2. 27．C．
28．m＝1不合题意，舍去，m＝－1．
29．∵3<k<7，k为整数，∴k可取4，5，6，当k＝5时方程成立，
∴三角形边长为2cm，5cm，5cm，则周长为12cm．
测试2
1．16，4． 2． 3． 4．
5． 6．2， 10，－3．
7．C． 8．D． 9．B． 10．B．
11． 12．
13． 14．
15．x1＝－1，x2＝－3. 16．
17．
18．2,－4 19． D． 20． C． 21． B．
22．
23．
24． 25．
26． 27．
28．(x－2)2＋1，x＝2时，最小值是1．
测试3
1．(1)>(2)＝(3)<． 2．－1． 3．≥0． 4．m＝0或m＝－1．
5．B． 6．C． 7．B． 8．D．
9．(1)k<1且k≠0； (2)k＝1； (3)k>1．10．a＝2或3．
11．D＝m2＋1>0，所以方程有两个不相等的实数根．
12．C． 13．D． 14．C． 15．B． 16．C．
17． 18．提示：D＝－4(k2＋2)2 <0．
19．2． 20．∵m<0，∴D＝m2＋4－8m>0．
21．设两个方程的判别式分别为D1，D 2，则D1＝a2－4c，D2＝b2－4d．
∴D1＋D 2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0．
从而D1，D 2中至少有一个非负数，即两个方程中至少有一个方程有实数根．
测试4
1．x＝0，x2＝3． 2． 3．
4．x1＝x2＝－3． 5． 6．
7．x＝1，x2＝3． 8．x1＝x2＝2． 9． B． 10． D．
11． 12．
13．x1＝7，x2＝－4. 14．x1＝2b，x2＝－b．
15．x1＝0，x2＝2． 16．
17．x1＝3，x2＝4． 18．
19．x1＝－1，x2＝－7．
20．C． 21．D． 22．C．
23．x1＝0，x2＝－10. 24．
25． 26．
27．(1)D＝(m2－2)2．当m≠0时，D≥0；
(2)(mx－2)(x－m)＝0，m＝±1或m＝±2．
测试5
1． 2．x1＝1，x2＝－1．
3． 4．
5．B． 6．B． 7．B． 8．D．
9． 10．
11．x1＝m＋n，x2＝m－n. 12．
13．(因式分解法)． 14．x1＝16，x2＝－14(配方法)．
15．(分式法)． 16．(直接开平方法)．
17．x1＝16，x2＝－1(因式分解法)． 18．(公式法)．
19．(公式法)． 20．x＝8．
21．x＝－a±b. 22．B． 23．B． 24．x1＝2，x2＝－2．
25． 26．
27．k＝0时，x＝1；k≠0时，
28．0或 29．D＝4[(a－b)－(b－c)]2＝4(a－2b＋c)2＝0．
30．3(x－1)(x＋3). 31．
32． (1) (2)－8，－6；
(3) (4)
测试6
1．(1) (2)速度×时间．
2．1.1a，1.21a，3.31a. 3．元． 4．D． 5．D．
6．三个数7，9，11或－11，－9，－7． 7．三边长为
8．50％． 9．2cm． 10．1米． 11．3000(1＋x)2＝5000．
12．10％． 13．(50＋2x)(30＋2x)＝1800． 14．(1)1800；(2)2592．
15．长28cm，宽14cm． 16．10％． 17．10元或20元． 18．2分钟．
19．(1)水蚀和风蚀造成的水土流失面积分别为165万km2和191万km2；
(2)平均每年增长的百分数为10％．
第 23 页