全国高中数学竞赛讲义二项式定理与多项式.docx

§17二项式定理与多项式
1．二项工定理

2．二项展开式的通项
它是展开式的第r+1项.
3．二项式系数

4．二项式系数的性质
〔1〕
〔2〕
〔3〕假设n是偶数，有，即中间一项的二项式系数最大.
假设n是奇数，有，即中项二项的二项式系数相等且最大.
〔4〕
〔5〕
〔6〕
〔7〕
〔8〕
以上组合恒等式〔是指组合数满足的恒等式〕是证明一些较复杂的组合恒等式的基
本工具.〔7〕和〔8〕的证明将在后面给出.
5．证明组合恒等式的方法常用的有
〔1〕公式法，利用上述根本组合恒等式进展证明.
〔2〕利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.
〔3〕利用数学归纳法.
〔4〕构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.

例题讲解
1．求的展开式中的常数项.

2．求的展开式里x5的系数.

3．数列满足 求证：对于任何自然数n，
是x的一次多项式或零次多项式.

4．a，b均为正整数，且求证：对一切，An均为整数.

5．为整数，P为素数，求证：

6．假设，求证：

7．数列中，，求的末位数字是多少？

8．求N=1988－1的所有形如为自然数〕的因子d之和.

9．设，求数x的个位数字.

10．试问：在数列中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论.

例题答案：
1.解：由二项式定理得

①
其中第项为 ②
在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为
那么 ③
由③得r－2k=0，即r=2k，r为偶数，再根据①、②知所求常数项为

评述：求某一项时用二项展开式的通项.
2. 解：因为
所以的展开式里x5的系数为

评述：此题也可将化为用例1的作法可求得.
3. 分析：由是等差数列，那么从而可将表示成的表达式，再化简即可.
解：因为 所以数列为等差数列，设其公差为d
有 从而
由二项定理，知

又因为
从而

所以
当的一次多项式，当零次多项式.
4. 分析：由联想到复数棣莫佛定理，复数需要，然后分析An与复数的关系.
证明：因为
显然的虚部，由于

所以从而的虚部.
因为a、b为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，An为整数.
评述：把An为与复数联系在一起是此题的关键.
5. 证明：
由于为整数，可从分子中约去r！，又因为P为素数，且，所以分子中的P不会红去，因此有所以

评述：将展开就与有联系，只要证明其余的数能被P整除是此题的关键.
6. 分析：由 猜测，因此需要求出，即只需要证明为正整数即可.
证明：首先证明，对固定为r，满足条件的是惟一的.否那么，设

那么是惟一的. 下面求.
因为

又因为
所以

故
评述：猜测进展运算是关键.
7. 分析：利用n取1，2，3，…猜测的末位数字.
解：当n=1时，a1=3，
，因此的末位数字都是7，猜测， 现假设n=k时，
当n=k+1时，

从而
于是 故的末位数字是7.
评述：猜测是关键.
8. 分析：寻求N中含2和3的最高幂次数，为此将19变为20－1和18+1，然后用二项式定理展开.
解：因为N=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1
=－
其中M是整数.
上式说明，N的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+2×9)88－1

=32×2×88+34·P=32×〔2×88+9P〕其中P为整数.
上式说明，N的素因数中3的最高次幂是2.
综上所述，可知，其中Q是正整数，不含因数2和3.
因此，N中所有形如的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.
9. 分析：直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.
解：令
，由二项式定理知，对任意正整数n.
为整数，且个位数字为零.
因此，x+y是个位数字为零的整数.再对y估值，
因为， 且，
所以 故x的个位数字为9.
评述：转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.
10. 分析：先求出，再将表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除.
证明：在数列中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之.
数列的特征方程为它的两个根为，
所以 〔n=0，1，2，…〕
由 那么
取，由二项式定理得

由上式知当15|k，即30|n时，15|an，因此数列中有无穷多个能被15整除的项.
评述：在二项式定理中，经常在一起结合使用.