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数学高考总复习导数的应用
数学高考总复习：导数的应用
编稿：林景飞　 责编：严春梅
　　一、知识结构：

　　二、高考考点：
　　1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；
　　2.了解函数在一点处的导数的定义和掌握导数的几何意义；
　　3.熟记基本导数公式；
　　4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；
　　5.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；
　　6.理解可导函数的单调性及其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；
　　7.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；
　　8.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。

　　三、知识要点：
　　（一）导数的相关概念
　　1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.

　　2、导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为。

　　（二）求导数的方法：
　　1、几种常见函数的导数公式：
　　①； ② (a∈Q)；　 ③； 　　　　④；
　　⑤ 　　　 ⑥　　　　　　　⑦ 　　 ⑧

　　2、导数的四则运算法则：
　　①；　　②； 　　③

　　（三）导数的应用
　　1、求切线方程的一般方法，可分两步：
　　（1）求出函数在处的导数；

　　（2）利用直线的点斜式得切线方程。（注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.）

　　　2、判定函数的单调性
　　（1） 函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。

　　（2）函数的单调性及其导数的关系：设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时f(x)为增函数；当时f(x)为减函数。

　　3、求函数的极值及最值
　　（1）函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右的符号产生变化。

　　（2）函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。

　　（3）在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。

　　（四）定积分的概念及其应用
　　1.定积分的定义：
　　如果函数在区间[a,b]上连续，用分点将区间_______分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间[a,b]上的定积分.记作__________

　　2.定积分的性质：
　　（1）（为常数）
　　（2）
　　（3）（其中）

　　3.微积分基本定理：
　　如果，且在上_______，则=_______,其中_________叫做的一个原函数.由于___________也是的原函数，其中c为常数.

　　一般地，原函数在上的改变量简记作____________.因此，微积分基本定理可以写成形式：=_______________=_________________.

　　注：求定积分主要是要找到被积函数的________，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于_________.由此，求导运算及求原函数运算互为______________.

　　4.定积分的几何意义：
　　设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线及轴围成的曲边梯形的面积.在上，当时，由曲线以及直线及轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予符号，那么在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线及轴所围成的各部分面积的代数和.

　　5. 应用定积分求面积
　　（1）如图，由曲线及直线
　　　 　围成图形的面积公式为：

　　（2）如图，在区间上，，则曲边梯形的面积为

　　6.利用定积分求平面图形面积的步骤：
　　（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
　　（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
　　（3）写出定积分表达式；
　　（4）求出平面图形的面积.

　　7．利用函数的奇偶性求积分：
　　若函数在区间上是奇函数，则；
　　若函数在区间上是偶函数，则；

　　四、经典例题：
　　例1．求下列函数的导数：
　　（1）；（2）；（3）；

　　解：
　　（1）　

　　（2）（法一）

　　　　　（法二）

　　（3）

　　例2．运动曲线的方程为：，求t=3时的速度，加速度。
　　分析：由导数的物理意义知，t=3时的速度就是求函数在t=3时的导数值，t=3时的加速度就是求速度函数在t=3时的导数值。

　　解：运动曲线的速度为：

　　　　t=3时的速度：
　　　　运动曲线的加速度为：

　　　　t=3时的加速度：

　　例3：运用微积分定理求定积分
　　（1）；
　　（2） ，求函数在区间上的积分.
　　（3）；
　　（4）。

　　解：
　　（1）

　　（2）

　　（3）∵是奇函数，是偶函数。
　　　 　∴，
　 　　　∴

　　（4）（法一）
　　　　　设，则表示个圆，
　　　　　由积分的概念可知，所求积分就是圆的面积,
　　　　　所以

　　　　（法二）
　　　　 令，则当从0变到时，相应的t自0变到
　　　　 所以，

　　点评：当被积式为分段函数时，应分段积分；求定积分最常用的方法是微积分基本定理，但有时不易找到原函数，此时可以用其他方法：利用定积分的几何意义，利用函数的奇偶性等。

　　例4：求由曲线围成的平面图形的面积.

　　解：由 得A (1,1)； 由　 得B(2,4)

　　所求面积：

　　例5．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线及y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　　 　

　　解：，
　　　　令x=0，求出切线及y轴交点的纵坐标为，
　　　　所以，
　　　　则数列的前n项和

　　点评：本题主要考查利用导数求切线方程，再及数列知识结合起来，解决相关问题。

　　例6．已知函数在及x＝1时都取得极值
　　（1）求a、b的值及函数f（x）的单调区间；
　　（2）若对x∈[－1，2]，不等式恒成立，求c的取值范围。

　　解：（1），
　　　　　　由，得
　　　　　　，b＝－2
　　　　　　，函数f（x）的单调区间如下表：
x

－

1

＋
0
－
0
＋
f（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
　 　　　　　所以函数f（x）的递增区间是及
　　　　　　 递减区间是

　　 　　（2），x∈[－1，2]，
　　　　　　　当时，为极大值，
　　　　　　　而，则为最大值
　　　　　　　要使（x∈[－1，2]）恒成立，
　　　　　　　只需,解得.

　　例7．请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

　　解：设OO1为，则
　　　　由题设可得正六棱锥底面边长为：（单位：）
　　　　故底面正六边形的面积为：=（单位：）
　　　　帐篷的体积为：
　　　　（单位：）
　　　　求导得
　　　　令，解得（不合题意，舍去），，
　　　　当时，，为增函数；当时，，为减函数
　　　　∴当时，最大
　　　　答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。

　　点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.

　　例8．设是函数的一个极值点.
　　（Ⅰ）求及的关系式（用表示），并求的单调区间；
　　（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
　　解：
　　（Ⅰ）
　　,
　　由，得 ，即得，

　　令，得或，
　　由于x＝3是极值点，所以，
　　当，即时，
　　在区间上，， 为减函数；
　　在区间上，，为增函数；
　　在区间上，，为减函数。
　　当，即时，
　　在区间上，， 为减函数；
　　在区间上，，为增函数；
　　在区间上，，为减函数。

　　（Ⅱ）
　　由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，

　　所以f (x)在区间[0，4]上的值域是
　　又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是，
　　由于，
　　所以只需且，解得<.
　　故a的取值范围是（0，）。

　　点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

　　五、高考真题：
　　1. （2007全国卷II）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　 ）
　　A．3　　　 B．2　　　　 C．1　　　　 D．

　　答案：A　

　　2. （2007天津卷）已知函数，其中．
　　（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
　　（Ⅱ）当时，求函数的单调区间及极值．

　　分析：本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．

　　解：
　　（Ⅰ）当时，，，
　　　　　又，
　　　　　所以曲线在点处的切线方程为，
　　　　　即．

　　（Ⅱ）．
　　　　　由于，以下分两种情况讨论．
　　　　　（1）当时，令，得到，．
　　　　　当变化时，的变化情况如下表：

－
0

0
－

极小值

极大值

　　 　　　所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
　　　　　 函数在处取得极小值，且，
　　　　　 函数在处取得极大值，且．

　 　　（2）当时，令，得到，
　　　　　　当变化时，的变化情况如下表：

0
－
0

极大值

极小值

　　　　　　所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
　　　　　　函数在处取得极大值，且．
　　　　　　函数在处取得极小值，且．

　　3.（2007安徽卷）设
　　（Ⅰ）令，讨论在（0，＋∞）内的单调性并求极值；
　　（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有.

　　分析：本小题主要考查函数导数的概念及计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．

　　解：
　　（Ⅰ）根据求导法则有，
　　　　　故，
　　　　　于是，
　　　　　列表如下：

2

－
0

极小值

　 　　　故知在内是减函数，在内是增函数，
　　　　 所以在处取得极小值．

　　（Ⅱ）由知，的极小值．
　 　　　 于是由上表知，对一切，恒有．
　　　　　从而当时，恒有，
　　　　　故在内单调增加．
　　　　　所以当时，，即．
　　　　　故当时，恒有．

　　4. （2007湖北卷）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
　　（I）用表示，并求的最大值；
　　（II）求证：（）．

　　分析：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

　　解：
　　（Ⅰ）设及在公共点处的切线相同．
　　　　　，，
　　　　　由题意，．
　　　　　即，
　　　　　由得：，或（舍去）．
　　　　　即有．
　　　　　令，则．
　　　　　于是当，即时，；
　　　　　当，即时，．
　　　　　故在为增函数，在为减函数，
　　　　　于是在的最大值为．

　　（Ⅱ）设，
　　　　　则．
　　　　　故在为减函数，在为增函数，
　　　　　于是函数在上的最小值是．
　　　　　故当时，有，
　　　　　即当时，．

　　5.（2007山东卷）设函数,其中.
　　(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;
　　(II)求函数的极值点;
　　(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.

　　分析：
　　(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性，是和定义域共同作用的结果；
　　（II）需要分类讨论，由（I）可知分类的标准为
　　（III）构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。

　　解：
　　(I) 函数的定义域为.
　　　　，
　　　　令，则在上递减，在上递增，
　　　　.
　　　　当时，，
　　　　在上恒成立.

　　　　即当时,函数在定义域上单调递增。

　　（II）分以下几种情形讨论：
　　（1）由（I）知当时函数无极值点.

　　（2）当时，，
　　　　 时，
　　　 　时，
　　　　时，函数在上无极值点。

　 （3）当时，解得两个不同解，.
　　　　当时，，，

　　　　此时在上有唯一的极小值点.
　　　　当时，
　　　　在都大于0 ，在上小于0 ，
　　　　此时有一个极大值点和一个极小值点.
　　　　综上可知：
　　　　时，在上有唯一的极小值点；
　　　　时，有一个极大值点和一个极小值点；
　　　　时，函数在上无极值点。

　　（III） 当时，
　 　　　　 令
　　　　　　则在上恒正，
　　　　　　在上单调递增，当时，恒有.
　　　　　　即当时，有，
　　　　　　对任意正整数，取得

　　注意：不能论述清楚时，函数在上无极值点；当时，不能发现，误判断为函数的极值点；在证明不等式时不能挖掘函数的“潜能”，找不到解题的突破口。

　　点评：用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据导函数的特点迅速判断或。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点”.

　　六、反馈练习：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　1.设，则（　 ）
　　A.　　　B.　　　C.　 　　D.不存在

　　2.下列定积分值为0的有（　 ）
　　A.　 B. 　　C. 　　D.

　　3.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 (　　 )
　　A.(-∞,1)　 B.(0,1)　 C.(1,+∞)　 D. [1,+∞)

　　4.定积分（　 ）
　　A.　 B.　 C. 　　D.

　　5.一辆汽车以速度的速度行驶，这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为（　 ）
　　A.　 B.1　 C.3　 D.27

　　6.计算由直线和抛物线所围成的平面图形的面积为　　　　 ；

　　7.已知函数在R上是减函数，则实数a的取值范围 　　　；

　　8.曲线在点（1，-5）处的切线方程为 　　　　；

　　9.过点（1，-5）及曲线相切的直线方程为 　　　　　；

　　10.设在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调递增区间 。

　　11．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。

　　12．已知函数,其中a , b , c是以d为公差的等差数列且a＞0,d＞0.
　　　　设上，处取得最大值，在，
　　　　将点依次记为A， B， C
　　(I)求的值；
　　(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值。

　　参考答案：
　　1.C　
　　分析：

　　2.D　
　　分析：因为的每一项在区间上是奇函数，则；

　　3.C

　　4.A
　　分析：中的被积分函数恰是一个位于x轴上方的圆，
　　　　 其面积为，故；又 。

　　5.D　
　　分析：这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为：

　　6. 　
　　分析：由得点，
　　　　　将抛物线分别表示为函数和，
　　　　　那么所求面积为：

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