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第章整式的乘除知识点总结
第12章 整式的乘除
§12.1幂的运算
一、同底数幂的乘法
1、法则：am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均为正整数）
文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、注意事项：
（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：2·3·4=2+3+4=9；
(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；
()3·()4=()3+4=()7；
(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8
（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。
（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。
二、幂的乘方
1、法则:(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：｛[(am)n]p｝s=amn p s
文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2、注意事项：
（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2)3=2×3=6；
[()3]4=()3×4=()12；
[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8
（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，
如：a15= (a3)5= (a5)3
三、积的乘方
1、法则：(ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen
文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。
2、注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2)3=222=42；
(×)2=()2×()2=2×3=6；
(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；
[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2
（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；
如：23×33= (2×3)3=63，
(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2
四、同底数幂的除法
1、法则：am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）
文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2、注意事项：
（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：4÷3=4-3=；
(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；
()6÷()4=()6-4=()2=2；
(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2
（2）注意a≠0这个条件。
（3）注意该法则的逆应用，即：am-n = am÷an；
如：a x-y= ax÷ay，
(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3
§12.2 整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。
如：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)
=[(-5)×(-4)×(-)]·(a2·a)·(b2·b2)·c
=-30a3b4c
二、单项式与多项式相乘
法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：
=(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1
=
三、多项式与多项式相乘
法则：
（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb
(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。
如：(m+n)(a+b)
= (m+ n)a+( m +n)b
= ma+ na+mb+nb
§12.3 乘法公式
一、两数和乘以这两数的差
1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；
(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；
(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；
（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式
1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(+3)2
=()2+2××3+32
=2+6+9
=11+6；
(mn-a) 2=(mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2；
( a+b -)2
=( a+b)2-2( a+b)+2
= a2+2a b+b2-2a-b +2；
（2）注意公式运用时的对位“套用”；
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca
特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。

§12.4 整式的除法
一、单项式除以单项式
法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c
=-7ab2c
（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3
=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3
=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3
=（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y2
5（2a+b）4÷（2a+b）2
=（5÷1）（2a+b）4-2
=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）
=20a2+20ab+5b2
二、多项式除以单项式
法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。
如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)
=-3x2y2+5xy-y
[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)
= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)
=4y-2x
◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。
§12.5 因式分解
一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）
因式分解与整式乘法互为逆运算

二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤：
（1）“看”。观察各项是否有公因式；
（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；
（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。
△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；
(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；
如：8a2b-4ab+2a
=2a·4ab-2a·2b+2a·1
=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a
=-5 a·a+5a·5
=-5 a(a+5)
(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)
三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。
1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。
△注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；
4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
△注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mn·a+ a2=(mn-a)2；
x2+4xy+y2
=x2+2·x·2y+(2y)2
=( x+2 y)2
（2）注意公式运用时的对位“套用”；
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法：
1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。
如：x2+5x+6
= x2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；
x2+5x-6
=x2+[6+(-1))]x+6×(-1)=
(x+6)( x-1)
2、“十字相乘法”
如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4)
1 2 1 2

1 7 1 -4
2 + 7=9 2 + (-4)= -2

五、综合
1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。
2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：
（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；
（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；
（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项：
（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；
（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；
（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；
（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。

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