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沪教版六年级下学期数学同步辅导
课 题
　 5.1---5.3 有理数的意义、数轴、绝对值
一、学前思考：
数字的世界变幻莫测，奥妙无穷.人类从结绳记事到今天家用电脑的普及，科技从模拟时代发展到数码领域，数字在不断地施展它的魔力.如20可以表示20摄氏度的温度，也可以表示海拔20米.但是如果温度降到零下20摄氏度，高度降到海平面以下20米，我们该用什么样的数表示呢？
显然我们学过的数字不够用了.让我们再次进入神奇的数字世界吧！
二、新知认识
1、 在人们的日常生活当中存在大量相反意义的量，你能举例说说吗？
为了解决同学们所提问题，就必须引入一种新的数—负数，一般情况下，规定收入、增加、上升、零上、高于海平面等为正，另一种相反意义的量支出、减少、下降、零下、低于海平面等规定为负.
【注】：用正数和负数表示相反意义的量时，哪种意义的量为正，哪种意义的量为负，是可以任意选择的.
【例1】、根据习惯用正数和负数表示下列具有相反意义的量：
（1）向东走500米和向西走300米； （2）进2个球和失1个球；
（2）盈利13万元和亏损8千元； （4）气温上升8℃和下降6℃.
2、正数、负数的概念
像等这样比0大的数叫做正数；像-70，，-1.7等，在正数前面加上“﹣”号的数叫做负数.
零既不是正数，也不是负数.
【例2】、读出下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数.
-3，0.5，，0，-3.1，150，

注：0既不是正数也不是负数。
【例3】、观察下列数，探求其规律：

（1） 填出第7，8，9项三个数
（2） 第2003个数是什么？
（3） 如果这一列数无限下去及哪个数越来越接近？

注：解答这类题的关键是“技巧、规律”，而不能一味地冥思苦想或蛮算
3、有理数的概念
正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数
有理数的分类：

【注意】：（1）正数和负数不交叉，但任何两个正有理数之间都有无数个正有理数，任何两个负有理数之间都有无数个负有理数，同时一定要注意零的特殊性。（2）正数和零放在一起称为非负数，负数和零放在一起称为非正数。（3）把一些共性的数放在一起称为数集，如：所有正数放在一起称为正数集。
【例4】、把下列数填在相应的集合内：
+25，-13，0.14，0，，-1.6，.
（1）负分数集合：{ …}；
（2）整数集合：{ …}；
（3）非负数集合：{ …}
（4）非正整数集合：{ …}
（5）有理数集合：{ …}.
注：此类题一方面注意“+25”中的“+”不能省略，另一方面这样的集合里都有无数个元素，元素及元素之间用逗号隔开，最后必须写省略号。
三、课堂练习
（一）填空题
1、在某次乒乓球检测中，一只乒乓球超过标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？表示 。
2、如果运出货物7吨记作－7吨，那么＋100吨表示 。
3、如果节约用水30吨记为+30吨，那么浪费20吨记为 吨。
4、如果4年后记作＋4，那么8年前记作 。
5、粮食每袋标准重量是50公斤，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：52公斤、49公斤、49.8公斤。如果超重部分用正数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数：
甲： 乙： 丙：
6、下列各数中，－15，-0.02，，，4，，1.3，0，3.14，
正数为 ；负数为 ；
整数为 ；分数为 。
（二）判断题
7、向前走5米和向左走5米是相反意义的量。（ ）
8、收入50元和支出10元是相反意义的量。（ ）
9、向东走8千米和向西走1千米是相反意义的量。（ ）
10、一个数不是正数就是负数。（ ）
11、零既不是正数也不是负数。（ ）
（三）选择题
12、零是（ ）
A、最小的有理数。 B、最大的负有理数。
C、最小的非负有理数。 D、最小的整数
13、a不是正数，那么a一定是（ ）
A、负数 B、正数 C、正数或零 D、负数或零

挑战中考：
1、下列说法正确的个数为 （ ）
①所有整数都是正数；②所有正数都是整数；③有理数中除了正数就是负数；④非负数指的是正整数和分数.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2、填空：
（1） 是正数而不是整数的有理数是__________________________
（2） 是整数而不是负数的有理数的是________________________
（3） 既不是分数也不是零的有理数是________________________
（4） 既不是正数也不是负数的有理数是______________________
3、若整数x满足，则这样的整数有几个？正整数有几个？负整数有几个？非正整数有几个？非负整数有几个？
课堂练习
正数和负数
1．如果向南走5米，记作+5米，那么向北走8米应记作___________．
2．如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降5℃记作____________．
3．海拔高度是+1356m，表示________，海拔高度是-254m，表示______．
4．一种零件的内径尺寸在图纸上是30±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸______毫米，最小不低于标准尺寸______毫米．
5．如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考了85分，记作+2分，得分90分和80分应分别记作_________________________．
6．粮食产量增产11％，记作+11％，则减产6％应记作______________．
7．如果向西走12米记作+12米，则向东走-120米表示的意义是___．
8．味精袋上标有“500±5克”字样中，+5表示_____________，-5表示____________．
9.在下列横线上填上适当的词,使前后构成意义相反的量:
(1)收入1300元, 800元; (2) 80米,下降64米;
(3)向北前进30米, 50米.
10.观察下列排列的每一列数,研究它的排列有什么规律?并填出空格上的数.
(1)1,-2,1,-2,1,-2, , , ,…
(2)-2,4,-6,8,-10, , ,…
(3)1,0,-1,1，0,-1, , , ,…
11.甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低5°C,则乙冷库的温度是 .
12.一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是9mm,加工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少?

13．测量一座公路桥的长度，各次测得的数据是：255米，270米，265米，267米，258米．
(1)求这五次测量的平均值； (2)如以求出的平均值为基准数，用正、负数表示出各次测量的数值及平均值的差；

有理数意义测试
1、＿＿＿、＿＿＿和＿＿＿统称为整数；＿＿＿和＿＿＿统称为分数；
＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿和＿＿＿统称为有理数；
＿＿＿和＿＿＿统称为非负数；＿＿＿和＿＿＿统称为非正数；
＿＿＿和＿＿＿统称为非正整数；＿＿＿和＿＿＿统称为非负整数；
2、6，2005，，0，-3，+1，，-6.8中，正整数和负分数共有…（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3、下列不是有理数的是（ ）
A、-3.14 B、0 C、 D、π
4、既是分数又是正数的是（ ）
A、+2 B、- C、0 D、2.3
5、下列说法正确的是（ ）
A、正数、0、负数统称为有理数 B、分数和整数统称为有理数
C、正有理数、负有理数统称为有理数 D、以上都不对
6、-a一定是（ ）
A、正数 B、负数 C、正数或负数 D、正数或零或负数
7、下列说法中，错误的有（ ）
①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（ ）
A、0 B、1 C、-2 D、-3.5
9、简答题：
（1）-1和0之间还有负数吗？如有，请列举。
（2）-3和-1之间有负整数吗？-2和2之间有哪些整数？
（3）有比-1大的负整数吗？有比1小的正整数吗？
（4）写出三个大于-105小于-100的有理数。
家庭作业
1、把下列各数填入它所属的集合.
-1、-2、0、+3.4、、、5%、-（-4）、、-0.72
自然数集： ； 负整数集： ；
分数集： ； 正数集： ；
整数集： ； 有理数集： .
2、（1）如果把上升20m记作+20m，那么下降15m记作 .
（2）海平面的高度一般用 m表示，比海平面高8848m的山峰处，它的高度记作海拔 m，比海平面低11034m的海沟处，它的高度记作海拔 m.
（3）粮食产量增产12%，记作+12%，则减产8%记作 .
3、表达出下列语句所表示的意义：
（1）向东走－100米
（2）气温上升－3℃
（3）支出－100元
4、某项科学研究以45分钟为1个时间单位，并记为每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如，9:15记为-1，10:45记为+1等等。依此类推，上午7:45应记为________.
5、一年内，小明体重增加了3kg，记作＋3kg，小杰体重减少了2kg，则小杰体重增长了 .
6、最小的正整数是 ，最大的负整数是 .
7、若整数x满足-518<x<2005，那么这样的x共有 个，它们的积为 .
8、按照规律填写：-1，2，-3，4，-5， ， ， ……，第81个数是 ，第2005个数是 .
9、-a不是正数，那么a一定是（ ）
A、负数 B、正数 C、正数或零 D、负数或零
10、数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－4，+11，－7，0,则这五名同学的实际成绩分别为多少？

数 轴
一、学前思考：
小学的时候我们已经学过了数轴，同学们还记得什么是数轴吗？如何去画数轴？
二、认识新知识
1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.如图所示：

注：①数轴三要素：原点，正方向、单位长度；
②数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
③原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向.

数轴的画法：先画一条水平的直线，再在这条直线上画出数轴的三要素即可.

【例1】下面是数轴的是 （ ）

A B.

C. D.
2、数轴的性质：
（1）数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数.
（3）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.
【例2】画数轴用数轴上的点表示下列各数，并用小于符号连接

注意：

练习：①、指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数．

②、在数轴上，已知点A表示的数为-2，点B也是数轴上的点，且AB的长是5个单位长度，则点B表示的数
是多少？

3、相反数的概念
问题：3和-3，4和-4，和这三对数有什么共同点及不同点？

（1）只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数.
问：0的相反数是？

（2）正数、负数、零的相反数：
通常情况下，在一个数的前面加上一个负号就得到了这个数的相反数，但对于0来说，+0=0，-0=0，所以0的相反数是它本身.
即：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；零的相反数是它本身.

注意：相反数第成对的，指的是两个数，单个的或超过两个数都不能称为相反数.
【例3】求下列各数的相反数
（1） （2） （3） （4） （5） (6)

练习：下列说法正确的是（ ）
A.只有符号不同的两个数是互为相反数，因此零没有相反数
B.两个符号不同的数一定是相反数.
C.相反数等于本身的数是唯一的，这个唯一的数是零.
D. 的相反数是4.

4、相反数的几何意义
在数轴上，表示互为相反数的两个点，它们分别位于原点的两侧，且及原点的距离相等.
如图：-a及a互为相反数，且表示-a及a的两点及原点的距离也相等.

【例4】已知及-5互为相反数，求x的值.

练习：如果及互为相反数，求的值.

三、课堂练习
一）填空题
1.在数轴上，－0.01表示A点，－0.1表示B点，则离原点较近的是_______.
2.在所有大于负数的数中最小的数是_______.
3.在所有小于正数的数中最大的数是_______.
4.在数轴上有一个点，已知离原点的距离是3个单位长度，这个点表示的数为_______.
5.已知数轴上的一个点表示的数为3，这个点离开原点的距离一定是_______个单位长度.
（二）判断题
1.－的相反数是3. （ ）
2.规定了正方向的直线叫数轴. （ ）
3.数轴上表示数0的点叫做原点. （ ）
4.如果A、B两点表示两个相邻的整数，那么这两点之间的距离是一个单位长度.（ ）
5.如果A、B两点之间的距离是一个单位长度，那么这两点表示的数一定是两个相邻的整数.（ ）
（三）选择题
3.下列各式中正确的是（ ）
A.－3.14<－π B.－1>－1 C.3.5>－3.4 D.－<－2
4.下列说法错误的是（ ）
A.零是最小的整数 B.有最大的负整数，没有最大的正整数
C.数轴上两点表示的数分别是－2及－2，那么－2在右边
D.所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来
（四）解答题
1、下图是一个长方体纸盒的展开图，请把－5,3,5,－1,－3,1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数.

2、已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请利用数轴及其相反数的知识比较a，-a，b，-b的大小，用“>”
连接起来.

绝对值
一、学前思考：

小明家及小丽家离学校有多远？（单位长度表示1千米）.
二、认识新知识
1、绝对值的定义（几何意义）
在数轴上，把表示数a的点及原点的距离叫做数a的绝对值.记作，读作“a的绝对值”.
如：在数轴上表示-1的点到原点的距离是1，所以-1的绝对值是1，记作，读作“-1的绝对值等于1”.
【注】：

【例1】a、b、c三个数在数轴上所对应的点的位置如图所示，，下列各式中错误的是（ ）

A. b<a B. c<b C. D.

问题：如何求一个数的绝对值？

2、求一个数的绝对值的法则（绝对值的代数意义）
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.它既可以说成“本身”，又可以说成“相反数”.
【注】

【例2】下列说法正，正确的个数是 （ ）
①一个正数的绝对值等于它本身； ②绝对值等于本身的数是正数；
③绝对值等于它的相反数的数是负数； ④一个负数的绝对值等于它的相反数.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

练习：求下列各数的绝对值：-4，13，0，，-1.7

问题：如何比较及的大小?

3、有理数大小的比较
（1）利用绝对值比较两个负数大小的法则：两个负数，绝对值大的反而小；绝对值小的，反而大.
注：绝对值大，说明离原点远，而负数在原点左侧，数轴上的点表示的数是“左小又大”，所以绝对值大的反而小.
（2）对于任意的有理数的大小比较应采用：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

【例3】把下列各数填在横线上.
、、0.65、、
_______<_______<______<_______<________
练习：已知，比较及的大小.

4利用数轴解决及绝对值相关的问题。
例4： 有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（ ）

A． B． C． D．

变式练习：
1、有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 。

2、已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是 。

① ② ③ ④
5绝对值.非负性的应用
例5：若，则 。
变式练习
1、若，则 。
2、若，则 。
【方法总结】：若干非负数之和为0， 。
三、课堂练习
（一）填空题
1.一个数a及原点的距离叫做该数的_______.
2.－|－|=_______，－（－）=_______，－|+|=_______，－（+）=_______，+|－（）|=_______，+（－）=_______.
3._______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身.
4.a+b=0,则a及b_______.
5.若|x|=，则x的相反数是_______.
6.若|m－1|=m－1,则m_______1；若|m－1|>m－1,则m_______1.
若|x|=|－4|,则x=_______；若|－x|=||,则x=_______.
（二）选择题
1.|x|=2,则这个数是（ ）
A.2 B.2和－2
C.－2 D.以上都错
2.|a|=－a，则a一定是（ ）
A.负数 B.正数 C.非正数 D.非负数
3.一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（ ）
A.－m B.m C.±m D.2m
4.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）
A.正数 B.负数
C.正数、零 D.负数、零
5.下列说法中，正确的是（ ）
A.一个有理数的绝对值不小于它自身
B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等
C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数
D.－a的绝对值等于a
（三）判断题
1.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等. （ ）
2.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等. （ ）
3.若x<y<0,则|x|<|y|. （ ）
（四）解答题
1. 若2<a<4,化简|2－a|+|a－4|.

2. a、b、c三个数在数轴上所对应的点的位置如图所示，试化简

3.已知：，，且，求a、b的值.

家庭作业
一、填空题
1.互为相反数的两个数的绝对值_____.
2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.
3.－的绝对值是_____.
4.绝对值最小的数是_____.
5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.
6.若b＜0且a=|b|，则a及b的关系是______.
7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.
8.如果|a|＞a，那么a是_____.
9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.
10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.
－， ，|－|，0，|－5.1|
11.如果－|a|=|a|，那么a=_____.
12.已知|a|+|b|+|c|=0，则a=_____，b=_____，c=_____.
13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）
（1）－_____|－| （2）|－|_____0 （3）|－|_____|－| （4）－_____－
14.计算
（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－|×5.2=_____（3）|－|－=_____ （4）－3－|－5.3|=_____
二、选择题
15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）
A.大于0 B.小于0 C.不大于0 D.不小于0
16.若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b一定是（ ）
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
17.下列说法正确的是（ ）
A.一个有理数的绝对值一定大于它本身 B.只有正数的绝对值等于它本身
C.负数的绝对值是它的相反数 D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数
18.下列结论正确的是（ ）
A.若|x|=|y|，则x=－y B.若x=－y，则|x|=|y|
C.若|a|＜|b|，则a＜b D.若a＜b，则|a|＜|b|
三、解答题
19. 把－3.5、|－2|、－1.5、|0|、3、|－3.5|记在数轴上，并按从小到大的顺序排列出来.

20. 若2<a<4,化简|2－a|+|a－4|.

21. 若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算:（1）x,y,z的值；（2）求|x|+|y|+|z|的值.

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