高中理科数学计数问题排列组合.docx

理科数学复习专题 统计与概率
排列组合
一．根本计数原理
1．加法原理：做一件事有n类方法，完成这件事方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，完成这件事方法数等于各步方法数相乘。
注：要求做一件事有多少种方法，一般先分类，再分步。
例：用ABCD四个字母和1-9九个数字中各取一个给教室座位编号，可以编出几种号码？

练：从3名教师，8名男生，5名女生中选人参加活动。
〔1〕活动只需一人参加，有几种选法？
〔2〕活动需一名教师，一名男生，一名女生参加，有几种选法？
〔3〕活动需一名教师，一名学生参加，有几种选法？

题型总结
※重排问题〔元素可以重复选取〕
例：(1)将5本书分给3个不同学生，有几种分法
(2)将3个人分到5个不同车间工作，有几种分法？

练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科冠军，每门学科一名冠军，可能出现几种结果？

※组数问题〔特殊位置、特殊元素优先考虑〕
例：〔1〕用1、2、3、4、5可以组成多少个四位偶数
〔2〕用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字四位偶数
〔3〕用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字四位偶数

※选取问题〔优先安排“全能者〞〕
例：艺术小组共有9人，每人至少会钢琴和小号一种乐器，其中会钢琴有7人，会小号有3人。从中选一人参加钢琴比赛，一人参加小号比赛。总共有几种选取方案？

练：艺术小组共有9人，只会钢琴有5人，只会小号有2人，全能有2人，从中选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。总共有几种选取方案？

※涂色问题
例：将红、黄、绿、黑四种不同颜色涂入下列图五个区域内，要求相邻两个区域颜色都不一样，那么有几种不同涂色方法

C
B
A
D
练：如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻2块种不同花，那么不同种法总数是_______

二、排列：
例：从甲、乙、丙3个人中选2个人清扫卫生，1个上午，1个下午，几种选法？

总结：从n个元素中选出m个进展排列，总共有几种选法？

1． 排列概念：从个不同元素中，任取〔〕个元素〔这里被取元素各不一样〕按照一定顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素一个排列
【说明】排列定义包括两个方面：①取出元素，②按一定顺序排列；
2．排列数定义：从个不同元素中，任取〔〕个元素所有排列个数叫做从个元素中取出元素排列数，用符号表示
注意区别排列和排列数不同：“一个排列〞是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定顺序排成一列，不是数；“排列数〞是指从个不同元素中，任取〔〕个元素所有排列个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体排列
3．排列数公式及其推导：
〔〕
全排列数：〔叫做n阶乘〕
题型总结
※ 计算排列数
计算：

※ 用排列解决计数问题
〔1〕特殊优先原那么〔2〕相邻元素捆绑法
〔3〕不相邻元素插空法〔4〕定序问题倍缩法
例：①用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字四位偶数
②用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字四位偶数

例：用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)偶数数字从左向右从小到大排列．

练：3个男生4个女生站成一排
（1） 甲只能排在中间或排在两端〔2〕甲和乙只能站在两端
(3) 甲不站最左端，乙不站最右端 ( 4) 所有男生站一起
(5) 所有男生站一起，所有女生站一起 (6)男生不能相邻
(7) 甲乙中间有两人 (8)甲在乙右边

排列问题 综合练习
1、摄影师要为5名学生和2位教师拍照，要求排成一排，2位教师相邻且不排在两端，不同排法共有 ( )
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种

2、有6个座位连成一排，现有3人就坐，那么恰有两个空座位相邻不同坐法有 〔 〕
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

3、一排9个座位坐了3个三口之家，假设每家人坐在一起不同坐法种数为〔 〕
A、 B、 C. D.

4、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校任两名学生不能相邻，那么不同排法有〔 〕
A、36种 B、72种 C、108种 D、120种

5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起去动物园游玩，购票后需要排队依次入园，为平安起见，首尾一定要排两位爸爸，两个小孩一定要排在一起，那么这6个人入园顺序排法数共有 〔 〕
A、12 B、24 C、36 D、48

6、公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同下车方式共有〔 〕
A、15种 B、24种 C、360种 D、480种

7、在学校一次演讲比赛中，高一，高二，高三分别有1名，2名，3名同学获奖，将这6名同学排成一排合影，要求同年级同学相邻，那么不同排法共有〔 〕
A、6种 B、36种 C、72种 D、120种

8、由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻六位偶数个数是_____

9、电视台某段时间连续播放5个广告，其中有3个不同商业广告和2个不同奥运宣传广告，要求最后播放必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，那么不同播放方式有〔 〕
A．120种 B．48种 C．36种 D．18种
10、甲、乙、丙、丁四种不同种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同试种方法共有〔 〕

11、某中学一天课表有6节课， 其中上午4节， 下午2节， 要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，那么不同排法共有(　　)
A．600种　　 　B．480种　　　 C．408种　　　 D．384种
12、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大五位偶数共有〔　　〕
〔A〕288个 〔B〕240个 〔C〕144个 〔D〕126个

13、6位同学排成三排，每排2人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样排法有__种

14、A，B，C，D，E五个元素排成一列，假设A在B 前面且D在E前面，那么有_____种不同排法.

15、安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班1天，其中甲乙二人都安排在10月1日和10月2日，不同安排方法共有________种。

16、如图，用6种不同颜色给图中4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求
最多使用3种颜色且相邻两个格子颜色不同，那么不同涂色方法共有_________种

17、所有无重复数字四位数中，千位上数字比个位上数字大2数共有_____个。
18、在制作飞机某一零件时，要先后实施6个工序．工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C实施时必须相邻，那么实施顺序编排方法共有(　　)
A. 34种　　 B. 48种 C. 96种　　 D. 108种

三、组合：
例：以下两个问题有何区别？
〔1〕从甲乙丙三名同学中选出两人参加两个不同活动，有几种选法？

〔2〕从甲乙丙三名同学中选出两人参加一个活动，有几种选法？

1组合概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排〞——无序性；
2．组合数概念：从个不同元素中取出个元素所有组合个数，叫做从 个不同元素中取出个元素组合数．用符号表示．
3．组合数公式推导：
〔1〕一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．
〔2〕组合数公式：
或

考前须知
1.排列与组合，排列与组合最根本区别在于“有序〞和“无序〞．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．
2. (1)排列数公式A＝
(2)组合数公式C＝利用这两个公式可计算排列问题中排列数和组合问题中组合数．
①解决排列组合综合问题可遵循“先组合后排列〞原那么，区分排列组合问题主要是判断“有序〞和“无序〞，更重要是弄清怎样算法有序，怎样算法无序，关键是在计算中表达“有序〞和“无序〞．
②要能够写出所有符合条件排列或组合，尽可能使写出排列或组合与计算排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题理解，检验算法正确与否，又可以对排列数或组合数较小问题解决起到事半功倍效果．
3.求解排列组合问题思路：“有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．〞
题型总结
※ 组合计算

※ 用组合解决计数问题：选取问题
例：男、女生共有8人，假设从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同选法，那么女生有(　　)
A. 2人或3人　　B. 3人或4人 C. 3人　　 D. 4人
练：甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选课程中恰有1门一样选法有多少种？(2)甲、乙所选课程中至少有一门不一样选法有多少种？

练：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，假设从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品不同取法有多少种？

四、排列组合综合应用：分组分配问题
※先分组，再分配
例. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，那么不同选法共有多少种？

※不同元素分组分配问题
〔注：平均分组注意：__________________________________〕
例：6本不同书
〔1〕分三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本
〔2〕平均分三堆
〔3〕平均分三堆，再分给甲、乙、丙3个人

练：4个不同球，4个不同盒子
〔1〕把球都放入盒内，有几种放法？
〔2〕一个盒子只放一个球，有几种放法？
〔3〕恰有一盒空盒，有几种放法？
〔4〕恰有两个盒子不放球，共几种放法？

※一样元素分组分配问题：隔板法
例：4个一样小球，放入2个不同盒子，有几种不同放法？

练：将10个特长生录取名额分给7个学校，每个学校至少1个名额，有几种不同分配方案？

排列组合 综合练习
1、从两名教师和四名学生中选出四人排成一排照相，其中教师必须入选且相邻，共有________排列方法
2、盒中有10个大小，形状完全一样小球，其中8个白球，2个红球，那么从中任取2球，至少有1个白球概率是___________
3、从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，那么选法总数应为〔 〕
A． B． C． D．
4、为保证青运会期间比赛顺利进展，4名志愿者被分配到3个场馆为运发动提供效劳，每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆条件下，场馆有两名志愿者概率为___________
5、某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同发言顺序有〔 〕种
〔A〕30 〔B〕600 〔C〕720 〔D〕840
6、某班要从A,B,C,D,E五人中选出三人担任班委中三种不同职务，那么上届任职A,B,C三人都不连任原职务方法种数为〔 〕
〔A〕30 〔B〕32 〔C〕36 〔D〕 48
7、书架上原来并排放着5本不同书，现要再插入3本不同书，那么不同插入方法共有〔 〕
A．336种 B．120种 C．24种 D．18种
8、淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中3个班去作学习经历交流，那么每个班至少去一名同学不同分派方法种数为〔 〕
A．150 B．180 C．200 D．280
9、位男生和 位女生共位同学站成一排，那么男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻概率是〔 〕
A． B． C． D．
10、在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，那么不同分配方法总数为 ．
11、两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，那么不同排法种数有 ．
12、将5名学生分配到3个不同社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一名学生方案种数为________.
13、把尾号分别为1,2,3,4,55张世园会参观券全局部给4个人，每人至少1张，如果分给同一个人2张参观券连号，那么不同分法种数是 。
14、在报名5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者效劳，要求男生、女生都有，那么不同选取方法种数为 〔结果用数值表示〕.
15、某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，那么不同安排方法有〔 〕种
A．24 B ．48 C．96 D．114