高中数学导数组卷.doc

高中数学导数组卷2

2016年02月16日的高中数学导数组卷2

一．选择题（共30小题）
1．（2015•陕西）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（　　）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数

2．（2015•衡阳县校级三模）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）
A． B． C． D．

3．（2015•德阳模拟）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=x2，且在（0，+∞）上，f′（x）＞x．若有f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）

4．（2015•太原二模）已知函数f（x）的导函数在（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f（x）在[a，b]上的图象可能是（　　）
A． B． C． D．

5．（2015•南昌三模）己知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（3，+∞） B．（1，3） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，3]

6．（2015•南昌校级模拟）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）=x+sinx B．f（x）=
C．f（x）=xcosx D．f（x）=x（x﹣）（x﹣）

7．（2015•郑州二模）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（　　）

A．﹣1 B．0 C．2 D．4

8．（2015•天水校级模拟）若函数f（x）=x3+x2+mx+1对任意x1，x2∈R满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

9．（2015•江西校级一模）若函数f（x）=在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞16 B．a≥16 C．a＜16 D．a≤16

10．（2015•吉林校级四模）已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（　　）
A．a＞e B．x1+x2＞2
C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0

11．（2015•兰州校级三模）函数f（x）=（x﹣a）ex在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3]∪[4，+∞） B．[3，4] C．（﹣∞，3] D．[4，+∞）

12．（2015春•重庆期末）下列结论中正确的是（　　）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值
C．如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值
D．如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值

13．（2015•惠州模拟）下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是（　　）
A．y=x3 B． C．y=x•e﹣x D．y=ln（﹣x）

14．（2015春•宁德期末）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）在x=x1处取得极小值
B．函数f（x）在x=x3处取得极大值
C．函数f（x）的单调递减区间是（x2，x3）
D．函数f（x）无极大值

15．（2015春•天津校级期中）已知函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜ B．a≤ C．a＜且a≠0 D．a＜或a≠0

16．（2015•腾冲县一模）已知函数f（x）=x2﹣2x+1+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（　　）
A．f（x2）＜﹣ B．f（x2）＜ C．f（x2）＞ D．f（x2）＞

17．（2015春•海淀区期末）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=（x+1）3ex+1，那么函数f（x）的极值点的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2

18．（2015秋•深圳期末）函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（　　）
A．极大值5，无极小值 B．极小值﹣27，无极大值
C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11

19．（2015春•福建期末）如图是函数f（x）的导函数f′（x）的图象．现给出如下结论：
①f（x）在（﹣3，﹣1）上是增函数；
②x=4是f（x）的极小值点；
③f（x）在（﹣1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数；
④x=﹣1一定是f（x）的零点．
其中正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

20．（2015•泰安二模）已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（　　）
A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6

21．（2015•天津校级模拟）已知函数f（x）=xex，则f（x）min=（　　）
A．﹣1 B．﹣e C．﹣ D．不存在

22．（2015春•吉林校级期中）函数f（x）=ex﹣ex在[0，2]上的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．e﹣2 D．e（e﹣2）

23．（2015春•万州区校级月考）函数f（x）=﹣x3+3x在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2] D．（1，4）

24．（2014秋•湛江期中）若存在x∈（0，1），使x﹣a＞log0.5x成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，+∞）

25．（2015•江西二模）若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（　　）
A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0

26．（2015•福建模拟）函数f（x）=﹣x3+3x2﹣4的图象在x=1处的切线方程为（　　）
A．x+3y+5=0 B．3x﹣y﹣5=0 C．3x+y﹣1=0 D．x﹣3y﹣7=0

27．（2015•大庆二模）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x+，则及f（x）图象相切的斜率最小的切线方程为（　　）
A．2x﹣y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣3=0

28．（2015•宝鸡二模）设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣2）x的导函数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（　　）
A．y=4x B．y=3x C．y=﹣3x D．y=﹣2x

29．（2015•东城区一模）记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，则（　　）
A．f′（x0）=2 B．f′（x0）=1 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）=﹣1

30．（2015•鄂州三模）曲线y=lnx在点A（e，1）处的切线斜率为 （　　）
A．1 B．2 C． D．e

2016年02月16日的高中数学导数组卷2
参考答案及试题解析

一．选择题（共30小题）
1．（2015•陕西）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（　　）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【考点】函数的单调性及导数的关系；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．
【专题】三角函数的图像及性质．
【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．
【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），
可得f（x）为奇函数．
再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．

2．（2015•衡阳县校级三模）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的单调性及导数的关系．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．
【解答】解：不可能正确的是D．
因为把上面的作为函数：在最左边单调递增，其导数应为大于0，但是其导函数的值小于0，故不正确；
同样把下面的作为函数，中间一段是减函数，导函数应该小于0，也不正确．因此D不正确．
故选：D．
【点评】本题考查导数及函数单调性的关系，属于一道基础题．

3．（2015•德阳模拟）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=x2，且在（0，+∞）上，f′（x）＞x．若有f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
【考点】函数的单调性及导数的关系．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】可构造函数g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得 2﹣a≥a，由此解得a的范围．
【解答】解：解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2 +f（﹣x）﹣x2 =0，
令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）x2+f（x）x2=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．
f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）≥f（a），
即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造出关于a的不等式求解的思路，本题的关键是由已知条件构造出关于函数g（x）=f（x）﹣，然后结合其奇偶性解题是本题的关键．

4．（2015•太原二模）已知函数f（x）的导函数在（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f（x）在[a，b]上的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的单调性及导数的关系．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】对于A、B、C，由图象得出在a处及b处切线的斜率不等，即可排除答案；
对于D，由图象得出是中心对称图形，对称中心是直线x=及原函数的交点，由此判断命题成立．
【解答】解：函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，
∴导函数的图象无增减性，或在直线x=的两侧单调性相反；
对于A，由图知，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，∴导函数图象不关于直线 x=对称，A不成立；
对于B，由图知，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，∴导函数图象不关于直线x=对称，B不成立；
对于C，由图知，在a处切线的斜率最小，在b处切线的斜率最大，其导函数图象不关于直线 x=对称，C不成立；
对于D，由图知，原函数是中心对称函数，对称中心在直线x=及原函数图象的交点处，
∴导函数图象关于直线 x=对称，D成立．
故选 D．
【点评】本题考查了利用函数的导数判断函数增减性的应用问题，也考查了函数导数的几何意义的应用问题，是基础题目．

5．（2015•南昌三模）己知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（3，+∞） B．（1，3） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，3]
【考点】函数的单调性及导数的关系．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】由f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得f′（x）=3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数a后求出函数y=3x2在[1，+∞）上的最小值得答案．
【解答】解：∵f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）=3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．
即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．
∵y=3x2在[1，+∞）上为增函数，∴ymin=3．
∴a≤3．
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性及导函数符号间的关系，考查分离参数方法，是基础题．

6．（2015•南昌校级模拟）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）=x+sinx B．f（x）=
C．f（x）=xcosx D．f（x）=x（x﹣）（x﹣）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用排除法，根据函数的奇偶性可以排除D，根据特殊点可以排除B，根据单调性可以排除A，问题得以解决．
【解答】解：由图象关于原点对称，所以函数f（x）为奇函数，可排除D，
又图象过原点，可排除B，
又当f（x）=x+sinx时，f′（x）=1+cosx≥0，此时函数f（x）在R上为增函数，可排除A，
故选：C
【点评】本题考查了函数图象的识别，经常要利用函数的奇偶性，单调性，特殊点，属于基础题．

7．（2015•郑州二模）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（　　）

A．﹣1 B．0 C．2 D．4
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．
【解答】解：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，
∴f（3）=1，
又点（3，1）在直线L上，
∴3k+2=1，从而k=，
∴f′（3）=k=，
∵g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+xf′（x）
则g′（3）=f（3）+3f′（3）
=1+3×（）
=0，
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率．

8．（2015•天水校级模拟）若函数f（x）=x3+x2+mx+1对任意x1，x2∈R满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】由已知可分析出函数的单调性，进而根据单调性及导数的符号的关系，可构造关于m的不等式，解不等式可得答案．
【解答】解：∵对任意x1，x2∈R满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，
∴函数f（x）是R上的单调增函数，
∴f′（x）=3x2+2x+m≥0在R上恒成立，
即△=4﹣12m≤0，
∴．
故选D
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中熟练掌握单调性及导数的符号的关系，是解答本题的关键．

9．（2015•江西校级一模）若函数f（x）=在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞16 B．a≥16 C．a＜16 D．a≤16
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域R上有且只有一个零点，即可求出a的取值范围．
【解答】解：①当x≤0时，f（x）=x+3x．
∵函数y=x及y=3x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）=x+3x在区间（﹣∞，0]上也单调递增．
又f（﹣1）＜0，f（0）=1＞0，
∴函数f（x）在（﹣1，0）内有一个零点，如图所示．
②当x＞0时，f（x）=﹣4x+．
∴f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有且只有一个零点，且由（1）可知在区间（﹣1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上没有零点，
∴必须满足f（2）＞0，即，解得a＞16．
故选：A．

【点评】利用导数得出函数的单调性并画出图象是解题的关键．

10．（2015•吉林校级四模）已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（　　）
A．a＞e B．x1+x2＞2
C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax，
∴f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=ex﹣a＞0，
①当a≤0时，f′（x）=ex﹣a＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．
②当a＞0时，∵f′（x）=ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
∵函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，
∴f（lna）＜0，a＞0，
∴elna﹣alna＜0，
∴a＞e，A正确；
a=，f（2）=e2﹣2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，正确；
f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1，不正确；
f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，正确．

故选：C．
【点评】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．

11．（2015•兰州校级三模）函数f（x）=（x﹣a）ex在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3]∪[4，+∞） B．[3，4] C．（﹣∞，3] D．[4，+∞）
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】由函数f（x）=（x﹣a）ex在区间（2，3）内没有极值点，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间（2，3）内恒成立，进而可得实数a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=（x﹣a）ex，
∴f′（x）=（x+1﹣a）ex，
∵函数f（x）=（x﹣a）ex在区间（2，3）内没有极值点，
∴x+1﹣a≥0或x+1﹣a≤0在区间（2，3）内恒成立，
即a≤x+1或a≥x+1在区间（2，3）内恒成立，
∴a≤3或a≥4．
故实数a的取值范围是（﹣∞，3]∪[4，+∞），
故选A．
【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将函数在定区间上无极值，转化为f′（x）≥0或f′（x）≤0在定区间上恒成立，是解答的关键．

12．（2015春•重庆期末）下列结论中正确的是（　　）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值
C．如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值
D．如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】综合题．
【分析】根据导函数的根为x0，且在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值；
导函数的根为x0，且在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极小值，判断出选项．
【解答】解：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故A错
如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，则函数先增后减，则f（x0）是极大值
如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，则函数先减后增，则f（x0）是极小值
故选B
【点评】本题考查函数极值点处的导数为0，且极值点左右两边的导函数符号相反．

13．（2015•惠州模拟）下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是（　　）
A．y=x3 B． C．y=x•e﹣x D．y=ln（﹣x）
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】判断A没有极值，C，D不是奇函数，判断推出结果．
【解答】解：由选项可知，A选项y=x3单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，
函数满足f（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数，
x＞0时，，当且仅当x=1时取得最小值，x＞0时有极小值．
同理可得，当x＜0时，≤﹣2，当且仅当x=﹣1时取得最大值，也是极大值．
即B选项既为奇函数又存在极值．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性，函数的极值，考查计算能力．

14．（2015春•宁德期末）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）在x=x1处取得极小值
B．函数f（x）在x=x3处取得极大值
C．函数f（x）的单调递减区间是（x2，x3）
D．函数f（x）无极大值
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】直接利用导函数的图象的值域，判断函数的单调性即可．
【解答】解：函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，
可得x∈（﹣∞，x2），（x3，+∞），f′（x）＞0，所以函数f（x）是增函数．x∈（x2，x3），f′（x）＜0，函数是减函数．
函数f（x）在x=x2时取极大值，在x=x3，函数取得极小值，
所以选项C正确．
故选：C．
【点评】本题考查函数的导数以及函数的图象的应用，考查基本知识的应用．

15．（2015春•天津校级期中）已知函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜ B．a≤ C．a＜且a≠0 D．a＜或a≠0
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值又有极小值，可以得到△＞0，进而可解出a的范围．
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7，
∴f'（x）=3ax2﹣4x+4
∵函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，
∴△=（﹣4）2﹣4×3a×4＞0且a≠0
∴a＜且a≠0
故选：C
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．

16．（2015•腾冲县一模）已知函数f（x）=x2﹣2x+1+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（　　）
A．f（x2）＜﹣ B．f（x2）＜ C．f（x2）＞ D．f（x2）＞
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，由x1、x2的关系，用x2把a表示出来，求出f（x2）的表达式最小值即可．
【解答】解：由题意，f（x）=x2﹣2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x﹣2+=；
∵f（x）有两个极值点x1，x2，
∴f′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，
∵0＜x1＜x2，且x1+x2=1，
∴＜x2＜1，a=2x2﹣2x22，
∴f（x2）=x22﹣2x2+1+（2x2﹣2x22）lnx2．
令g（t）=t2﹣2t+1+（2t﹣2t2）lnt，其中＜t＜1，
则g′（t）=2（1﹣2t）lnt．
当t∈（，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（）=．
故f（x2）=g（x2）＞．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，研究函数的极值问题，求参数的范围问题，是一道中档题．

17．（2015春•海淀区期末）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=（x+1）3ex+1，那么函数f（x）的极值点的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】求导数确定函数的单调性，即可得出函数f（x）的极值点的个数．
【解答】解：当x≤0时，f（x）=（x+1）3ex+1，
∴f′（x）=（x+4）（x+1）2ex+1，
∴x＜﹣4时，f′（x）＜0，﹣4＜x≤0时，f′（x）＞0，
∴x=﹣4是函数的极值点，
∵f（x）是定义域为R的偶函数，
∴x=4是函数的极值点，
又f（0）=e，x＞0递增，x＜0递减，即为极值点．
故选：C．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值点，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的单调性是关键．

18．（2015秋•深圳期末）函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（　　）
A．极大值5，无极小值 B．极小值﹣27，无极大值
C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，得到函数极值即可．
【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，
由于﹣2＜x＜2，
则当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，
当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．
故选：A
【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，属于基础题

19．（2015春•福建期末）如图是函数f（x）的导函数f′（x）的图象．现给出如下结论：
①f（x）在（﹣3，﹣1）上是增函数；
②x=4是f（x）的极小值点；
③f（x）在（﹣1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数；
④x=﹣1一定是f（x）的零点．
其中正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】根据图象求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，进而得到答案．
【解答】解：由图象得：x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，
2＜x＜4时，f′（x）＜0，x＞4时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，4）递减，在（﹣1，2），（4，+∞）递增，
∴在x=﹣1，4处，函数取得极小值，在x=2处，函数取得极大值，
故②③正确，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．

20．（2015•泰安二模）已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（　　）
A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】先求导数，然后分析发现导数是由一个奇函数和常数的和，然后利用函数的奇偶性容易解决问题．
【解答】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，
令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，
由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，
从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．
故选C．
【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．

21．（2015•天津校级模拟）已知函数f（x）=xex，则f（x）min=（　　）
A．﹣1 B．﹣e C．﹣ D．不存在
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．
【解答】解：求导函数，可得y′=ex+xex，令y′=0可得x=﹣1，
令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1，
∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增，
∴x=﹣1时，函数y=xex取得最小值，最小值是﹣，
故选：C．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性及最值，属于基础题．

22．（2015春•吉林校级期中）函数f（x）=ex﹣ex在[0，2]上的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．e﹣2 D．e（e﹣2）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值．
【解答】解：f′（x）=ex﹣e，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0≤x＜1，
∴函数f（x）在[0，1）递减，在（1，2]递增，
∴函数f（x）的最大值是f（0）或f（2），
而f（0）=1＜f（2）=e2﹣2e=e（e﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．

23．（2015春•万州区校级月考）函数f（x）=﹣x3+3x在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2] D．（1，4）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求函数f（x）=﹣x3+3x的导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间（a2﹣12，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a2﹣12，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围
【解答】解：解：由题 f'（x）=3﹣3x2，
令f'（x）＞0解得﹣1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜﹣1或x＞1
由此得函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∵f（0）=0，∴函数f（x）=﹣x3+3x在R上的图象大体如下：

故函数在x=﹣1处取到极小值﹣2，判断知此极小值必是区间（a2﹣12，a）上的最小值
∴a2﹣12＜﹣1＜a，解得﹣1＜a＜，
又当x=2时，f（2）=﹣2，故有a≤2
综上知a∈（﹣1，2]
故选：C．
【点评】本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．

24．（2014秋•湛江期中）若存在x∈（0，1），使x﹣a＞log0.5x成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】此不等式属于超越不等式，因此借助于图象来解，注意是存在x∈（0，1），所以只要直线y=x﹣a上至少有一个点在y=log0.5x的上方即可，所以只需考虑端点处的图象间的关系即可．
【解答】解：在一个坐标系内做出函数y=x﹣a和y=log0.5x的图象，如图所示：

当直线y=x﹣a恰好经过（1，0）时，在区间（0，1）上y=x﹣a恰好不存在点在y=log0.5x图象的上方．
此时直线y=x﹣a及y轴交于点（0，﹣1），﹣a=﹣1，当直线y=x﹣a沿y轴向上移动时，就会在区间（0，1）上一直存在x，使原不等式成立．
此应有﹣a＞﹣1，即a＜1．
故选C．
【点评】本题考查了利用数形结合的思想解决一些超越不等式解的存在性问题，要注意作图的合理性．

25．（2015•江西二模）若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（　　）
A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】计算题；导数的概念及应用；直线及圆．
【分析】由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．
【解答】解：因为f（x）=mxα为幂函数，故m=1，
又图象经过点A（，），则有=，
则α=，
即有f（x）=．
则f′（x）=，
则f（x）在点A处的切线斜率为•=1，
则有切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．
故选：C．
【点评】本题考查幂函数的定义，主要考查导数的运用：求切线方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．

26．（2015•福建模拟）函数f（x）=﹣x3+3x2﹣4的图象在x=1处的切线方程为（　　）
A．x+3y+5=0 B．3x﹣y﹣5=0 C．3x+y﹣1=0 D．x﹣3y﹣7=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
【解答】解：∵f（x）=﹣x3+3x2﹣4，
∴f'（x）=﹣3x2+6x，在x=1处的切线斜率k=3，
又∵f（1）=﹣2，切点为（1，﹣2），
∴切线方程为y+2=3（x﹣1）化简得3x﹣y﹣5=0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理能力，属于基础题．

27．（2015•大庆二模）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x+，则及f（x）图象相切的斜率最小的切线方程为（　　）
A．2x﹣y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣3=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】先对函数f（x）进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线方程的斜率，进而可求得切点的坐标，最后根据点斜式可得到切线方程．
【解答】解：∵f（x）=x3﹣2x2+3x+，∴f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1
∵当x=2时，f′（x）取到最小值为﹣1
∴f（x）=x3﹣2x2+3x+的切线中，斜率最小