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第5讲 找规律(一)
这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发觉和找寻“数列”的规律。
按肯定次序排列的一列数就叫数列。例如，
(1) 1，2，3，4，5，6，…
(2) 1，2，4，8，16，32；
(3) 1，0，0，1，0，0，1，…
(4) 1，1，2，3，5，8，13。
一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。
很多数列中的数是按肯定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发觉这些规律。
数列(1)是根据自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n。
数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项
数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。
数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即
a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，
a6=3+5=8，a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类：
第一类是数列各项只及它的项数有关，或只及它的前一项有关。例如数列(1)(2)。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。
第三类是数列本身要及其他数列对比才能发觉其规律。这类情形稍为困难些，我们用后面的例3, 例4来作一些说明。
例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)4，7，10，13，( )，…
(2)84，72，60，( )，( )；
(3)2，6，18，( )，( )，…
(4)625，125，25，( )，( )；
(5)1，4，9，16，( )，…
(6)2，6，12，20，( )，( )，…
解：通过对已知的几个数的前后两项的视察, 分析，可发觉
(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。
(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。
(3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162。
(4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1。
(5)的规律是：数列各项依次为
1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4，
所以应填5×5=25。
(6)的规律是：数列各项依次为
2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，
所以，应填 5×6=30， 6×7=42。
说明：本例中各数列的每一项都只及它的项数有关，因此an可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为
(1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；
(3)an＝2×3n-1；(4)an＝55-n；(5)an＝n2；(6)an＝n(n+1)。
这样表示的好处在于，假如求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3×100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。
例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；
(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；
(3) 3，7，10，17，27，( )；
(4) 1，2，2，4，8，32，( )。
解：通过对各数列已知的几个数的视察分析可得其规律。
(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发觉其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。
(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。
(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填( 17+27=)44。
(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8×32=)256。
例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)18，20，24，30，( )；
(2)11，12，14，18，26，( )；
(3)2，5，11，23，47，( )，( )。
解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故
a5=8+30=38。
(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
(3)视察数列前, 后项的关系，后项=前项×2+1，所以
a6=2a5+1＝2×47+1＝95，
a7＝2a6+1＝2×95+1=191。
例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；
(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。
解：(1)数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17， 22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。故应填27，60。
(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，… 中，4后面的数应为2。故应填11，2。
练习5
按其规律在下列各数列的( )内填数。
1.56，49，42，35，( )。
2.11， 15， 19， 23，( )，…
3.3，6，12，24，( )。
4.2，3，5，9，17，( )，…
5.1，3，4，7，11，( )。
6.1，3，7，13，21，( )。
7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。
8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。
9.2，5，10，17，26，( )。
10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。
11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。
(1)假如其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？
(2)假如其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？
答案及提示 练习5
1.28。
2.27。
3.48。
4.33。提示：“后项-前项”依次为1，2， 4，8，16，…
5.18。提示：后项等于前两项之和。
6.31。提示：“后项-前项”依次为2，4，6，8，10。
7.3，20。
8.11，6。
9.37。 提示：an=n2+1。
10. 24，15。提示：奇数项为15，18，21，24；偶数项为21，19，17，15。
11.(1)缺9，在7及11之间；(2)多15，因为除15以外都不是合数。
第6讲 找规律(二)
这一讲主要介绍如何发觉和找寻图形, 数表的变化规律。
例1 视察下列图形的变化规律，并根据这个规律将第四个图形补充完整。
分析及解：视察前三个图，从左至右，黑点数依次为4，3，2个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转90°，所以第四个图如右图所示。
视察图形的变化，主要从各图形的形态, 方向, 数量, 大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。
例2 在下列各组图形中找寻规律，并按此规律在“？”处填上合适的数：
解：(1)视察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故
第三个图形中的“？”=5×3×8÷2=60；
第四个图形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7。
(2)视察前两个图形中的已知数，发觉有
10=8+5-3， 8=7+4-3，
即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故
第三个图形中的“？”=12+1-5=8；
第四个图形中的“？”=7+1-5=3。
例3 找寻规律填数：
解：(1)考察上, 下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？”=35-16=19，下面那个“？”=18+16=34。
(2)从左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，…知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，…知，9下面的“？”=14。
例4 找寻规律在空格内填数：
解：(1)因为前两图中的三个数满意：
256=4×64，72=6×12，
所以，第三图中空格应填12×15=180；第四图中空格应填169÷13=13。第五图中空格应填224÷7=32。
(2)图中下面一行的数都是上一行对应数的3倍，故43下面应填43×3=129；87上面应填87÷3=29。
例5在下列表格中找寻规律，并求出“？”：
解：(1)视察每行中两边的数及中间的数的关系，发觉3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。
(2)视察每列中三数的关系，发觉1+3×2=7，7+2×2=11，所以，？=4+5×2=14。
例6 找寻规律填数：
(1)
(2)
解：(1)视察其规律知
(2)视察其规律知：
视察比较图形, 图表, 数列的变化，并能从图形, 数量间的关系中发觉规律，这种实力对于同学们今后的学习将大有好处。
练习6
找寻规律填数：
6.下图中第50个图形是△还是○？
答案及提示
练习6
1.5。提示：中间数=两腰数之和÷底边数。
2.45；1。提示：中间数= 四周三数之和×3。
3.(1)13。提示：中间数等于两边数之和。
(2)20。提示：每行的三个数都成等差数列。
4.横行依次为60，65，70，75，325；
竖行依次为40， 65， 90， 115， 325。
5.14。提示：(23＋ 5) ÷ 2=14。
6.△。
7. 714285；857142。
8. 8888886； 9876543×9。
9.36。提示：等于加式中心数的平方。
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