河北省邢台市高二数学下学期期末试卷理讲解.doc

河北省邢台市高二数学下学期期末试卷理讲解
2016-2017学年河北省邢台市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知复数z满足zi5=1+2i，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．两个变量y及x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的R2=1﹣的值如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）
A．模型1对应的R2=0.48 B．模型3对应的R2=0.15
C．模型2对应的R2=0.96 D．模型4对应的R2=0.30
3．用数学归纳法证明“凸n变形对角线的条数f（n）=”时，第一步应验证（　　）
A．n=1成立 B．n=2成立 C．n=3成立 D．n=4成立
4．下列曲线中，在x=1处切线的倾斜角为的是（　　）
A．y=x2﹣ B．y=xlnx C．y=sin（πx） D．y=x3﹣2x2
5．已知随机变量X服从正态分布N，若P=0.1359，则m等于[驸：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544]（　　）
A．103 B．104 C．105 D．106
6．把3名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，则不同的分配方法有（　　）
A．12种 B．15种 C．18种 D．20种
7．给出下面三个类比结论：
①向量，有||2=2；类比复数z，有|z|2=z2
②实数a，b有（a+b）2=a2+2ab+b2；类比向量，，有（）2=22
③实数a，b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z1，z2，有z12+z22=0，则z1=z2=0
其中类比结论正确的命题个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则关于事件“直到第二次才取到黄色球”及事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率说法正确的是（　　）
A．事件“直到第二次才取到黄色球”及事件“第一次取到白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于
B．事件“直到第二次才取到黄色球”及事件“第一次取到白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于
C．事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于
D．事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于
10．已知f（x）=，设f1（x）=f（x），fn（x）=fn﹣1[fn﹣1（x）]（n＞1，n∈N*），若fm（x）=（m∈N*），则m等于（　　）
A．9 B．10 C．11 D．126
11．3男3女共6名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有2人排在一起，则不同的排法种数为（　　）
A．144 B．160 C．180 D．240
12．已知函数f（x）=﹣（a＞0）在区间[0，1]上有极值，且函数f（x）在区间[0，1]上的最小值不小于﹣，则a的取值范围是（　　）
A．（2，5] B．（2，+∞） C．（1，4} D．[5，+∞）

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若（2x2﹣3）n展开式中第3项的二项式系数为15，则n=　 　．
14．曲线f（x）=sin（﹣x）及直线x=﹣，x=，y=0所围成的平面图形的面积为　 　．
15．已知复数z=（2a+i）（1﹣bi）的实部为2，其中a，b为正实数，则4a+（）1﹣b的最小值为　 　．
16．某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准备了A、B、C三类不同的题目，选手每答对一个A类、B类或C类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应要扣去300分、200分、100分，根据平时训练经验，选手甲答对A类、B类或C类题目的概率分别为0.6、0.75、0.85，若腰每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为　 　（填A、B或C）

三、解答题（共6小题，满分70分）
17．为了调查喜欢旅游是否及性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了50名女性和50名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图
（Ⅰ）完成下列2×2列联表：

喜欢旅游
不喜欢旅游
合计
女性

男性

合计

（2）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游及性别有关”
附：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）

18．国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
（1）求a的值；
（2）假设一月份及二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该汽车品牌在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若a=﹣4，f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．
20．已知a＞0，b＞0．
（1）求证： +≥；
（2）若c＞0，求证：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．
21．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周
自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．
（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；
（Ⅱ）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；
（Ⅲ）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．

22．已知函数f（x）=（2x+b）ex，F（x）=bx﹣lnx，b∈R．
（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；
（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．

2016-2017学年河北省邢台市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案及试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知复数z满足zi5=1+2i，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：∵zi5=1+2i，∴zi=1+2i，∴﹣i•zi=﹣i（1+2i），化为：z=2﹣i．
则=2+i在复平面内对应的点（2，1）位于第一象限．
故选：A．

2．两个变量y及x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的R2=1﹣的值如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）
A．模型1对应的R2=0.48 B．模型3对应的R2=0.15
C．模型2对应的R2=0.96 D．模型4对应的R2=0.30
【考点】BL：独立性检验．
【分析】根据回归分析中相关指数R2越接近于1，拟合效果越好，即可得出答案．
【解答】解：回归分析中，相关指数R2越接近于1，拟合效果越好；
越接近0，拟合效果越差，
由模型2对应的R2最大，其拟合效果最好．
故选：C．

3．用数学归纳法证明“凸n变形对角线的条数f（n）=”时，第一步应验证（　　）
A．n=1成立 B．n=2成立 C．n=3成立 D．n=4成立
【考点】RG：数学归纳法．
【分析】根据多边形的边数最少为3即可得出答案．
【解答】解：因为多边形至少有3条边，
故第一步只需验证n=3结论成立即可．
故选C．

4．下列曲线中，在x=1处切线的倾斜角为的是（　　）
A．y=x2﹣ B．y=xlnx C．y=sin（πx） D．y=x3﹣2x2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】分别求出四个函数的导数，由导数的几何意义，可得在x=1处切线的斜率，选出斜率为﹣1的即可．
【解答】解：在x=1处切线的倾斜角为，即有切线的斜率为tan=﹣1．
对于A，y=x2﹣的导数为y′=2x+，可得在x=1处切线的斜率为5；
对于B，y=xlnx的导数为y′=1+lnx，可得在x=1处切线的斜率为1；
对于C，y=sin（πx）的导数为y′=πcos（πx），可得在x=1处切线的斜率为πcosπ=﹣π；
对于D，y=x3﹣2x2的导数为y′=3x2﹣4x，可得在x=1处切线的斜率为3﹣4=﹣1．
故选：D．

5．已知随机变量X服从正态分布N，若P=0.1359，则m等于[驸：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544]（　　）
A．103 B．104 C．105 D．106
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据正态分布的对称性求出答案．
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N，
∴P（98＜X＜102）=0.6826，P（96＜X＜104）=0.9544，
∴P=（0.9544﹣0.6826）=0.1359，
∴m=104．
故选B．

6．把3名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，则不同的分配方法有（　　）
A．12种 B．15种 C．18种 D．20种
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先在3名新生中任选一人，安排到甲班，②、在剩下的3个班级中任选2个，安排剩下的2名新生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、由于每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，先在3名新生中任选一人，安排到甲班，
有C31=3种情况，
②、在剩下的3个班级中任选2个，安排剩下的2名新生，有A32=6种情况，
则有3×6=18种不同的分配方法；
故选：C．

7．给出下面三个类比结论：
①向量，有||2=2；类比复数z，有|z|2=z2
②实数a，b有（a+b）2=a2+2ab+b2；类比向量，，有（）2=22
③实数a，b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z1，z2，有z12+z22=0，则z1=z2=0
其中类比结论正确的命题个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】2K：命题的真假判断及应用；F3：类比推理．
【分析】对3个命题，①②通过反例判断命题的真假，②利用多项式的运算法则判断真假即可．
【解答】解：对于①：向量，有||2=2；类比复数z，有|z|2=z2，利用z=i，则|z|2=1，z2=﹣1，显然命题不正确；
对于②：实数a，b有（a+b）2=a2+2ab+b2；类比向量，，有（）2=22，满足多项式乘法原则，正确；
对于③：实数a，b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z1，z2，有z12+z22=0，则z1=z2=0，例如z1=1，z2=i，满足z12+z22=0，但是不满足z1=z2=0，所以命题不正确；
故选：B．

8．展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】DC：二项式定理的应用；C7：等可能事件的概率．
【分析】要求展开式中的有理项，只要在通项中，让x的指数为整数，求解符合条件的r，求出有理项的数目，通过古典概率的计算公式可求
【解答】解：由题意可得二项展开式的通项=
根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r=3，9共有2项，而r的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12个
所求的概率为
故选 B．

9．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则关于事件“直到第二次才取到黄色球”及事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率说法正确的是（　　）
A．事件“直到第二次才取到黄色球”及事件“第一次取到白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于
B．事件“直到第二次才取到黄色球”及事件“第一次取到白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于
C．事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于
D．事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于
【考点】C3：概率的基本性质．
【分析】设事件A表示“直到第二次才取到黄色球”，利用相互独立事件概率乘法公式能求出P（A）；设事件B表示“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”，利用条件概率计算公式能求出P（B）．
【解答】解：袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，
设事件A表示“直到第二次才取到黄色球”，
事件B表示“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”，
则P（A）==，
P（B）==．
故选：D．

10．已知f（x）=，设f1（x）=f（x），fn（x）=fn﹣1[fn﹣1（x）]（n＞1，n∈N*），若fm（x）=（m∈N*），则m等于（　　）
A．9 B．10 C．11 D．126
【考点】8I：数列及函数的综合．
【分析】通过计算f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），归纳可得fn（x）=（n∈N*），由恒等式可得m的方程，即可得到m的值．
【解答】解：f（x）=，
设f1（x）=f（x），fn（x）=fn﹣1[fn﹣1（x）]（n＞1，n∈N*），
可得f2（x）=f1[f1（x）]=f1（）==，
f3（x）=f2[f2（x）]=f2（）==，
f4（x）=f3[f3（x）]=f3（）==，
f5（x）=f4[f4（x）]=f4（）==，
…，fn（x）=（n∈N*），
由fm（x）==恒成立，
可得2m﹣2=256=28，
即有m﹣2=8，即m=10．
故选：B．

11．3男3女共6名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有2人排在一起，则不同的排法种数为（　　）
A．144 B．160 C．180 D．240
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，假设从左到右有6个位置，分2步进行分析：①、在3个男生中任选1人，安排在左端的1号位置，在女生中任选1人，安排在右端的6号位置，②、分析中间的4个位置，对5号位置分为男生和女生2种情况讨论，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，假设从左到右有6个位置，分2步进行分析：
①、要求左端排男同学，右端排女同学，
在3个男生中任选1人，安排在左端的1号位置，在女生中任选1人，安排在右端的6号位置，
有C31×C31=9种选法；
②、对5号位置分2种情况讨论：
若5号位置为女生，有2种情况，则4号位置必须为男生，有2种情况，
将剩余的2人全排列，安排在2、3号位置，有A22=2种情况，
此时有2×2×2=8种情况，
若5号位置为男生，有2种情况，
将剩余的3人全排列，安排在2、3、4号位置，有A33=6种情况，
此时有2×6=12种情况，
则剩余的4个位置有8+12=20种情况，
故有9×20=180种不同的排法；
故选：C．

12．已知函数f（x）=﹣（a＞0）在区间[0，1]上有极值，且函数f（x）在区间[0，1]上的最小值不小于﹣，则a的取值范围是（　　）
A．（2，5] B．（2，+∞） C．（1，4} D．[5，+∞）
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，根据函数f（x）在[0，1]有极值，以及函数f（x）的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：f′（x）=，
若f（x）在[0，1]上有极值，
则即，解得：a＞2，
f（x）在[0，1]先递增再递减，
故f（x）min=f（1）=﹣≥﹣，解得：a≤5，
故a∈（2，5]，
故选：A．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若（2x2﹣3）n展开式中第3项的二项式系数为15，则n=　6　．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】由题意可得： =15，解出n即可得出．
【解答】解：由题意可得： =15，化为：n2﹣n﹣30=0，解得n=6．
故答案为：6．

14．曲线f（x）=sin（﹣x）及直线x=﹣，x=，y=0所围成的平面图形的面积为　　．
【考点】6G：定积分在求面积中的应用．
【分析】根据定积分得定义即可求出
【解答】解：曲线f（x）=sin（﹣x）及直线x=﹣，x=，y=0所围成的平面图形的面积为：
S=sin（﹣x）dx=cos（﹣x）|=1﹣=，
故答案为：．

15．已知复数z=（2a+i）（1﹣bi）的实部为2，其中a，b为正实数，则4a+（）1﹣b的最小值为　2　．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】复数z=（2a+i）（1﹣bi）=2a+b+（1﹣2ab）i的实部为2，其中a，b为正实数，可得2a+b=2，b=2﹣2a．代入4a+（）1﹣b，利用指数运算性质、基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：复数z=（2a+i）（1﹣bi）=2a+b+（1﹣2ab）i的实部为2，其中a，b为正实数，
∴2a+b=2，∴b=2﹣2a．
则4a+（）1﹣b=4a+21﹣2a=≥2=2，当且仅当a=，b=时取等号．
故答案为：2．

16．某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准备了A、B、C三类不同的题目，选手每答对一个A类、B类或C类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应要扣去300分、200分、100分，根据平时训练经验，选手甲答对A类、B类或C类题目的概率分别为0.6、0.75、0.85，若腰每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为　B　（填A、B或C）
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．
【分析】分别求出甲答A，B，C三种题目类型的均分，由此能求出结果．
【解答】解：选手甲选择A类题目，得分的均值为：0.6×300+0.4×（﹣300）=60，
选手甲选择B类题目，得分的均值为：0.75×200+0.25×（﹣200）=100，
选手甲选择C类题目，得分的均值为：0.85×100+0.15×（﹣100）=70，
∴若要每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为B．
故答案为：B．

三、解答题（共6小题，满分70分）
17．为了调查喜欢旅游是否及性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了50名女性和50名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图
（Ⅰ）完成下列2×2列联表：

喜欢旅游
不喜欢旅游
合计
女性

男性

合计

（2）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游及性别有关”
附：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）

【考点】BO：独立性检验的应用；B8：频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）根据等高条形图，计算男、女性不喜欢旅游的人数，填写2×2列联表即可；
（2）根据列联表中数据，计算K2，对照临界值表得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）根据等高条形图，计算女性不喜欢旅游的人数为50×0.3=15，
男性不喜欢旅游的人数为50×0.5=25，填写2×2列联表如下：

喜欢旅游
不喜欢旅游
合计
女性
35
15
50
男性
25
25
50
合计
60
40
100
（2）根据列联表中数据，计算
K2==≈4.167＜5.024，
对照临界值知，不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游及性别有关”．

18．国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
（1）求a的值；
（2）假设一月份及二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该汽车品牌在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由随机变量X的概率分布列的性质能求出a．
（2）由随机变量X的概率分布列，得该汽车品牌在这两个月内共被消费者投诉2次的概率p=P（X=0）P（X=2）+P（X=2）P（X=0）+P（X=1）P（X=1），由此能求出结果．
【解答】解：（1）由随机变量X的概率分布列的性质得：
0.1+0.3+2a+a=1，
解得a=0.2．
（2）由随机变量X的概率分布列，得：
该汽车品牌在这两个月内共被消费者投诉2次的概率：
p=P（X=0）P（X=2）+P（X=2）P（X=0）+P（X=1）P（X=1）
=0.1×0.4+0.4×0.1+0.3×0.3
=0.17．

19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若a=﹣4，f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）先对函数求导f'（x）=3x2+2ax+b，由题意可得f（1）=10，f′（1）=0，结合导数存在的条件可求
（2）问题转化为b≥﹣3x2+8x在x∈[0，2]恒成立，从而有b≥（﹣3x2+8x）max，根据函数的单调性求出b的范围即可．
【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b，
若函数f（x）在x=1处有极值为10，
则⇒或，
当时，f'（x）=3x2+8x﹣11，
△=64+132＞0，所以函数有极值点；
当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，
所以函数无极值点；
则b的值为﹣11．
（2）a=﹣4时，f（x）=x3﹣4x2+bx+16，
f'（x）=3x2﹣8x+b≥0对任意的x∈[0，2]都成立，
即b≥﹣3x2+8x，x∈[0，2]，
令h（x）=﹣3x2+8x，对称轴x=，
函数h（x）在[0，）递增，在（，2]递减，
故h（x）max=h（）=，
故b≥，
则b的最小值为．

20．已知a＞0，b＞0．
（1）求证： +≥；
（2）若c＞0，求证：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．
【考点】R6：不等式的证明；R9：反证法及放缩法．
【分析】（1）利用分析法证明；
（2）假设a≤b≤c，利用不等式的性质判断三个数的正负即可．
【解答】证明：（1）要证：≥，
只需证：≥，
只需证：（2a+b）2≥8ab，
即证：4a2+b2﹣4ab≥0，
即证：（2a﹣b）2≥0，
显然上式恒成立，
故≥．
（2）假设0＜a≤b≤c，
显然a﹣b﹣c≤b﹣b﹣c=﹣c＜0，
b﹣a﹣c≤c﹣a﹣c=﹣a＜0，
∴在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．

21．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周
自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．
（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；
（Ⅱ）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；
（Ⅲ）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．

【考点】CH：离散型随机变量的期望及方差；B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）分别求出甲、乙两班样本数据的平均值，由此能估计甲、乙两班学生每周平均熬夜时间．
（2）从甲班的6个样本数据中随机抽取1个的数据为“过度熬夜“的概率是，由此能求出从甲班的样本数据中，有放回地抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度熬夜“的概率．
（3）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）甲班样本数据的平均值为，
由此估计甲班学生每周平均熬夜时间19小时．
乙班样本数据的平均值为（11+12+21+25+27+36）=22，
由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为22小时．
（2）∵从甲班的6个样本数据中随机抽取1个的数据为“过度熬夜“的概率是，
∴从甲班的样本数据中，有放回地抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度熬夜“的概率为：
p=．
（3）X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P

E（X）=+++3×+4×=．

22．已知函数f（x）=（2x+b）ex，F（x）=bx﹣lnx，b∈R．
（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；
（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数f（x）的导函数，由导函数的符号求得函数的单调区间，再求出函数F（x）的导函数，由b＜0，可得F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，需＞0，求解可得b的范围；
（2）由F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，可得bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx﹣ln（x+1），求导可得b≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；0＜b＜1时， =1﹣b+lnb＞0，得b∈∅；b≥1时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0成立，从而可得b的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=（2x+b）ex，f′（x）=（2x+b+2）ex，
∴当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣），增区间为（﹣，+∞）．
F（x）的定义域为（0，+∞），且F′（x）=b﹣．
∵b＜0，∴F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，
要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，
则＞0，即b＜﹣2．
∴b的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
（2）F（x+1）=b（x+1）﹣ln（x+1）．
要使F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，即bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=bx﹣ln（x+1），则g′（x）=b﹣（x＞0）．
若b≤0，则g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；
若0＜b＜1，则当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，
∴=1﹣b+lnb＞0，得b∈∅；
若b≥1，则，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0．
综上，b的取值范围是[1，+∞）．

- 26 - / 26