初中数学竞赛标准教程及练习29：概念的定义.doc

中考数学复习资料，精心整编吐血推荐,如若有用请打赏支持，感激不尽！
初 中数学竞赛精品标准教程及练习(29)
概念的定义
一、内容提要和例题
1. 概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形 ，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。
2. 概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃，李，苹果，…… 这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。
人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，
3. 正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。
4. 理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：
① 明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；
② 明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。
例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。
又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。
就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。
一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。
5. 概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。
数学概念的基本定义方式是种属定义法。
在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）
种属定义法可表示为：　被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差）
例如：　　　　　　　　　方　程＝等　式＋含未知数
　　　又如：　　　　　　　　　无理数＝小　数＋无限不循环
或　　无理数＝无限小数＋不循环
　　　　　再如　　　等腰三角形＝三角形＋有两条边相等
6. 基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。
　　　　不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。
例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。
有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。
7. 概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。
例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。
对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为
① 有限小数和无限循环小数叫做有理数。②整数和分数统称有理数。
前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。
8. 正确的概念定义，要遵守几条规则。
①不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义）
② 定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。
③ 定义用语要简单明确，不要含混不清。
④ 一般不用否定语句或比喻方法定义。
9. 定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。
例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。
所以由定义可得
等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。
等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。
10. 数学概念要尽可能地用数学符号表示。
例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在△ABC中，AB＝AC
　直角三角形，要写出哪个是直角，　在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠
又如　实数a的绝对值是非负数，记作　≥0，“≥”读作大于或等于。
11. 运用定义解题是最本质的解题方法
例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示＝
含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。
如：化简：可等于
解方程：＝2x+1可化为　当x<-1时，　－（x+1）=2x+1；
当x≥－1时，　　　x+1=2x+1。
解不等式　＜2　　可解两个不等式组：

二、练习29
1. 叙述下列各概念（名词）的定义，并画出图形，用数学符号表示：
①算术平方根　　　　②开平方　　　　　③三角形的高　
④线段的中垂线　　　⑤点到直线的距离　⑥两点的距离
2. 叙述下列各概念（名词）的定义，并指出定义中的“种”概念和
“类征”（属差）
①锐角　　②直角三角形　③平行四边形　 ④分式方程
3. 叙述下列各概念（名词）的定义，并举列说明它的外延
① 整式　②有理方程　③梯形　④平行四边形
4. 试用外延法定义下列各概念
① 实数　②有理式　③非负数　
5. 写出下列各概念的定义，并结合图形，把它说成判定和性质。
① 等边三角形定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
A　　　如果△ABC中，AB＝BC＝AC，那么　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　如果△ABC是等边三角形，那么　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

B　　　　C　

② 互为余角的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
判定：如果＿＿＿＿＿＿＿＿那么　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 三角形中线的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
判定：如果△ABC中，＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿
性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　
6. 运用定义解题：
① 当a取值为＿＿＿＿时，代数式是二次根式。
② 当x____时，代数式有意义
③ 若最简根式与3是同类二次根式，则x=__,y=__.
④ 已知7xn-2my与－3x5y2m-1是同类项，那么　m=___,n=___
⑤ 已知m是整数，且与是同类二次根式，求m的值。
⑥ 已知是方程x－3y=5 的一个解，则a=____
⑦ 已知2是方程5x2＋kx-6=0的一个解,求k 值及另一个解
⑧ 已知锐角△ABC中，两条高AD和BE相交于O，
求证：∠CAD＝∠CBE
⑨解方程　　
⑩解不等式：＜3　　　　　　≥5
7.已知方程＝ax+2有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是（　　）　　（A）a>-1 　 (B) a=1 　 (C) a≥1　　（D）非以上答案

练习29参考答案：
4.③三边相等和两边相等的三角形统称等腰三角形
6. ①a≤0.5 ②3 ③4，1④1，7⑤6 ⑥±1⑦－7，－　⑨－1，　
⑩ 或　∴＜x<2；x≥或x≤－
7. （C）∵当x<0, －x＝ax+1, x=<0,　 a>-1
当x>0时，x=ax+1, x=>0, 　a<1
∵方程有负根，∴a>-1条件成立，而方程没有正根，a<1，不能成立
即a>-1且a≮1，它们的交集是a≥1