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第一章实数集与函数
§1实数
授课章节：第一章实数集与函数——§1实数
教学目的：使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：
(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点：实数集的概念及其应用．
教学方法：讲授．（部分内容自学）
教学程序：
引 言
上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题]为什么从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一、实数及其性质
1、实数
．
[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：
对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为
0＝
例： ；

利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？
2、两实数大小的比较
1）定义1给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）．
规定：任何非负实数大于任何负实数．
2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似，.
对于负实数，其位不足近似；位过剩近似.
注：实数的不足近似当增大时不减，即有； 过剩近似当n增大时不增，即有．
命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，为的位过剩近似）．
命题应用
例1．设为实数，，证明存在有理数，满足．
证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且
．即．
3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）．
1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．
2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.
3）传递性：，．
4）阿基米德性：使得．
5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系．
例2．设，证明：若对任何正数，有，则．
（提示：反证法．利用“有序性”，取）
二、绝对值与不等式
1、绝对值的定义
实数的绝对值的定义为．
2、几何意义
从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表示就是数轴上点与之间的距离．
3、性质
1）（非负性）；
2）；
3），；
4）对任何有（三角不等式）；
5）；
6）（）．
三、几个重要不等式
1、
2、均值不等式:对记
(算术平均值)
(几何平均值)
(调和平均值)
有平均值不等式:即：

等号当且仅当时成立.
3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)
有不等式
当且,且时,有严格不等式
证：由且

4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式

有 上式右端任何一项.
［练习］P4．5
［课堂小结］：实数：.
[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3

§2数集和确界原理
授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理
教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.
教学要求：
(1)掌握邻域的概念；
(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.
教学难点：确界的定义及其应用.
教学方法：讲授为主.
教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.
引 言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！
1、证明：对任何有：(1)；(2) .
（）
（）
2、证明：.
3、设，证明：若对任何正数有，则.
4、设，证明：存在有理数满足.
[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.
本节主要内容：
1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域；
2、讨论有界集与无界集；
3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.
一 、区间与邻域
1、 区间（用来表示变量的变化范围）
设且.，其中

2、邻域
联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
（1）的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点的邻域，记作，或简记为，即
.
其中
（2）点的空心邻域
.
（3）的右邻域和点的空心右邻域

（4）点的左邻域和点的空心左邻域

（5）邻域，邻域，邻域
（其中M为充分大的正数）；

二 、有界集与无界集
1、 定义1（上、下界）：设为中的一个数集.若存在数，使得一切都有，则称S为有上（下）界的数集.数称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.
闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，
集合 也是有界数集.
若数集S不是有界集，则称S为无界集.
等都是无界数集,
集合 也是无界数集.
注：1）上（下）界若存在，不唯一；
2）上（下）界与S的关系如何？看下例：
例1 讨论数集的有界性.
解：任取，显然有，所以有下界1；
但无上界.因为假设有上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.
综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.
例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.
[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一　，有无穷多个).
三 、确界与确界原理
1、定义
定义2（上确界）　设S是R中的一个数集，若数满足：(1) 对一切有（即是S的上界）; (2) 对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作
从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.
命题1 充要条件
1）；
2）.
证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则，与是上界中最小的一个矛盾.
充分性（用反证法），设不是的上确界，即是上界，但.令，由2），，使得，与是的上界矛盾.
定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S的下界）；（2）对任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作.
从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.
命题2 的充要条件：
1）；
2）＞0，＜
上确界与下确界统称为确界.
例3（1）则 1 ； 0 .
（2）则 1 ； 0 .
注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
命题3：设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.
证明：设，且，则不妨设
有
对，使，矛盾.
例： ， ，
则有.
开区间与闭区间有相同的上确界与下确界
例4设和是非空数集，且有则有.
例5设和是非空数集.若对和都有则有
证明：是的上界,是的下界,
例6和为非空数集,试证明:
证明：有或由和分别是和的下界,有
或
即是数集的下界,
又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有
于是有.
综上,有.
1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.
2. 确界与最值的关系:设 为数集.
（1）的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.
（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.
（3）若存在,必有对下确界有类似的结论.
4. 确界原理:
Th1.1(确界原理).设非空的数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.
这里我们给一个可以接受的说明 非空，，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界.然后我们遍查和，我们可以找到一个，，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小数，如此下去，最后得到，它是一个实数，即为的上确界.
证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设中的元素都为非负数，则存在非负整数，使得
1），有；
2）存在，有；
把区间10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在，使得
1），有；；
2）存在，使得．
再对开区间10等分，同理存在，使得
1）对任何，有；
2）存在，使
继续重复此步骤，知对任何，存在使得
1）对任何，；
2）存在，．
因此得到．以下证明．
（ⅰ）对任意，；
（ⅱ）对任何，存在使．

［作业］：P9 1（1），（2）；　2； 4（2）、（4）；７

§3函数概念
授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念
教学目的：使学生深刻理解函数概念.
教学要求：
（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；
（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.
教学重点：函数的概念.
教学难点：初等函数复合关系的分析.
教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.
教学程序：
引 言
关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.
一、函数的定义
１．定义１ 设，如果存在对应法则，使对，存在唯一的一个数与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作

.
数集称为函数的定义域，所对应的，称为在点的函数值，记为.全体函数值的集合称为函数的值域，记作.
即.
２．几点说明
（1）函数定义的记号中“”表示按法则建立到的函数关系，表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作.习惯上称自变量，为因变量.
（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：.
由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.
例如：1） （不相同，对应法则相同，定义域不同）
2） （相同，只是对应法则的表达形式不同）.
（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数.即“函数”或“函数”.
（4）“映射”的观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射下的象.称为的原象.
（5）函数定义中，，只能有唯一的一个值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个值，可以对应多于一个值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.
二 、函数的表示方法
1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.
2 可用“特殊方法”来表示的函数.
1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.
例如　　，（符号函数）
（借助于sgnx可表示即）.
2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）
例 １）（取整函数）
比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.
常有 , 即.
与此有关一个的函数（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.
２）狄利克雷（Dirichlet）函数

这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.
３）黎曼（Riemman）函数

三 函数的四则运算
给定两个函数，记，并设，定义与在上的和、差、积运算如下：
；；.
若在中除去使的值，即令，可在上定义与的商运算如下；.
注：１）若，则与不能进行四则运算.
２）为叙述方便，函数与的和、差、积、商常分别写为：.
四、复合运算
１．引言
在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.
例：质量为m的物体自由下落，速度为v，则功率为
.
抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数，把代入，即得
.
这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.
[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；
.
就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.
2．定义（复合函数） 设有两个函数，，若，则对每一个，通过对应内唯一一个值，而又通过对应唯一一个值，这就确定了一个定义在上的函数，它以为自变量，因变量，记作或.简记为.称为函数和的复合函数，并称为外函数，为内函数，为中间变量.
3. 例子
例 求 并求定义域.
例 ⑴
⑵ 则
A. B. C. D.
例 讨论函数与函数能否进行复合，求复合函数.
4 说明
１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？
例如：，复合成：.
２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.
①
②
③
五、反函数
１.引言
在函数中把叫做自变量，叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如： 那么对于来讲是自变量，但对来讲，是因变量.
习惯上说函数中是自变量，是因变量，是基于随的变化现时变化.但有时我们不仅要研究随的变化状况，也要研究随的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.
２.反函数概念
定义设R是一函数，如果，, 由
(或由)，则称在上是 1-1 的.
若，，称为满的.
若 是满的 1-1 的，则称为1-1对应.
R是1-1 的意味着对固定至多有一个解，是1-1 的意味着对，有且仅有一个解.
定义 设是1-1对应., 由唯一确定一个, 由这种对应法则所确定的函数称为的反函数，记为.
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域

显然有
(恒等变换）
(恒等变换)
.
0
x
y
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 , 这样它的图形与 的图形是关于对角线对称的.
严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.
但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子

它的反函数即为它自己.

实际求反函数问题可分为二步进行：
1. 确定 的定义域和值域，考虑 1-1对应条件.固定 ，解方程 得出 .
2. 按习惯，自变量、因变量互换，得 .
例 求 ：R R的反函数.
解 固定，为解 ，令 ，方程变为

( 舍去)
得，即，称为反双曲正弦.
定理 给定函数，其定义域和值域分别记为和，
若在上存在函数，使得 , 则有.
分析：要证两层结论：一是的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证.
证 要证的反函数存在，只要证是到的 1-1 对应.
，，若， 则由定理条件，我们有

，即 是 1-1 对应.
再证.，，使得.
由反函数定义 ，再由定理条件
.
例 ，若存在唯一（）不动点，则也不动点.
证 存在性，设，，
即是的不动点，由唯一性，
即存在的不动点.
唯一性： 设，，
说明 是的不动点，由唯一性，=.
从映射的观点看函数.
设函数.满足：对于值域中的每一个值，Ｄ中有且只有一个值，使得，则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作
或.
３、注释
a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数有反函数，意味着是Ｄ与之间的一个一一映射，称为映射的逆映射，它把；
b) 函数与互为反函数，并有:
c) 在反函数的表示中，是以为自变量，为因变量.若按习惯做法用做为自变量的记号，作为因变量的记号，则函数的反函数可以改写为

应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.
六 、初等函数
1.基本初等函数（６类）
常量函数　　（Ｃ为常数）；
幂函数　　；
指数函数；
对数函数　　；
三角函数　　；
反三角函数　　.
注：幂函数和指数函数都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.
定义２．给定实数，设为无理数，我们规定：

这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义的缺陷．
[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”
２．初等函数
定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数
如：
不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数.
注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.
例２．求下列函数的定义域.
（１）　； （２）　
3.初等函数的几个特例: 设函数和都是初等函数, 则
（1）是初等函数, 因为
（2） 和 都是初等函数,
因为 ,
.
（3）幂指函数 是初等函数,因为

［作业］ ：　3；4:（２）、（３）；　5:（２）；　7:（３）；11

§4具有某些特性的函数
授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数
教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.
教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；
会求一些简单周期函数的周期.
教学重点：函数的有界性、单调性.
教学难点：周期函数周期的计算、验证.
教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成.
教学程序：
引 言
在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.
一、有界函数
1、有上界函数、有下界函数的定义
定义1设为定义在D上的函数，若存在数，使得对每一个有，则称为D上的有上（下）界函数，称为在D上的一个上（下）界.
注：（1）在D上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；
（2）又若为在D上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；
（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；
（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：
在D上有界是一个有界集在D上既有上界又有下界在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数.
2、有界函数定义
定义2设为定义在D上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个有，则称为D上的有界函数.
注：（1）几何意义：为D上的有界函数，则的图象完全落在和之间；
（2）在D上有界在D上既有上界又有下界；例子：；
（3）关于函数在D上无上界、无下界或无界的定义.
3、 例题
例1 证明有界的充要条件为：,，使得对,.
证明 如果有界，按定义>0，有，即,取,即可.
反之如果,使得，令，则，即，使得对有，即有界.
例2．证明　为上的无上界函数.
例3．设为D上的有界函数.证明：（1）；
（2）.
例4验证函数 在内有界.
解法一 由当时,有

,
对 总有 即在内有界.
解法二 令 关于的二次方程 有实数根.

解法三 令 对应 于是

二、单调函数
定义3设为定义在D上的函数， （1）若，则称为D上的增函数；若，则称为D上的严格增函数.（2）若，则称为D上的减函数；若，则称为D上的严格减函数.
例5．证明：在上是严格增函数.
证明：设，
如，则
如，则
故即得证.
例6．讨论函数在上的单调性.
，当时，有，但此函数在上的不是严格增函数.
注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；
2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.
总结得下面的结论：
定理1．设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数.
证明：设在上严格增函数.对.下面证明这样的只有一个.事实上，对于内任一由于在上严格增函数，当时，当时，总之.即，从而
例7　讨论函数在上反函数的存在性；如果在上不存在反函数，在的子区间上存在反函数否？
结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.
例8 证明：当时在Ｒ上严格增，当时在上严格递减.
三、奇函数和偶函数
定义4. 设D为对称于原点的数集，为定义在D上的函数.若对每一个有（1），则称为D上的奇函数；（2），则称为D上的偶函数.
注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于轴对称；
（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必要讨论奇偶性.
（3）从奇偶性角度对函数分类：；
（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数
1、定义
设为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期.
2、几点说明：
（1）若是的周期，则也是的周期，所以周期若存在，则不唯一.如.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的“基本周期”，简称“周期”.如，周期为；
（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1），不是周期函数；2）（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.

第二章数列极限
引 言
为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是1，然后为如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为0.
在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（已知：），但这两个公式从何而来？
要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破.
问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾.
辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧.
按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正边形.易知，正边形周长为

显然，这个不会等于.然而，从几何直观上可以看出，只要正边形的边数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长. 越大，近似程度越高.
但是，不论多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值.问题并没有最后解决.
为了从近似值过渡到精确值，我们自然让无限地增大，记为.直观上很明显，当时，，记成.——极限思想.
即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第3世纪就提出来了，称为“割圆术”.其方法就是——无限分割.以直代曲；其思想在于“极限”.
除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.

§1数列极限的概念
教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题.
教学要求：使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的定义证明数列的有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.
教学重点：数列极限的概念.
教学难点：数列极限的定义及其应用.
教学方法：讲授为主.
教学程序：
一、什么是数列
1 数列的定义
数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；
若函数的定义域为全体正整数集合，则称为数列.
注：1）根据函数的记号，数列也可记为；
2）记，则数列就可写作为：，简记为，即；
3）不严格的说法：说是一个数列.
2 数列的例子
（1）；（2）；
（3）； （4）
二、什么是数列极限
1．引言
对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）；
第1天截下，
第2天截下，
第3天截下，

第天截下，

得到一个数列：
不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于零.
一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列.
据此可以说，数列是收敛数列，0是它的极限.
数列都是发散的数列.
需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.
以为例，可观察出该数列具以下特性：
随着的无限增大，无限地接近于1随着的无限增大，与1的距离无限减少随着的无限增大，无限减少会任意小，只要充分大.
如：要使，只要即可；
　　要使，只要即可；

任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，.即，当时，.
如何找Ｎ？（或存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可.这样当时，.
综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于1，即是对任意给定正数，总存在正整数，当时，有.此即以1为极限的精确定义，记作或.
2.数列极限的定义
定义1 设为数列, 为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于,实数称为数列的极限,并记作或.
(读作:当趋于无穷大时,的极限等于或趋于).由于限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或.
若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列.
[问题]：如何表述没有极限？
3.举例说明如何用定义来验证数列极限
例1.证明: .
证明: 不妨设,要使 |－0|<<.
只要,取N=
则当n>N时,有
|－0|=≤<
例2 求证 .
证明: 不妨设，要使 ，只要 （注意这里 ），只要 . 取，则当 时，就有 ， 即 .
例3 求证.
证法1 先设，，要使 ， 只要 ， 只要 ，只要 .
取 ， 当 时，就有，即 .对，令 ，则 .
证法2 令，则 ，
, 要使, 只要 ，取，只要，就有，即.
例4 证 .
证明: 因为 ，， 要使，只要，取 ，则只要 ，就有，即.
例5
证明:

注意到对任何正整数时有 就有

于是，对 取
例6
证法一 令 有 用Bernoulli不等式，有
或
证法二 （用均值不等式）

例7
证一： 时，
证二：  （二项式展开）

    因此，，取 ，则当时就有 即
附：此题请注意以下的错误做法：

 （注意 不趋于零）
例8：证明
证明：由于  （） （*）
因此，只要取 便有
由于（*）式是在的条件下成立的，故应取，当时就有 即
总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份.
4 关于数列的极限的定义的几点说明
（1）关于：① 的任意性.定义1中的正数的作用在于衡量数列通项与常数的接近程度，越小，表示接近得越好；而正数可以任意小，说明与常数可以接近到任何程度；②的暂时固定性.尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出；③的多值性.既是任意小的正数，那么等等，同样也是任意小的正数，因此定义1中的不等式中的可用等来代替.从而“”可用“”代替；④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数.
（2）关于：① 相应性，一般地，随的变小而变大，因此常把定作，来强调是依赖于的；一经给定，就可以找到一个；②多值性. 的相应性并不意味着是由唯一确定的，因为对给定的，若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立.所以不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的也不必限于自然数，只要是正数即可；而且把“”改为“”也无妨.
（3）数列极限的几何理解：在定义1中，“当时有”“当时有” “当时有” 所有下标大于的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有个（有限个）.反之，任给，若在之外数列中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为，则当时有，即当时有，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：
定义 任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限.
由此可见：1）若存在某个，使得数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以为极限；2）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关.所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响.
例1．证明和都是发散数列.
例2．设，作数列如下：. 证明　.
例3．设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明：数列与同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等.
三、无穷小数列
在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：
定义2　若，则称为无穷小数列.
如都是无穷小数列.
数列收敛于的充要条件：
定理2.1　数列收敛于 的充要条件是为无穷小数列.
[作业] 教材P27 3，4，5，7，8⑵.

§2　收敛数列的性质
教学内容：第二章 数列极限——§2　收敛数列的性质.
教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.
教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；
（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.
教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用.
教学难点：数列极限的计算.
教学方法：讲练结合.
教学程序：
引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.
一、收敛数列的性质
性质1（极限唯一性）　若数列收敛，则它的极限唯一.
证一：假设都是数列的极限，则由极限定义，对，，当
时，有 ； 时，有
取，则当时有

由的任意性，上式仅当时才成立.
证二：（反证）假设极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为
，且故不妨设，取
由定义，，当时有
      又，当时有
因此，当时有 矛盾，因此极限值必唯一.
性质2（有界性）如果数列收敛，则必为有界数列.即，使对有
证明：设取，使得当时有
即 
令
则有对 即数列有界
注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如
②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则随在变，找到的也随在变，界的意义就不明确了.
性质3（保序性）设，，
    （1） 若，则存在使得当时有
（2） 若存在，当时有，则（不等式性质）
证明：（1）取，则存在，当时
从而
又存在，当时
当时
（2）（反证）如，则由⑴知必当时这与已知矛盾
推论（保号性）若则，当时.特别地，若，则，当时与同号.
思考：如把上述定理中的换成，能否把结论改成？
例：设（），若，则
证明：由保序性定理可得
若，则，，当时有即
若，则，，当时有

数列较为复杂，如何求极限？
性质4（四则运算法则）若、都收敛，则、、也都收敛，且 ，特别地，，为常数如再有则也收敛，且
证明：由于，，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.
设，，，，当时 ；，当时
取，则当时上两式同时成立.
（1）
由收敛数列的有界性，，对有
故当时，有
由的任意性知
（2）
由保号性，及，对有（如可令）
取，则当时有
由的任意性得
用归纳法，可得有限个序列的四则运算：
，
.
但将上述换成，一