初中数学竞赛标准教程及练习01：数的整除(一).doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习(1)
数的整除（一）
一、内容提要：
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征
除 数
能被整除的数的特征
2或5
末位数能被2或5整除
4或25
末两位数能被4或25整除
8或125
末三位数能被8或125整除
3或9
各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)

11
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除
(如143,1859,1287,908270等)
7,11,13
从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)
能被7整除的数的特征：
　　①抹去个位数　　②减去原个位数的2倍　③其差能被7整除。
如　1001　　100－2＝98（能被7整除）
又如7007　　700－14＝686，　　68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：　　
①抹去个位数　　②减去原个位数　　　③其差能被11整除
如　1001　　　100－1＝99（能11整除）
又如10285　　1028－5＝1023　　102－3＝99（能11整除）
二、例题
例1已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除。
求x,y
解：x,y都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y=6.
∵328＋＝567，∴x=3
例2己知五位数能被12整除，　　求X
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
　　当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8
　　当末两位能被4整除时，X＝0，4，8
　　　∴X＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
　但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
　调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
三、练习
1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593　　②　1859　　③1287　④3276　⑤10101　⑥10296
2 若四位数能被3整除，那么 a=_______________
3 若五位数能被11整除，那么　X＝__________-
4 当　m=_________时，能被25整除
5 当 n=__________时，能被7整除
6 能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________
8 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？
11 己知五位数能被15整除，试求A的值。
12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）

练习参考答案：1.④　22×32×7×3　⑤　3×7×13×37　⑥　23×32×11×13
2.　0，3，6，9　　　3.　0　　　4.　2，7　　　5.　3
6.　10010，9990　　　7.　9996，9992　　　　
8.　6：B　　8：F，G　　9：B，D　　11：G，H
9.　16；27
10.       没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关
11.       仿例2，a＝5
12.       10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13.       11111111100