高二数学同步测试-空间向量.doc

高二数学同步测试— 空间向量

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异
面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定
也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
．其中正确命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是 （ ）
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
3．若向量、 （ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都可能
4．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共
面，则实数λ等于 （ ）
A． B． C． D．
5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若， 则 （ ）
A．+－ B．－+ C．－++ D．－+－
6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
7．若、均为非零向量，则是与共线的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

8．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的
中线长为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．已知 （ ）
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
10．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当
取得最小值时，点Q的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= ．
12．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，
若＝，则x＋y＋z＝ ．
13．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，
G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，
以｛，，｝为基底，则＝ ．
14．设||＝1，||＝2，2＋与－3垂直，＝4－，

＝7＋2， 则<,>＝ ．
三、解答题（本大题满分76分）
15．(12分) 如图，一空间四边形ABCD的对边
AB与CD，AD与BC都互相垂直，
用向量证明：AC与BD也互相垂直．

16．（12分））如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．

17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若ÐPDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

18．（12分）在正方体中，如图Ｅ、Ｆ分别是
，ＣＤ的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）求．

19．（14分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，

，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）证明 平面；
（2）证明平面EFD；
（3）求二面角的大小．

20．（14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
（1）求A1B与平面ABD所成角的大小
（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点A1到平面AED的距离.

参考答案（六）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
D
C
A
B
A
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 0 13． 14．0°
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 证明： . 又，
即.……① .
又，即.……②
由①+②得：即..
16．(12分) 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)
(2)∵ ＝(0, -2, 2)，＝(0, 1, 2) ∴ ||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2,
∴ cos á，ñ ＝ ＝ ＝ ．∴ AB1与ED1所成的角的余弦值为．
17．(12分) 证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，
BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，
D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) ∵ E为AB的中点，F为PC的中点
∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c)
(1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)
∴ ＝(＋) ∴ 与、共面
又∵ E Ï 平面PAD ∴ EF∥平面PAD．
(2) ∵ ＝(-2a, 0, 0 ) ∴ ·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0
∴ CD⊥EF．
(3) 若ÐPDA＝45°，则有2b＝2c，即 b＝c， ∴ ＝(0, b, b)，
＝(0, 0, 2b) ∴ cos á，ñ＝＝ ∴ á，ñ＝ 45°
∵ ⊥平面AC，∴ 是平面AC的法向量 ∴ EF与平面AC所成的角为：90°－á，ñ＝ 45°．
18．(12分) 解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），
E（1，1，），F（0，，0），
则＝（0，，－1），＝（1，0，0），
＝（0，1，）， 则＝0，
＝0， ，.
平面ADE.
（２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），
＝－1＋0－＝－， ，，

则cos. .
19．（14分）解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设
(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.
依题意得
底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，
故点G的坐标为且
. 这表明.
而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
(2)证明：依题意得。又故
, 由已知，且所以平面EFD.
(3)解：设点F的坐标为则
从而所以
由条件知，即 解得 。
点F的坐标为 且
,即，故是二面角的平面角.
∵且
,所以，二面角C—PC—D的大小为

20．(14分) 解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2）

E（a，a，1） G（）.
，
，解得a=1.

.
A1B与平面ABD所成角是.
（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）

平面AA1E，又ED平面AED.
∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE，
∴点A在平面AED的射影K在AE上.
设， 则
由，即， 解得.
,即
即点A1到平面AED的距离为.