高中数学选修2-1《立体几何中存在性问题的向量解法》.doc

立体几何中存在性问题的向量解法
平行、垂直、距离和角的问题是立体几何中的主要问题，而以它们为背景的探索性问题是近年来数学命题创新的一个显著特点，它以其较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐。由于此类问题涉及到的点具有运动性和不确定性，所以用传统的方法解决起来难度较大，若用向量方法处理，尤其是引入坐标表达的空间向量，通过待定系数法求解存在性问题则思路简单，解法固定，操作方便。下面，举例谈谈向量法求解立体几何探索性问题的研究。

1、与位置关系有关的存在性问题
例A
B
C
P
E
y
z
F
1、如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD 中，，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1。
（1）证明：PA平面ABCD；
D
（2）求以AC为棱，EAC与DAC；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论。
x
（1）证明：（2）解：（略）
（3）解：由（1）知PA平面ABCD，以A为原点，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴， 过A点且垂直于面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，可知x轴垂直平分BC。则 ，，P（0，0，a）E(0,,)。
设；
。
设=（）为平面AEC的法向量。
则有：。
令得。
若BF//平面AEC，则有，
=0。
解得，此时F为PC的中点。
因此在棱PC上存在一点F，使BF//平面AEC。
【评析】：该题是根据点F在PC上，巧妙地引入参数(即待定系数)，由此引出点F的坐标，从而把点F的探索问题转化为对参数的确定，然后通过向量运算来求出的值，使探索问题迎刃而解。
2、与距离有关的存在性问题
例2、如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，CA=2，D是的中点，试问上是否存在一点E使得点到面AED的距离为。
解析：以CA、CB、为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则有A（2，0，0）（2，0，2）D（0，0，1）。
设E到AB的距离为a，则E（2－a，a，2－a），则。
设向量n=（x，y，z）为面AED的法向量，则有
即，
可令。（注：此处也可令y、z为常数，因为法向量不唯一）
于是，
由题意可知，解得。
所以，当点E为的中点时，到平面AED的距离为。
【评析】：立体几何中的点面距、线面距和面面距等都可由公式解决，其中向量n为平面的法向量，向量为该点或线（面）上任一点与平面上任意一点所构成的向量。