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第二讲 图形的计数问题
一、知识点：
几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．
二、典例剖析：
例（1） 数出右图中总共有多少个角
分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：
4＋3＋2＋1＝10（个）
解： 4＋3＋2＋1＝10（个）
答：图中总共有10个角。
练一练：
数一数右图中总共有多少个角？
答案: 总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？
分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.
②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）
解：：①在△ABC中共有线段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）
②在△ABC中共有三角形是：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）
答： 在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
练一练：
共有多少个三角形？
答案: 18
例（3）数一数图中长方形的个数
分析： AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.
BC边上分成的线段有： 3+2+1=6.
解： 共有长方形：
（5+4+3+2+1）×（3+2+1）= 15×6 = 90（个）
答：共有长方形90个。
练一练：
数一数图中长方形的个数
答案: 90
例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）
.
分析： 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.
①以一条基本线段为边的正方形个数共有：
6×5=30（个）.
②以二条基本线段为边的正方形个数共有：
5×4=20（个）.
③以三条基本线段为边的正方形个数共有：
4×3=12（个）.
④以四条基本线段为边的正方形个数共有：
3×2=6（个）.
⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：
2×1=2（个）.
解： 正方形总数为：
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1
=30+20+12+6+2=70（个）
答：
练一练：
下图共有几个正方形?
答案: 10
例（5）数一数图中三角形的个数
分析： 这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.
Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：
W①上=1+2+3+4=10（个）.
②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：
W①下=1+2+3=6（个）.
Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：
W②上=1+2+3=6（个）.
②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.
Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：
W③上=1+2=3（个）.
②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.
Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：
W④上=1（个）.
解： 所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.
答：三角形的总数是个。
练一练：
数一数图中三角形的个数
答案： 24
例（6）数一数图中一共有多少个三角形？
分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：
第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.
第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.
第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.
最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.
解：：Ⅰ.在小矩形AEOH中：
①由一个三角形构成的有8个.
②由两个三角形构成的三角形有5个.
③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.
这样在一个小矩形内有17个三角形.
Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.
Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形.
所以整个图形共有三角形个数是：
（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）
答： 图中一共有100个三角形。
练一练：
数一数图中一共有多 答案： 35 个
模拟测试（ 2 ）
一、填空题 （每小题5分）
1、.下列图形各有几条线段
( )条 ( )条 ( )条
2、一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.
3、数一数下图共有( )条线段.
( )条. ( )条.
4、下图中各有（ ）个三角形.
5、数一数下图有（ ）个长方形.
6、右图一共有( )个长方形?
7、右图一共有( )个正方形？
8、下图共有( )个平行四边形.
9、一共有( )个梯形.
10、下图共有( )个三角形.
二、简答题 (每小题10分)
1、右图的图形中一共有多少个三角形?
2、下图共有几个正方形?
3、下图共有多少个长方形?
4、下图中一共有多少个三角形?
5、下图共有几个三角形?.
模拟测试（ 2 ） 解答
一、填空题
1、有10条, 有15条, 有21条.
2、50492=1225(条).
3、36; 27.
4. 33;
5、30个.
图中边上共有线段4+3+2+1=10条.边上共有线段: 2+1=3(条),把 上的每一条线段作为长, 边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图中共有长方形为:
(4+3+2+1)(2+1)=103=30(个).
6、一共有64个.
7、一共有18个.
解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个.
因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).
8、315个
(个)
9、45个
最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:
(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(个)
长方形的个数为:(1+2+3)×(1+2)=18(个)
梯形的总数为:63-18=45(个)
10、 126个
Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:
(1)W①上=8+7+6+5+4=30
(2)W②上=7+6+5+4=22
(3)W③上=6+5+4=15
(4)W④上=5+4=9
(5)W⑤上=4
∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)
Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:
(1) W①下=3+4+5+6+7=25
(2)W②下=2+3+4+5=14
(3)W③下=1+2+3=6
(4)W④下=1
尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)
∴80+46=126个.
二、简答题
1、解： ①单个三角形有6个.
②两个图形组成的有4个.
③三个图形组成的有1个.
④四个图形组成的有2个.
⑤八个图形组成的有1个.
答：一共有: 6+4+1+2+1=14个.
2、解：一共有正方形
52+42+32+22+12
=25+16+9+4+1
=55(个).
答：一共有正方形55个。
3、解： ①在大长方形中共有长方形:
(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);
②在小长方形中共有长方形:
(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);
③在①与②中重复的长方形有:1+2=3(个);
④两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(个).
⑤图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).
答：共有长方形有133个。
4、解：①基本的三角形有:
4×9=36(个).
②由两个基本的三角形组成的三角形有:
4×9=36(个).
③由四个基本的三角形组成的三角形:
4×3×2=24(个).
④由九个基本的三角形组成的三角形:
4×2=8(个).
⑤由八个基本的三角形组成的三角形:
4×4=16(个).
⑥由十八个基本的三角形组成的三角形:
4(个).
答：共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).
5、解： ①一个三角形构成的有12个.
②两个三角形构成的有12个.
③三个三角形构成的有6个.
④四个三角形构成的有6个.
⑤六个三角形构成的有1个.
答：一共有: 12+12+6+6+1=37(个).
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