衡水金卷2018年全国高考理科数学模拟试题一含答案.doc

衡水金卷2018年全国高考理科数学模拟试题（一）含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数（一）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A．B．
C．D．
2.已知为虚数单位，为实数，复数满足，若复数是纯虚数，则（）
A．B．C．D．
3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）
A．B．C．D．
4.已知等差数列的前项和为，且，则（）
A．B．C.D．
5.已知函数，则下列结论正确的是（）
A．在区间内单调递增
B．在区间内单调递减
C.是偶函数
D．是奇函数，且在区间内单调递增
6.的展开式中项的系数为（）
A．-16B．16C.48D．-48
7.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（）
A．B．C.D．
8.若，则下列不等式不正确的是（）
A．B．
C.D．
9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为11，则判断框中的条件可以是（）
A．B．C.D．
10.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则（）
A．B．
B．C.D．
11.已知抛物线的焦点为，过点作斜率为1的直线交抛物线于两点，则的值为（）
A．B．C.D．
12.已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，若向量与共线，则向量在向量放心上的投影为．
14.若实数满足则的最大值是．
15.过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为．
16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图，在中，角所对的边分别为，若.
(1)求角的大小；
(2)若点在边上，且是的平分线，，求的长.
18.如图，在三棱柱中，侧棱底面,且,是棱的中点，点在侧棱上运动.
(1)当是棱的中点时，求证：平面；
(2)当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.
19.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.
(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.
①记表示选取4人的成绩的平均数,求；
②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.
21.设函数为自然对数的底数.
(1)若,且函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(2)若，试判断函数的零点个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；
(2)设为椭圆上任意一点，求的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若的最大值为，对任意不想等的正实数，证明：.
试卷答案
一、选择题
1-5:DBBCD6-10:ABCCA11、12：CA
二、填空题
13.014.15.16.
三、解答题
17.解：(1)在中，∵,
∴由正弦定理，
得
，
∵，∴，
∵，
∴.
(2)在中，由余弦定理得
，
即,解得,
或（负值，舍去）
∵是的平分线，，
∴,∴.
18.解：(1)取线段的中点，连结.
∵,
∴，且.
又为的中点，
∴,且.
∴,且.
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平面平面,
∴平面.
(2)∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,
∵三棱柱中，平面，
∴即为直线与平面所成的角.
设，则由，得.
∴.
∴,
设平面的一个法向量为，
则
令，得，即.
又平面的一个法向量为,
∴,
又二面角的平面角为钝角，
∴二面角的余弦值为.
19.解：(1)众数为76，中位数为76.
抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，
故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）
(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.
当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.
一类是82，88，93，94，共1种；
另一类是76，88，93，94，共3种.
所以.
②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4
,
,
,
,
.
的分别列为
01234

20.解：(1)由已知得
解得，
∴椭圆的方程为.
(2)设，的中点为，点，使得,
则.
由得，
由，得.
∴，
∴.
∵∴，
即，
∴.
当时，（当且仅当，即时，取等号），
∴；
当时，（当且仅当，即时，取等号），∴，
∴点的横坐标的取值范围为.
21.解：(1)∵函数在区间内单调递增，
∴在区间内恒成立.
即在区间内恒成立.
记，则恒成立，
∴在区间内单调递减,
∴，∴，
即实数的取值范围为.
(2)∵，，
记，则，
知在区间内单调递增.
又∵，，
∴在区间内存在唯一的零点，
即，
于是，.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
∴
，
当且仅当时，取等号.
由，得，
∴，即函数没有零点.
22.解：(1)由，
得，
将代入，得直线的直角坐标方程为.
椭圆的参数方程为为参数）.
(2)因为点在椭圆上，
所以设，
则
，
当且仅当时，取等号，
所以.
23.解：(1)不等式，
即，
此不等式等价于
或或
解得，或，或.
所以不等式的解集为.
(2)，
因为，
当且仅当时，取等号，
所以，即，
因为为正实数，
所以
，
当且仅当时，取等号.
即.