数学建模第四套.doc

徐州工程学院个性化教育
数学建模（大作业）试卷
班级 学号 姓名 得分
1、某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。动物从第二年龄组开始繁衍后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3，第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？
解：由于年龄分为五岁一段，所以时间周期取5年。
设表示第个时间周期，第组年龄阶段动物的数量。因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组的动物数量是由上一周期上一年龄组存活下来的动物的数量决定的，所以有

又因为某一时间周期，第一年龄组的动物数量是由上一时间周期各个年龄组出生的动物数量决定的，所以有

由此得到递推关系式：
用矩阵表示为：
即，其中
则有
计算过程代码如下：
>> x0=[100;100;100];
>> L=[0,4,3;1/2,0,0;0,1/4,0];
>> x1=L*x0;
>> x2=L*x1;
>> x3=L*x2

x3 =1.0e+03 *
1.4375
0.1375
0.0875
结果分析：
由于动物的数量不可能出现小数，所以根据实际，15年后农场饲养动物的数量如下表
年龄段（岁）
0~5
6~10
11~15
数量（个）
1437
137
87
表1 15年后农场动物数量分布表

2、深洞的估算： 假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的 石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。
（1）不计空气阻力；
（2）受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05；
（3）受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025。
解：
（1）根据题意建立动力学模型
根据动力学公式

其中为洞深，为万有引力常量，为下落时间，为声音传播时间，为声速。
根据题意得
所以得到模型
求解得
所以在（1）的条件下，求出的洞深为
（2）根据动力学公式得到

其中为下落的速度。对上式进行定积分运算，根据题意初始下落速度，所以得到速度与时间的关系式如下：

进而得到位移与时间的函数关系式，关系式为：

将上式与方程联立，得到模型如下：

代入数据后求解得

（3）根据动力学公式得

令，，，则可以得到速度与时间的函数关系式，关系式如下：

进而得到位移与时间的函数关系式，关系式为：

将上式与方程联立，得到模型如下：

通过软件计算，求出的值：
>> solve('x=63*(5-x/340)+2*63/0.316*(log(2.7^(0.316*5-0.316*x/340)+1)-log(2*2.7^(0.316*5-0.316*x/340)))')

ans =101.86825754949506384343423952243
所以洞深

3、某地区有三个重要产业，一个是煤矿、一个是发电厂和一条地方铁路。开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费。生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费、0.05元的电费及0.05元的运输费。创收一元钱的运输费，铁路需要支付0.55元的煤费及0.10元的电费。在某个周期内，煤矿接到外地金额为50000元的订货，发电厂接到外地定额25000元的订货，外界对地方铁路没有需求。问三个企业在这一周期内总产值多少才能满足自身及外界的需求？
解：根据题意得下表
支出 生产1元
煤矿
发电厂
铁路
煤矿（元）
0
0.65
0.55
发电厂（元）
0.25
0.05
0.1
铁路（元）
0.25
0.05
0
表2 某地区产业收入支出表
设为煤矿本周内的总产值，为电厂本周的总产值，为铁路本周内的总产值，则

即

所以得到

矩阵称为直接消耗矩阵，称为产出向量，称为需求向量，则：

设

其中矩阵的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系，矩阵的元素分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入。
由矩阵，，和，可得投入产出分析表3

煤矿
发电厂
铁路
外界需求
总产出
煤矿

发电厂

铁路

总投入

表3 投入产出分析表
按解方程组可得产出矩阵，进而可计算矩阵和。其结果见下表4：

煤矿
发电厂
铁路
外界需求
总产出
煤矿
0
36505.96
15581.51
50000
102087.48
发电厂
25521.87
2808.15
2833.00
25000
56163.02
铁路
25521.87
2808.15
0
0
28330.02
总投入
51043.74
42122.27
18414.52

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