上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷答案.doc

2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.
4.给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1. . 2. 2. 3. . 4. .
5. . 6. . 7. 48. 8. .
9. . 10. 2. 11. 4.
12. 和

二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
题 号
13
14
15
16
代 号
B
C
A
B
三．（第17至22题）
17. [解法一] 连接，
为异面直线与所成的角. ……4分
连接，在△中，， ……6分
则
. ……10分
异面直线与所成角的大小为. ……12分
[解法二] 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. ……2分
则 ，
得 . ……6分
设与的夹角为，
则， ……10分
与的夹角大小为，
即异面直线与所成角的大小为. ……12分
18. [解法一] ， ……4分
. ……8分
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.
，
所求的一个一元二次方程可以是. ……12分
[解法二] 设
，
得
， ……4分
以下解法同[解法一].
19. [解]（1）， ……2分
……4分

. ……8分
（2）， ……10分
，
，
，
函数的值域为. ……14分
20. [解]（1）设曲线方程为，
由题意可知，. . ……4分
曲线方程为. ……6分
（2）设变轨点为，根据题意可知

得 ，
或（不合题意，舍去）.
. ……9分
得 或（不合题意，舍去）.
点的坐标为， ……11分
.
答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令. ……14分
21. [解]（1）

……4分
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此
. ……8分
由于. ……10分
（3）[解法一] 当时，.

， ……12分
. 又，
① 当，即时，取，
.
，
则. ……14分
② 当，即时，取，
＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. ……16分
[解法二] 当时，.
由 得，
令 ，解得 或， ……12分
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. ……14分
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. ……16分
22. [解]（1）. …… 4分
（2）， …… 8分
，
当时，. …… 12分
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 14分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等. …… 18分