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同济六版高等数学课后答案全集
第一章
习题1-1
1. 设A=(-¥, -5)È(5, +¥), B=[-10, 3), 写出AÈB, AÇB, A\B及A\(A\B)的表达式.
2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AÇB)C=AC ÈBC . .
3. 设映射f : X ®Y, AÌX, BÌX . 证明
(1)f(AÈB)=f(A)Èf(B);
(2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).
4. 设映射f : X®Y, 若存在一个映射g: Y®X, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xÎX, 有IX x=x; 对于每一个yÎY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1.
5. 设映射f : X®Y, AÌX . 证明:
(1)f -1(f(A))ÉA;
(2)当f是单射时, 有f -1(f(A))=A .
6. 求下列函数的自然定义域:
(1);. (2); (3);(4);(5);
(6) y=tan(x+1);(7) y=arcsin(x-3); (8);. (9) y=ln(x+1);

(10).
7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？
(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x;
(2) f(x)=x, g(x)=;
(3),.
(4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x .
8. 设, 求, , , j(-2), 并作出函数y=j(x)的图形.
. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:
(1), (-¥, 1);
(2)y=x+ln x, (0, +¥).
10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加.
11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:
(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;
(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？
(1)y=x2(1-x2);
(2)y=3x2-x3;
(3);
(4)y=x(x-1)(x+1);
(5)y=sin x-cos x+1;
(6)
13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:
(1)y=cos(x-2);.
(2)y=cos 4x;
(3)y=1+sin px;
(4)y=xcos x;
(5)y=sin2x.
14. 求下列函数的反函数:
(1)Error! No bookmark name given.Error! No bookmark name given.;
(2)Error! No bookmark name given.;.
(3)(ad-bc¹0); .
(4) y=2sin3x; .
(5) y=1+ln(x+2);
(6).
15. 设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.
16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:
(1) y=u2, u=sin x, , ;
(2) y=sin u, u=2x, ,;.
(3), u=1+x2, x1=1, x2= 2;.
(4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1;
(5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=-1.
17. 设f(x)的定义域D=[0, 1], 求下列各函数的定义域:
(1) f(x2); .
(2) f(sinx)
(3) f(x+a)(a>0);.
(4) f(x+a)+f(x-a)(a>0).
18. 设, g(x)=ex Error! No bookmark name given., 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出这两个函数的图形.
19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40°(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域.
图1-37
.
.
20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.
(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;
(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;
(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？
习题1-2
1. 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势, 写出它们的极限:
(1);.
(2);.
(3).
(4);.
(5) xn=n(-1)n.
2. 设数列{xn}的一般项. 问=? 求出N, 使当n>N时, xn与其极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N.

3. 根据数列极限的定义证明:
(1);
(2);

(3);

(4).

4. , 证明. 并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限.

5. 设数列{xn}有界, 又, 证明: .

6. 对于数列{xn}, 若x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥),
习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明:
(1);
.
(2);
.
(3);
.

(4).

2. 根据函数极限的定义证明:
(1);

(2).

3. 当x®2时, y=x2®4. 问d等于多少, 使当|x-2|<d时, |y-4|<0.001？

4. 当x®¥时, , 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y-1|<0.01?
.
5. 证明函数f(x)=|x|当x®0时极限为零.

6. 求 当x®0时的左﹑右极限, 并说明它们在x®0时的极限是否存在.

7. 证明: 若x®+¥及x®-¥时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则.

8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x®x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

9. 试给出x®¥时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

习题1-4
1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

2. 根据定义证明:
(1)当x®3时为无穷小;
(2)当x®0时为无穷小.

3. 根据定义证明: 函数为当x®0时的无穷大. 问x应满足什么条件, 能使|y|>104？

4. 求下列极限并说明理由:
(1);
(2).

6. 函数y=xcos x在(-¥, +¥)内是否有界？这个函数是否为当x®+¥ 时的无穷大？为什么？

7. 证明: 函数在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x®0+时的无穷大.
,

习题1-5
1. 计算下列极限:
(1);

(2);

(3);

(4);

(5);

(6);

(7);

(8);

(9);

(10);
.
(11);

(12);

(13);
(14);

2. 计算下列极限:
(1);

(2);

(3).
3. 计算下列极限:
(1);

(2).
.
4. 证明本节定理3中的(2).

习题 1-7
1. 当x®0时, 2x-x2 与x2-x3相比, 哪一个是高阶无穷小？

2. 当x®1时, 无穷小1-x和(1)1-x3, (2)是否同阶？是否等价？

(2)因为,
3. 证明: 当x®0时, 有:
(1) arctan x~x;
(2).

4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:
(1);
(2)(n, m为正整数);
(3);
(4).

5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质:
(1) a ~a (自反性);
(2) 若a ~b, 则b~a(对称性);
(3)若a ~b, b~g, 则a~g(传递性).

习题1-8
1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:
(1);

(2).

2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
(1), x=1, x=2;

(2), x=k, (k=0, ±1, ±2, × × ×);

(3), x=0;
(4), x =1.
3. 讨论函数的连续性, 若有间断点, 判别其类型.

4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)¹0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xÎU(x0)时, f(x)¹0.

5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:
(1)x=0, ±1, ±2, , × × ×, ±n, , × × ×是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;

(2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续;

(3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续.

习题1-9
1. 求函数的连续区间, 并求极限, 及.
.
2. 设函数f(x)与g(x)在点x0连续, 证明函数
j(x)=max{f(x), g(x)}, y(x)=min{f(x), g(x)}
在点x0也连续.
,

3. 求下列极限:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7).

4. 求下列极限:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).
.
5. 设函数, 应当如何选择数a, 使得f(x)成为在(-¥, +¥)内的连续函数？

习题1-10
1. 证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.

2. 证明方程x=asinx+b, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 并且它不超过a+b.

3. 设函数f(x)对于闭区间[a, b]上的任意两点x、y, 恒有|f(x)-f(y)|£L|x-y|, 其中L为正常数, 且f(a)×f(b)<0. 证明: 至少有一点xÎ(a, b), 使得f(x)=0.

4. 若f(x)在[a, b]上连续, a<x1<x2< × × × <xn<b, 则在[x1, xn]上至少有一点x , 使
.
.
5. 证明: 若f(x)在(-¥, +¥)内连续, 且存在, 则f(x)必在(-¥, +¥)内有界.
.
6. 在什么条件下, (a, b)内的连续函数f(x)为一致连续？
总习题一
1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:
(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件. 数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.
(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是存在的________条件. 存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件.
(3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是的________条件. 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件.
(4)f(x)当x®x0时的右极限f(x0+)及左极限f(x0-)都存在且相等是存在的________条件.

2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:
设f(x)=2x+3x-2, 则当x®0时, 有( ).
(A)f(x)与x是等价无穷小; (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;
(C)f(x)是比x高阶的无穷小; (D)f(x)是比x低阶的无穷小.

3. 设f(x)的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:
(1) f(ex);
(2) f(ln x);
(3) f(arctan x);
(4) f(cos x).

4. 设
, ,
求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)].

5. 利用y=sin x的图形作出下列函数的图形:
(1)y=|sin x|;
(2)y=sin|x|;
(3).
6. 把半径为R的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为a的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为a的函数.

7. 根据函数极限的定义证明.
8. 求下列极限:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)(a>0, b>0, c>0);
(6).

9. 设, 要使f(x)在(-¥, +¥)内连续, 应怎样选择数a?

10. 设, 求f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形.

11. 证明.

12. 证明方程sin x+x+1=0在开区间内至少有一个根.
13. 如果存在直线L: y=kx+b, 使得当x®¥(或x®+¥, x®-¥)时, 曲线y=f(x)上的动点M(x, y)到直线L的距离d(M, L)®0, 则称L为曲线y=f(x)的渐近线. 当直线L的斜率k¹0时, 称L为斜渐近线.
(1)证明: 直线L: y=kx+b为曲线y=f(x)的渐近线的充分必要条件是
, .
(2)求曲线的斜渐近线.

习题2-1
1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为q, 从而转角q是t的函数: q=q(t). 如果旋转是匀速的, 那么称为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？

2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t), 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？

3. 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f¢(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f¢(x)的实际意义.

4. 设f(x)=10x2, 试按定义, 求f ¢(-1).
.
5. 证明(cos x)¢=-sin x.

6. 下列各题中均假定f ¢(x0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A表示什么:
(1);
.
(2), 其中f(0)=0, 且f ¢(0)存在;
.
(3).

7. 求下列函数的导数:
(1)y=x4;
(2);
(3)y=x1. 6;
(4);
(5);
(6);
(7);
.
8. 已知物体的运动规律为s=t3(m). 求这物体在t=2秒(s)时的速度.

9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0.

10. 求曲线y=sin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: , x=p.

11. 求曲线y=cos x上点处的切线方程和法线方程式.
.
12. 求曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程.

13. 在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

14. 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:
(1)y=|sin x|;
(2) .
15. 设函数为了使函数f(x)在x=1处连续且可导, a, b应取什么值？

16. 已知求f+¢(0)及f-¢(0), 又f ¢(0)是否存在？
.
17. 已知f(x)=, 求f ¢(x) .

18. 证明: 双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2 .

.

习题 2-2
1. 推导余切函数及余割函数的导数公式:
(cot x)¢=-csc2x ; (csc x)¢=-csc xcot x .
.
2. 求下列函数的导数:
(1);
(2) y=5x3-2x+3ex ;
(3) y=2tan x+sec x-1;
(4) y=sin x×cos x ;
(5) y=x2ln x ;
(6) y=3excos x ;
(7);
(8);
(9) y=x2ln x cos x ;
(10);

3. 求下列函数在给定点处的导数:
(1) y=sin x-cos x , 求和.
(2),求.
(3), 求f ¢(0)和f ¢(2) .

4. 以初速v0竖直上抛的物体, 其上升高度s与时间t的关系是. 求:
(1)该物体的速度v(t);
(2)该物体达到最高点的时刻.

5. 求曲线y=2sin x+x2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程.

6. 求下列函数的导数:
(1) y=(2x+5)4
(2) y=cos(4-3x);
(3);
(4) y=ln(1+x2);
(5) y=sin2x ;
(6);
(7) y=tan(x2);
(8) y=arctan(ex);
(9) y=(arcsin x)2;
(10) y=lncos x.

7. 求下列函数的导数:
(1) y=arcsin(1-2x);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9) y=ln(sec x+tan x);
(10) y=ln(csc x-cot x).

8. 求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)y=sinnxcos nx ;
(6);
(7);
(8) y=ln[ln(ln x)] ;
(9);
(10).

9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f2(x)+g2(x)¹0, 试求函数的导数.
.
10. 设f(x)可导, 求下列函数y的导数:
(1) y=f(x2);
(2) y=f(sin2x)+f(cos2x).
.
11. 求下列函数的导数:
(1) y=ch(sh x );
(2) y=sh x×ech x;
(3) y=th(ln x);
(4) y=sh3x +ch2x ;
(5) y=th(1-x2);
(6) y=arch(x2+1);
(7) y=arch(e2x);
(8) y=arctan(th x);
(9);
(10)

12. 求下列函数的导数:
(1) y=e-x(x2-2x+3);
(2) y=sin2x×sin(x2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9) ;
(10).

习题 2-3
1. 求函数的二阶导数:
(1) y=2x2+ln x;
(2) y=e2x-1;
(3) y=xcos x;
(4) y=e-t sin t;
(5);
(6) y=ln(1-x2)
(7) y=tan x;
(8);
(9) y=(1+x2)arctan x ;
(10);
(11);
(12).
.
2. 设f(x)=(x+10)6, f ¢¢¢(2)=?

3. 若f ¢¢(x)存在, 求下列函数y的二阶导数:
(1) y=f(x2);
(2) y=ln[f(x)] .

4. 试从导出:
(1);
(2).
.

5. 已知物体的运动规律为s=Asinwt(A、w是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:
.
.
6. 验证函数y=C1elx+C2e-lx(l,C1, C2是常数)满足关系式:

7. 验证函数y=exsin x满足关系式:
y¢¢-2y¢+2y=0 .

8. 求下列函数的n阶导数的一般表达式:
(1) y=xn+a1xn-1+a2xn-2+ × × × +an-1x+an (a1, a2, × × ×, an都是常数);
(2) y=sin2x ;
(3) y=xln x ;
(4) y=xex .

9. 求下列函数所指定的阶的导数:
(1) y=excos x, 求y(4) ;
(2) y=xsh x, 求y(100) ;
(3) y=x2sin 2x, 求y(50) .

习题 2-3
1. 求函数的二阶导数:
(1) y=2x2+ln x;
(2) y=e2x-1;
(3) y=xcos x;
(4) y=e-t sin t;
(5);
(6) y=ln(1-x2)
(7) y=tan x;
(8);
(9) y=(1+x2)arctan x ;
(10);
(11);
(12).
.
2. 设f(x)=(x+10)6, f ¢¢¢(2)=?
解f ¢(x)=6(x+10)5, f ¢¢(x)=30(x+10)4, f ¢¢¢(x)=120(x+10)3,
f ¢¢¢(2)=120(2+10)3=207360.
3. 若f ¢¢(x)存在, 求下列函数y的二阶导数:
(1) y=f(x2);
(2) y=ln[f(x)] .

4. 试从导出:
(1);
(2).
.

5. 已知物体的运动规律为s=Asinwt(A、w是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:
.

.
6. 验证函数y=C1elx+C2e-lx(l,C1, C2是常数)满足关系式:
y¢¢-l2y=0 .

7. 验证函数y=exsin x满足关系式:
y¢¢-2y¢+2y=0 .
.
8. 求下列函数的n阶导数的一般表达式:
(1) y=xn+a1xn-1+a2xn-2+ × × × +an-1x+an (a1, a2, × × ×, an都是常数);
(2) y=sin2x ;
(3) y=xln x ;
(4) y=xex .
.
9. 求下列函数所指定的阶的导数:
(1) y=excos x, 求y(4) ;
(2) y=xsh x, 求y(100) ;
(3) y=x2sin 2x, 求y(50) .

习题2-4
1. 求由下列方程所确定的隐函数y的导数:
(1) y2-2x y+9=0;
(2) x3+y3-3axy=0;
(3) xy=ex+y ;
(4) y=1-xey.

2. 求曲线在点处的切线方程和法线方程.

3. 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数:
(1) x2-y2=1;
(2) b2x2+a2y2=a2b2;
(3) y=tan(x+y);
(4) y=1+xey.

4. 用对数求导法求下列函数的导数:
(1) ;

(2);
(3);
(4).

5. 求下列参数方程所确定的函数的导数:
(1) ;
(2) .
.
7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:
(1) , 在处;
(2) , 在t=2处.

8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) , 设f ¢¢(t)存在且不为零.

9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数:
(1);
(2).

10. 落在平静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s, 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？

11. 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中, 其速率为4m2/min . 当水深为5m时, 其表面上升的速度为多少？

12. 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm时, 其表面下降的速率为1cm/min. 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？

2-7
1. 已知y=x3-x, 计算在x=2处当Dx分别等于1, 0.1, 0.01时的Dy及dy.

2. 设函数y=f(x)的图形如图所示, 试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、Dy及Dy-dy并说明其正负.

3. 求下列函数的微分:
(1);
(2) y=xsin 2x ;
(3);
(4) y=ln2(1-x);
(5) y=x2e2x ;
(6) y=e-xcos(3-x);
(7);
(8) y=tan2(1+2x2);
(9);
(10) s=Asin(wt+j) (A, w, j是常数) .

4. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立:
(1) d( )=2dx ;
(2) d( )=3xdx ;
(3) d( )=costdt ;
(4) d( )=sin wxdx ;
(5) d( );
(6) d( )=e-2xdx ;
(7) d( );
(8) d( )=sec23xdx .

5. 如图所示的电缆的长为s, 跨度为2l, 电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f, 则电缆长可按下面公式计算:
,
当f变化了Df时, 电缆长的变化约为多少？

6. 设扇形的圆心角a=60°, 半径R=100cm(如图), 如果R不变, a 减少30¢, 问扇形面积大约改变了多少？又如果a 不变, R增加1cm, 问扇形面积大约改变了多少？

7. 计算下列三角函数值的近似值:
(1) cos29°;
(2) tan136°.
.
8. 计算下列反三角函数值的近似值
(1) arcsin0.5002;
(2) arccos 0.4995.

9. 当较小时, 证明下列近似公式:
(1) tan x»x (x是角的弧度值);
(2) ln(1+x )»x ;
(3),
并计算tan45¢ 和ln1.002的近似值.

10. 计算下列各根式的的近似值:
(1);
(2).
.
11. 计算球体体积时, 要求精确度在2%以内, 问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？

也就是测量直径的相对误差不能超过.
12. 某厂生产如图所示的扇形板, 半径R=200mm, 要求中心角a为55°. 产品检验时, 一般用测量弦长l 的办法来间接测量中心角a, 如果测量弦长l 时的误差d1=0.1mm, 问此而引起的中心角测量误差dx是多少？

总 习 题 二
1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:
(1)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的____________条件. f(x)在点x0连续是f(x)在点x0可导的____________条件.
(2) f(x)在点x0的左导数f-¢(x0)及右导数f+¢(x0)都存在且相等是f(x)在点x0可导的_______条件.
(3) f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的____________条件.

2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:
设f(x)在x=a的某个邻域内有定义, 则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是( ).
(A)存在; (B)存在;
(C)存在; (D)存在.

3. 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x为, 于是分布在区间[0, x]上细棒的质量m是x的函数m=m(x),应怎样确定细棒在点x0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？
.
4. 根据导数的定义, 求的导数.
.
5. 求下列函数f(x)的f-¢(0)及f+¢(0),又f ¢(0)是否存在?
(1);
(2).

6. 讨论函数

在x=0处的连续性与可导性.

7. 求下列函数的导数:
(1) y=arcsin(sin x);
(2);
(3);
(4);
(5)(x>0) .

8. 求下列函数的二阶导数:
(1)y=cos2x ×