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一元二次方程根与系数关系(附答案).doc

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. 一元二次方程根与系数的关系 (附答案)   评卷人 得 分 一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是(  ) A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是(  ) A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是(  ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是(  ) A.2 B.4 C.5 D.6 5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为(  ) A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为(  ) A.﹣1 B.0 C.1 D.3   评卷人 得 分 二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为   .   评卷人 得 分 三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L的长. 9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值. 12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根. (1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由; (2)求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值; (3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值. 13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)若x1+x2=x1x2+2,求k的值. 14.已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0. (1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值. 15.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2. (1)求m的取值范围; (2)若x12+x22=6x1x2,求m的值.   参考答案与试题解析   一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是(  ) A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【解答】解:∵△=42﹣4×3×(﹣5)=76>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选:B.   2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是(  ) A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根, ∴△=22﹣4×1×(﹣m)=4+4m≥0, 解得:m≥﹣1. 故选:A.   3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是(  ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 【解答】解:∵a=1,b=3,c=﹣1, ∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×(﹣1)=13>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选:A.   4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是(  ) A.2 B.4 C.5 D.6 【解答】解:∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根, ∴x1+x2=2,x1x2=﹣, ∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=22﹣2×(﹣)=5. 故选:C.   5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为(  ) A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 【解答】解:∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根, ∴α+β=5. 故选:B.   6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为(  ) A.﹣1 B.0 C.1 D.3 【解答】解:∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根, ∴△=(﹣4)2﹣4×1×(c+1)=12﹣4c=0, 解得:c=3. 故选:D.   二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为 ﹣5 . 【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p、q, ∴p+q=3,pq=a, ∵p2﹣pq+q2=(p+q)2﹣3pq=18,即9﹣3a=18, ∴a=﹣3, ∴pq=﹣3, ∴+====﹣5. 故答案为:﹣5.   三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L的长. 【解答】解:(1)∵方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根, ∴△=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×(k2+1)=4k﹣3>0, ∴k>. (2)当k=2时,原方程为x2﹣5x+5=0, 设方程的两个为m、n, ∴m+n=5,mn=5, ∴==.   9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 【解答】(1)解:将x=1代入原方程,得:1+a+a﹣2=0, 解得:a=. (2)证明:△=a2﹣4(a﹣2)=(a﹣2)2+4. ∵(a﹣2)2≥0, ∴(a﹣2)2+4>0,即△>0, ∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.   10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 【解答】(1)证明:原方程可化为x2﹣(2m+2)x+m2+2m=0, ∵a=1,b=﹣(2m+2),c=m2+2m, ∴△=b2﹣4ac=[﹣(2m+2)]2﹣4(m2+2m)=4>0, ∴不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根. (2)解:将x=3代入原方程,得:(3﹣m)2﹣2(3﹣m)=0, 解得:m1=3,m2=1. ∴m的值为3或1.   11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值. 【解答】解:(1)把a=﹣11代入方程,得x2﹣x﹣12=0, (x+3)(x﹣4)=0, x+3=0或x﹣4=0, ∴x1=﹣3,x2=4; (2)∵方程有两个实数根,∴△≥0, 即(﹣1)2﹣4×1×(a﹣1)≥0,解得; (3)∵是方程的两个实数根, , ∴. ∵[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9, ∴, 把 代入,得:[2+a﹣1][2+a﹣1]=9,即(1+a)2=9, 解得a=﹣4,a=2(舍去),所以a的值为﹣4   12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根. (1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由; (2)求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值; (3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值. 【解答】解:(1)∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根, ∴x1+x2=1,x1x2=, ∴(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2(x1+x2)2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣, 若2﹣=﹣成立, 解上述方程得,k=, ∵△=16k2﹣4×4k(k+1)=﹣16k>0, ∴k<0,∵k=, ∴矛盾, ∴不存在这样k的值; (2)原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣, ∴k+1=1或﹣1,或2,或﹣2,或4,或﹣4 解得k=0或﹣2,1,﹣3,3,﹣5. ∵k<0. ∴k=﹣2,﹣3或﹣5; (3)∵k=﹣2,λ=,x1+x2=1, ∴λx2+x2=1,x2=,x1=, ∵x1x2==, ∴=, ∴λ=3±3.   13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)若x1+x2=x1x2+2,求k的值. 【解答】解:(1)∵关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根, ∴, 解得:k≤且k≠﹣1. (2)∵关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2. ∴x1+x2=,x1x2=. ∵x1+x2=x1x2+2,即=+2, 解得:k=﹣4, 经检验,k=﹣4是原分式方程的解, ∴k=﹣4.   14.已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0. (1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值. 【解答】解: (1)△=[﹣2(m+1)]2﹣4(m2﹣3)=8m+16, 当方程有两个不相等的实数根时,则有△>0,即8m+16>0,解得m>﹣2; (2)根据一元二次方程根与系数之间的关系, 得x1+x2=2(m+1),x1x2=m2﹣3, ∵x12+x22=22+x1x2=(x1+x2)2﹣2x1x2, ∴[2(m+1)]﹣2(m2﹣3)=6+(m2﹣3), 化简,得m2+8m﹣9=0,解得m=1或m=﹣9(不合题意,舍去), ∴实数m的值为1.   15.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2. (1)求m的取值范围; (2)若x12+x22=6x1x2,求m的值. 【解答】解: (1)∵方程有两个实数根, ∴△≥0,即(﹣2)2﹣4(m﹣1)≥0, 解得m≤2; (2)由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=m﹣1, ∵x12+x22=6x1x2, ∴(x1+x2)2﹣2x1x2=6x1x2,即(x1+x2)2=8x1x2, ∴4=8(m﹣1),解得m=1.5.   .
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