2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数.doc

2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数
1.〔天津文〕19、〔本小题总分值14分〕函数，其中、
〔Ⅰ〕当时，求曲线在点处的切线方程；
〔Ⅱ〕当时，求的单调区间；
〔Ⅲ〕证明：对任意的在区间内均存在零点、
【解析】〔19〕本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，总分值14分。
〔Ⅰ〕解：当时，
所以曲线在点处的切线方程为
〔Ⅱ〕解：，令，解得
因为，以下分两种情况讨论：
〔1〕假设变化时，的变化情况如下表：

+
-
+

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。
〔2〕假设，当变化时，的变化情况如下表：

+
-
+

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是
〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅱ〕可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
〔1〕当时，在〔0，1〕内单调递减，

所以对任意在区间〔0，1〕内均存在零点。
〔2〕当时，在内单调递减，在内单调递增，假设

所以内存在零点。
假设

所以内存在零点。
所以，对任意在区间〔0，1〕内均存在零点。
综上，对任意在区间〔0，1〕内均存在零点。
2.〔北京文〕18、〔本小题共13分〕
函数.
〔Ⅰ〕求的单调区间；
〔Ⅱ〕求在区间[0,1]上的最小值.
【解析】〔18〕〔共13分〕
解：〔Ⅰ〕
令，得、
与的情况如下：
x
〔〕

〔

——
0
+

↗

↗
所以，的单调递减区间是〔〕；单调递增区间是
〔Ⅱ〕当，即时，函数在[0，1]上单调递增，
所以〔x〕在区间[0，1]上的最小值为
当时，
由〔Ⅰ〕知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为；
当时，函数在[0，1]上单调递减，
所以在区间[0，1]上的最小值为
3.(全国大纲文)21、〔本小题总分值l2分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕
函数
〔I〕证明：曲线处的切线过点〔2，2〕；
〔II〕假设处取得极小值，，求a的取值范围。
【解析】21、解：〔I〕 …………2分
由得曲线处的切线方程为
由此知曲线处的切线过点〔2，2〕 …………6分
〔II〕由
〔i〕当没有极小值；
〔ii〕当得

故由题设知
当时，不等式无解。
当时，解不等式
综合〔i〕〔ii〕得a的取值范围是 …………12分
4.〔全国新文〕21、〔本小题总分值12分〕
函数，曲线在点处的切线方程为、
〔I〕求a，b的值；
〔II〕证明：当x>0，且时，、
【解析】〔21〕解：
〔Ⅰ〕
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，所以

考虑函数，那么

所以当时，故
当时，
当时，
从而当
5.〔辽宁文〕20、〔本小题总分值12分〕
设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P〔1,0〕，且在P点处的切斜线率为2、
〔I〕求a，b的值；
〔II〕证明：≤2x-2、
【解析】20、解：〔I〕…………2分
由条件得
解得………………5分
〔II〕，由〔I〕知
设那么

而………………12分
6.〔江西文〕20、〔本小题总分值13分〕
设
〔1〕如果处取得最小值-5，求的解析式；
〔2〕如果的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值；〔注；区间〔a，b〕的长度为b-a〕
【解析】20、〔本小题总分值13分〕
解：〔1〕由题得
处取得最小值-5
所以，即
即得所要求的解析式为
〔2〕因为的单调递减区间的长度为正整数，
故一定有两个不同的根，
从而，
不妨设为为正整数，
故时才可能有符合条件的m，n
当m=2时，只有n=3符合要求
当m=3时，只有n=5符合要求
当时，没有符合要求的n
综上所述，只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求。
7.〔山东文〕21、〔本小题总分值12分〕
某企业拟建造如下图的容器〔不计厚度，长度单位：米〕，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且、假设该容器的建造费用仅与其表面积有关、圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为、设该容器的建造费用为千元、
〔Ⅰ〕写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
〔Ⅱ〕求该容器的建造费用最小时的、
【解析】21、解：〔I〕设容器的容积为V，
由题意知
故
由于
因此
所以建造费用
因此
〔II〕由〔I〕得
由于
当
令
所以
〔1〕当时，

所以是函数y的极小值点，也是最小值点。
〔2〕当即时，
当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
8.〔陕西文〕21、〔本小题总分值14分〕
设。
〔Ⅰ〕求的单调区间和最小值；
〔Ⅱ〕讨论与的大小关系；
〔Ⅲ〕求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。
【解析】21、解〔Ⅰ〕由题设知，
∴令0得=1，
当∈〔0，1〕时，＜0，故〔0，1〕是的单调减区间。
当∈〔1，+∞〕时，＞0，故〔1，+∞〕是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为
〔II〕
设，那么，
当时，即，
当时，
因此，在内单调递减，
当时，
即
当

〔III〕由〔I〕知的最小值为1，所以，
，对任意，成立
即从而得。
9.〔上海文〕21、〔14分〕函数，其中常数满足。
〔1〕假设，判断函数的单调性；
〔2〕假设，求时折取值范围。
【解析】21、解：⑴当时，任意，那么
∵，，
∴，函数在上是增函数。
当时，同理，函数在上是减函数。
⑵
当时，，那么；
当时，，那么。
10.〔四川文〕22、〔本小题共l4分〕
函数，、
〔Ⅰ〕设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
〔Ⅱ〕设，解关于x的方程；
〔Ⅲ〕设，证明：、
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力、
解：〔Ⅰ〕，
、
令，得〔舍去〕、
当时、；当时，，
故当时，为增函数；当时，为减函数、
为的极大值点，且、
〔Ⅱ〕方法一：原方程可化为，
即为，且
①当时，，那么，即，
，此时，∵，
此时方程仅有一解、
②当时，，由，得，，
假设，那么，方程有两解；
假设时，那么，方程有一解；
假设或，原方程无解、
方法二：原方程可化为，
即，
①当时，原方程有一解；
②当时，原方程有二解；
③当时，原方程有一解；
④当或时，原方程无解、
〔Ⅲ〕由得，
、
设数列的前n项和为，且〔〕
从而有，当时，、
又
、
即对任意时，有，又因为，所以、
那么，故原不等式成立、
11.〔浙江文〕〔21〕〔本小题总分值15分〕设函数，
〔Ⅰ〕求的单调区间；
〔Ⅱ〕求所有实数，使对恒成立、
注：为自然对数的底数、
【解析】〔21〕此题主要考查函数的单调性、导数运算法那么、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。总分值15分。
〔Ⅰ〕解：因为
所以
由于，所以的增区间为，减区间为
〔Ⅱ〕证明：由题意得，
由〔Ⅰ〕知内单调递增，
要使恒成立，
只要
解得
12.〔重庆文〕19、〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小题5分，〔Ⅱ〕小题7分〕
设的导数为，假设函数的图像关于直线对称，且、
〔Ⅰ〕求实数的值
〔Ⅱ〕求函数的极值
【解析】19、〔此题12分〕
解：〔I〕因
从而
即关于直线对称，从而由题设条件知
又由于
〔II〕由〔I〕知

令
当上为增函数；
当上为减函数；
当上为增函数；
从而函数处取得极大值处取得极小值
13.〔安徽文〕〔18〕〔本小题总分值13分〕
设，其中为正实数.
〔Ⅰ〕当时，求的极值点；
〔Ⅱ〕假设为上的单调函数，求的取值范围.
【解析】〔18〕〔本小题总分值13分〕此题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
解：对求导得①
〔I〕当，假设
综合①,可知

+
0
－
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以,是极小值点,是极大值点.
〔II〕假设为R上的单调函数，那么在R上不变号，结合①与条件a>0，知
在R上恒成立，因此由此并结合，知
14.〔福建文〕22、〔本小题总分值14分〕
a，b为常数，且a≠0，函数f〔x〕=-ax+b+axlnx，f〔e〕=2〔e=2、71828…是自然对数的底数〕。
〔I〕求实数b的值；
〔II〕求函数f〔x〕的单调区间；
〔III〕当a=1时，是否同时存在实数m和M〔m<M〕，使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f〔x〕〔x∈[，e]〕都有公共点？假设存在，求出最小的实数m和最大的实数M；假设不存在，说明理由。
【解析】22、本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，总分值14分。
解：〔I〕由
〔II〕由〔I〕可得
从而
，故：
〔1〕当
〔2〕当
综上，当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为〔0，1〕；
当时，函数的单调递增区间为〔0，1〕，
单调递减区间为。
〔III〕当a=1时，
由〔II〕可得，当x在区间内变化时，的变化情况如下表：

-
0
+

单调递减
极小值1
单调递增
2
又的值域为[1，2]。
据经可得，假设，那么对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。
并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。
综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个，直线y=t
与曲线都有公共点。
15.〔湖北文〕19、〔本小题总分值12分〕
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v〔单位：千米/小时〕是车流密度x〔单位：辆/千米〕的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究说明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数。
〔I〕当时，求函数v〔x〕的表达式；
〔II〕当车流密度x为多大时，车流量〔单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时〕可以达到最大，并求出最大值。〔精确到1辆/小时〕。
【解析】19、本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。〔总分值12分〕
解：〔Ⅰ〕由题意：当；当
再由得
故函数的表达式为
〔Ⅱ〕依题意并由〔Ⅰ〕可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立。
所以，当在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
16.〔湖北文〕20、〔本小题总分值13分〕
设函数，，其中，a、b为常数，曲线与在点〔2,0〕处有相同的切线l。
〔I〕求a、b的值，并写出切线l的方程；
〔II〕假设方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。
【解析】20、此题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，〔总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕
由于曲线在点〔2，0〕处有相同的切线，
故有
由此得
所以，切线的方程为
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，所以
依题意，方程有三个互不相同的实数，
故是方程的两相异的实根。
所以
又对任意的成立，
特别地，取时，成立，得
由韦达定理，可得
对任意的
那么
所以函数的最大值为0。
于是当时，对任意的恒成立，
综上，的取值范围是
17.〔湖南文〕22、〔本小题总分值13分〕
设函数.
〔Ⅰ〕讨论函数的单调性.
〔Ⅱ〕假设有两个极值点，记过点的直线斜率为.问：是否存在，使得？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.
【解析】22、〔本小题13分〕
解析：〔I〕的定义域为

令
(1) 当故上单调递增、
(2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增、
(3) 当的两根为，
当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减、
〔II〕由〔I〕知，、
因为，所以

又由(I)知，、于是
假设存在，使得那么、即、亦即
再由〔I〕知，函数在上单调递增，而，所以 这与式矛盾、故不存在，使得
18.〔广东文〕19、〔本小题总分值14分〕
设a＞0,讨论函数f〔x〕=lnx+a〔1-a〕x2-2〔1-a〕的单调性。
【解析】19、〔本小题总分值14分〕
解：函数的定义域为

当的判别式

①当有两个零点，

且当内为增函数；
当内为减函数；
②当内为增函数；
③当内为增函数；
④当
在定义域内有唯一零点，
且当内为增函数；当时，内为减函数。 的单调区间如下表：

〔其中〕
19.〔江苏〕19、a，b是实数，函数和是的导函数，假设在区间上恒成立，那么称和在区间上单调性一致
〔1〕设，假设和在区间上单调性一致,求b的取值范围；
〔2〕设且，假设和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值
【解析】19、本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。总分值16分.
解：
〔1〕由题意知上恒成立，因为a>0，故
进而上恒成立，所以
因此的取值范围是[
〔2〕令
假设又因为，
所以函数在上不是单调性一致的，因此
现设；
当时，
因此，当时，
故由题设得
从而
因此时等号成立，
又当，从而当
故当函数上单调性一致，因此的最大值为
20.〔江苏〕17、请你设计一个包装盒，如下图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm
〔1〕某广告商要求包装盒侧面积S〔cm〕最大，试问应取何值？
〔2〕某广告商要求包装盒容积V〔cm〕最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

P
【解析】17、本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。总分值14分.
解：设馐盒的高为h〔cm〕，底面边长为a〔cm〕，由得

〔1〕
所以当时，S取得最大值.
〔2〕
由〔舍〕或x=20.
当时，
所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.
此时装盒的高与底面边长的比值为