2019年杨浦区高三二模数学答案.doc

杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷评分标准 2019.4.
考生注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2. 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 2. 3. 3 4. 4 5. 5 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12. 155
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.C 14.A 15.A 16.D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）因为函数的定义域为 ……2分
所以函数的定义域为 ……6分
（2）

， ……10分
令，即
由得，， ……12分
故或，即或（舍）. ……14分
18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
解：（1）， ……3分
的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950； ……7分

（2）当时，，

等号成立当且仅当； ……10分
当时，

等号成立当且仅当 ……13分
故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元.
……14分

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：
（1）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，相应的高为1
棱柱的侧棱长为2 ……4分
故该堑堵的体积为； ……6分

（2）

等号成立的充要条件是； ……8分
以C为原点，为坐标轴建系，
则，
则，设面的法向量为，
故令，得，
同理可得，面的法向量为， ……12分
故与的夹角满足：，
由图可知，所求二面角为锐角，故所求为 ……14分

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
解：（1）解法一：不妨假设在第一象限，令，
则， ……2分
由，得； ……4分
解法二：不妨假设在第一象限，则 ……1分
有 所以 ……3分
得； ……4分
（2）解法一：直线的方程为，代入，
， ……6分
，
即， ……7分
又为中点，故，得，， ……8分
代入得，，
而，故，即 ……9分
解法二：设，
则，两式相减整理得
即
由题意得
于是 ……6分
中点在椭圆内部，则 解得（要说明理由，否则扣2分）
故 ……9分
（3）当时， ，
所以，存在实数满足条件，则； ……10分
直线的方程为，
则， ……12分
故 ……14分

所以，。 ……16分
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）
解：（1）， ……2分
由得，，
所以； ……4分
（2），
显然，恒成立 ……5分
所以，，
即， ……7分
所以，， ……8分
整理得，； ……9分

（3） ……11分
故，
当时，令，即，
则，与已知矛盾； ……13分
所以，。 ……14分
(另解：当时，注意到时,
因此,存在充分大的，使得，即，与已知矛盾）
若，则，下用数学归纳法证明。
时，显然成立，
假设，则，而显然成立。
故对所有正整数，都有。 ……16分
所以，的最大值为2. ……18分

（其他解法，可根据标准酌情给分）
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