初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解).doc

初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
  1. 因式分解的对象是多项式；
  2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
  3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
  4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
  5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
  6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
  7. 因式分解的一般步骤是：
  （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法.

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

一、提公因式法.
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

二、运用公式法.
运用公式法，即用

写出结果．

三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
= 每组之间还有公因式！
=
思考：此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式= 原式=
= =
= =
练习：分解因式1、 2、

（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=
例4、分解因式：
解：原式=
=
=
注意这两个例题的区别！
练习：分解因式3、 4、

综合练习：（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）

（11）（12）

四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：= 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：原式= 1 -1
= 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1) (2) (3)

练习6、分解因式(1) (2) (3)

（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例7、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
练习7、分解因式：（1） （2）
（3） （4）

（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：=
=
练习8、分解因式(1)(2)(3)

（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=
练习9、分解因式：（1） （2）

综合练习10、（1） （2）
（3） （4）

（5） （6）

（7）（8）

（9）（10）

思考：分解因式：

五、主元法.
例11、分解因式： 5 -2
解法一：以为主元 2 -1
解：原式= (-5)+(-4)= -9
= 1 -(5y-2)
= 1 (2y-1)
= -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)

解法二：以为主元 1 -1
解：原式= 1 2
= -1+2=1
= 2 (x-1)
= 5 -(x+2)
= 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)
练习11、分解因式(1) (2)

(3) (4)

六、双十字相乘法。
定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。
条件：（1），，
（2），，
即：

，，
则
例12、分解因式（1）
（2）
解：（1）
应用双十字相乘法：

，，
∴原式=
（2）
应用双十字相乘法：

，，
∴原式=
练习12、分解因式（1）
（2）

七、换元法。
例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式（1）
（2） （3）

例14、分解因式（1）

观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式==
设，则
∴原式==
==
==
=
（2）
解：原式==
设，则
∴原式==
==
练习14、（1）（2）

八、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式= 原式=
= =
= =
= =
= =
（2）
解：原式=
=
=
=
练习15、分解因式（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

九、待定系数法。
例16、分解因式
分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解：设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=
例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。
（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
比较对应的系数可得：，解得：或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=
（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解：设=
则=
∴，解得，
∴=21
练习17、（1）分解因式（2）分解因式
（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
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